2用配方法求解一元二次方程

2024/3/272用配方法求解一元二次方程解一元二次方程内容直接开平方法利用平方根的意义直接求一元二次方程的根的方法,叫做直接开平方法直接开平方法的适用类型(1)形如x2=n(n≥0)的方程的解是x=±,当n=0时,x1=x2=0.(2)形如(x+m)2=n(n≥0)的方程,直接开平方得到x+m=±

,则解为x=-m±

.(3)形如(ax+b)2=n(n≥0,a≠0)的方程,直接开平方得到ax+b=±

,则解为x=

知识点一

用直接开平方法求解一元二次方程例1用直接开平方法解下列方程.(1)x2-81=0;(2)4x2-64=0;(3)(x-3)2=25;(4)(2y-3)2=16.分析用直接开平方法解一元二次方程,先将方程化成x2=p(p≥0)或(mx

+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式,再根据平方根的意义求解.解析(1)移项得x2=81,∴x=±9,即x1=9,x2=-9.(2)移项得4x2=64,∴x2=16,∴x=±4,即x1=4,x2=-4.(3)x-3=±5,∴x1=8,x2=-2.(4)2y-3=±4,∴y1=

,y2=-

.方法总结(1)直接开平方法是一元二次方程最基本的解法,它主要针

对形如x2=c(c≥0)或(x+b)2=c(c≥0)的一元二次方程,它的理论依据是平

方根的意义.(2)利用直接开平方法解一元二次方程时,要注意开平方的

条件是被开方数必须是非负数,否则无解.知识点二

用配方法求解一元二次方程配方法通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法,叫做配方法步骤一移将常数项移到方程等号的右边二除如果二次项系数不是1,将方程两边同时除以二次项系数,将其化为1三配方程两边都加上一次项系数一半的平方,将方程左边配成完全平方式四开如果方程的右边是一个非负数,就可以直接开平方解方程;如果是一个负数,则原方程无实数根说明解方程时,可根据方程的特点选择合适的步骤,灵活处理(3)(x+2)2-2(x+2)=15.例2用配方法解下列方程:(1)x2-4x+2=0;(2)6x2-x-12=0;分析(1)(2)可直接根据配方法的步骤解方程;(3)可以将(x+2)看成一个

整体,按照配方法的步骤解方程.归纳总结方程两边同时加上一次项系数一半的平方是配方法的关键,

将二次项系数化为1是进行这一关键步骤的重要前提.解析(1)配方,得x2-4x+(-2)2=-2+(-2)2,即(x-2)2=2,∴x-2=±

.∴x1=

+2,x2=-

+2.(2)二次项系数化为1,得x2-

x-2=0.移项,得x2-

x=2.配方,得x2-

x+

=2+

,即

=

,∴x-

=±

.∴x1=

,x2=-

.(3)配方,得(x+2)2-2(x+2)+1=16,即(x+2-1)2=16,得x+1=±4.∴x1=3,x2=-5.题型一

用直接开平方法或配方法解一元二次方程例1解下列方程:(1)8(2-x)2-6=0;(2)9x2+6x+1=8;(3)3x2+2x-3=0.解析(1)原方程可变形为(2-x)2=

,直接开平方,得2-x=±

,∴2-x=

或2-x=-

,∴x1=2-

,x2=2+

.(2)原方程可变形为(3x+1)2=8,直接开平方,得3x+1=±2

,∴3x+1=2

或3x+1=-2

,∴x1=

,x2=

.(3)移项,得3x2+2x=3,二次项系数化为1,得x2+

x=1,配方,得x2+

x+

=1+

,即

=

,直接开平方,得x+

=±

,∴x+

=

或x+

=-

,∴x1=

,x2=

.点拨

x1,x2表示方程的两个实根,其下标与根的大小无关.注意当方程配

成x2=a或(mx+n)2=p(m≠0)后,只有方程等号右边的常数为非负数时,方程

才有解;若方程等号右边为负数,则方程无实数解,配方法解一元二次方

程的口诀:左“未”右“已”先分离,“二系”化“1”是其次,“一系”折半再平方,两边同加没问题,左“分解”来右“合并”,直接开方易得解.题型二

配方法的应用例2用配方法证明代数式5x2-6x+2的值恒大于0.分析通过配方将原代数式化成一个完全平方式与一个常数的和的形

式,然后利用完全平方数是非负数的性质即可证明.证明5x2-6x+2=5

+2=5

-

+2=5

+

.∵

≥0,∴5

+

≥

>0.即代数式5x2-6x+2的值恒大于0.知识点一

用直接开平方法求解一元二次方程1.(2018山西太原期中)一元二次方程x2-9=0的解是

()A.x=3

B.x=-3C.x1=3,x2=-3

D.x1=9,x2=-9答案

C移项得x2=9,直接开平方得x1=3,x2=-3.2.用直接开平方法解方程(5x+6)2=9,下列结论正确的是

()A.5x+6=3

B.5x+6=-3C.5x+6=9或5x+6=-9

D.5x+6=3或5x+6=-3答案

D(5x+6)2=9两边同时开平方,得5x+6=

或5x+6=-

,即5x+6=3或5x+6=-3,故选D.3.解下列方程:(1)x2=169;(2)3x2-27=0;(3)

x2=3;(4)(2x-1)2=81.解析(1)开平方,得x=±13.即x1=13,x2=-13.(2)移项,得3x2=27.两边同时除以3,得x2=9.开平方,得x=±3,即x1=3,x2=-3.(3)两边同时乘2,得x2=6.开平方,得x=±

.即x1=

,x2=-

.(4)开平方,得2x-1=±9,即2x-1=9或2x-1=-9,

∴x1=5,x2=-4.知识点二

用配方法求解一元二次方程4.已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式,那么x2-6x+q=2配方正

确的是

()A.(x-p)2=5

B.(x-p)2=9C.(x-p+2)2=9

D.(x-p+2)2=5答案

B∵x2-6x+q=0可配方为(x-p)2=7,即(x-p)2-7=0,则x2-6x+q=2可配

方为(x-p)2-7=2,即(x-p)2=9.故选B.5.填空:(1)x2+10x+

=(x+

)2;(2)x2+(

)x+36=[x+(

)]2;(3)x2-4x-5=(x-

)2-

.答案(1)25;5(2)±12;±6(3)2;96.用配方法解下列方程:(1)x2-4x-12=0;(2)3x2-6x+2=0.解析(1)移项,得x2-4x=12.配方,得x2-4x+(-2)2=12+(-2)2,即(x-2)2=16.开平方,得x-2=±4,即x-2=4或x-2=-4.所以x1=6,x2=-2.(2)两边同除以3,得x2-2x+

=0.移项,得x2-2x=-

.配方,得x2-2x+(-1)2=-

+(-1)2,即(x-1)2=

.开平方,得x-1=±

.所以x1=1+

,x2=1-

.1.一元二次方程x2-4=0的根为

()A.x=2

B.x=-2C.x1=2,x2=-2

D.x=4答案

C移项,得x2=4;开平方,得x=±2,即x1=2,x2=-2.2.下列配方有错误的是

()A.x2-2x-1=0化为(x-1)2=2B.x2+6x+8=0化为(x+3)2=1C.2x2-7x-6=0化为

=

D.3x2-4x-2=0化为(3x-2)2=6答案

D3x2-4x-2=0,x2-

x=

,x2-

x+

=

+

,

=

,故选D.3.把方程x2+4x+1=0配方成(x+p)2+q=0的形式后,p2+q2的值是

()A.41

B.14

C.13

D.7答案

C∵x2+4x+1=0可以配方成(x+2)2-3=0的形式,∴p=2,q=-3.∴p2+

q2=22+(-3)2=13.4.x2-5x+

=(x-

)2.答案

;

5.若3

y2与-x4m-2y2是同类项,则m=

.答案2或

解析由题意得2m2-m=4m-2,移项,合并同类项,得2m2-5m=-2,二次项系

数化为1,得m2-

m=-1,配方,得m2-

m+

=-1+

,

=

,∴m-

=±

,∴m1=2,m2=

.1.图2-2-1是一个简单的数值运算程序,则输入x的值为

()输入x→(x-1)2→×(-3)→输出-27图2-2-1A.3或-3

B.4或-2

C.1或3

D.27答案

B根据题意得(x-1)2×(-3)=-27,化简得(x-1)2=9,∴x-1=±3,解得x=4

或x=-2.故选B.2.若x2-4x+y2+6y+13=0,则yx=

.答案9解析由原式得x2-4x+4+y2+6y+9=0,即(x-2)2+(y+3)2=0,可得x-2=0,且y+3

=0,∴x=2,y=-3,∴yx=(-3)2=9.3.(2016湖北武汉江岸期中)小明设计了一个魔术盒,当任意实数对(a,b)

进入其中时,会得到一个新的实数a2-2b+3.若将实数对(x,-2x)放入其中,

得到-1,则x=

.答案-2解析根据题意得x2-2·(-2x)+3=-1,整理得x2+4x+4=0,即(x+2)2=0,所以x1=

x2=-2.4.求2x2-7x+2的最小值.解析2x2-7x+2=2

+2=2

+2=2

+2=2

-2×

+2=2

-

.∵

≥0,∴

的最小值为0.∴2

-

的最小值为-

,即2x2-7x+2的最小值为-

.1.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左边可以写成一个完全平方式,则m的值为

()A.-2

B.-2或6C.-2或-6

D.2或-6答案

B根据题意知,-(m-2)=±2×2×1,∴m-2=±4,即m-2=4或m-2=-4,得m=6或m=-2.故选B.2.(2016安徽合肥瑶海期末)如图,矩形ABCD是由三个矩形拼接成的,如

果AB=8cm,阴影部分的面积是24cm2,另外两个小矩形全等,那么小矩形

的长为

cm.

答案6解析设小矩形的长为xcm,则小矩形的宽为(8-x)cm,根据题意得x[x-(8-x)]=24.解得x=6或x=-2(舍去).故小矩形的长为6cm.3.某养牛场的一边靠墙,墙长25m,另三边用栅栏围成,现有材料可制作

栅栏40m.(1)养牛场的面积能达到200m2吗?若能,请求出养牛场的长和宽,若不能,

请说明理由;(2)能围成面积为250m2的养牛场吗?请说明理由.解析设平行于墙的栅栏的长为xm,则垂直于墙的栅栏的长为

m.(1)能.理由:若养牛场的面积为200m2,则x·

=200,解得x1=x2=20,则

=10.∴养牛场的面积能达到200m2,此时养牛场的长为20m,宽为10m.(2)不能.理由:若面积为250m2,则有x·

=250,整理得(x-20)2=-100,方程无解,∴不能围成面积为250m2的养牛场.一、选择题1.(2017天津河北汇森中学模拟,8,★★☆)用配方法解下列方程,配方正

确的是

()A.2y2-4y-4=0可化为(y-1)2=4B.x2-2x-9=0可化为(x-1)2=8C.x2+8x-9可化为(x+4)2=16D.x2-4x=0可化为(x-2)2=4答案

D

A.2y2-4y-4=0可化为(y-1)2=3,故错误;B.x2-2x-9=0可化为(x-1)2=10,故错误;C.x2+8x-9=0可化为(x+4)2=25,故错误;D.x2-4x=0可化为(x-2)2=4,故正确.故选D.二、填空题2.(2017浙江杭州江干一模,13,★★☆)用配方法解一元二次方程x2+6x=1

时,应该在等式两边都加上

.答案9解析用配方法解一元二次方程x2+6x=1时,应该在等式两边都加上32,

即9.三、解答题3.(2017甘肃兰州西固桃园中学,22,★★☆)用配方法解方程:(x+3)(x-1)=

12.(5分)解析将原方程整理,得x2+2x=15,两边都加上12,得x2+2x+12=15+12,即(x+1)2=16,开平方,得x+1=±4,即x+1=4或x+1=-4,∴x1=3,x2=-5.4.(2017福建福州马尾期末,23,★★★)利用完全平方公式,可以将多项式

ax2+bx+c(a≠0)变形为a(x+m)2+n的形式,我们把这样的变形方法叫做多

项式的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解.例如:x2+11x+24=x2+11x+

-

+24=

-

=

=(x+8)(x+3).根据以上材料,解答下列问题:(1)用配方法将多项式x2-3x-10化成(x+m)2+n的形式;(2)用配方法及平方差公式对多项式x2-3x-10进行因式分解;(3)求证:无论x,y取何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总为正数.解析(1)x2-3x-10=x2-3x+

-

-10=

-

.(2)x2-3x-10=

-

=

-

=

=(x+2)(x-5).(3)证明:x2+y2-2x-4y+16=(x2-2x+1)+(y2-4y+4)+11=(x-1)2+(y-2)2+11≥11,故无论x,y取何实数,多项式x2+y2-2x-4y+16的值总为正数.1.(2017天津一零二中学模拟,3,★★☆)一元二次方程x2-16=0的根是

()A.x=2

B.x=4C.x1=2,x2=2

D.x1=4,x2=-4答案

D

x2-16=0,x2=16,∴x=±4,即x1=4,x2=-4,故选D.2.(2017山东泰安期中,7,★★☆)一元二次方程x2-6x-6=0配方后为

()A.(x-3)2=15

B.(x-3)2=3C.(x+3)2=15

D.(x+3)2=3答案

A第一步,移项得x2-6x=6;第二步,配方,方程两边都加上一次项

系数一半的平方得x2-6x+9=6+9;第三步,整理得(x-3)2=15.3.(2017重庆万盛期末,25,★★★)先仔细阅读材料,再深度解决问题:通过对实数的学习,我们知道x2≥0,根据完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,可知完全平方式的值为非负数,这一性质在数学中有着广泛的应用,比如探求多项式2x2+8x-3的最小值时,我们可以这样处理:解:原式=2(x2+4x)-3=2(x2+2x·2+22-22)-3=2(x+2)2-11.∵2(x+2)2≥0,∴2(x+2)2-11≥-11,故当x=-2时,2x2+8x-3的值最小,为-11.请根据上面的解题思路,解答下列问题:(1)求多项式3x2-6x+2的最小值是多少,并写出对应的x的值;(2)求多项式4-x2+2x的最大值;(3)求多项式x2+2x+y2-4y+9的最小值.解析(1)3x2-6x+2=3(x2-2x)+2=3(x2-2x+1-1)+2=3(x-1)2-1,∵无论x取什么数,(x-1)2的值均为非负数,∴(x-1)2的最小值为0,此时x=1,∴3(x-1)2-1的最小值为-1,则当x=1时,原多项式的最小值是-1.(2)同(1)得4-x2+2x=-(x-1)2+5,∵无论x取什么数,都有(x-1)2的值为非负数,∴(x-1)2的最小值为0,此时x=1,∴-(x-1)2+5的最大值为-0+5=5,则当x=1时,原多项式的最大值是5.(3)同(1)得x2+2x+y2-4y+9=(x+1)2+(y-2)2+4,当(x+1)2=0,(y-2)2=0时,多项式x2+2x+y2-4y+9的最小值为4.选择题1.(2017浙江舟山中考,8,★☆☆)用配方法解方程x2+2x-1=0时,配方结果

正确的是

()A.(x+2)2=2

B.(x+1)2=2C.(x+2)2=3

D.(x+1)2=3

答案

B根据完全平方公式可配方,x2+2x+1-2=0,整理得(x+1)2=2.2.(2017台湾中考,12,★★☆)一元二次方程式x2-8x=48可表示成(x-a)2=48

+b的形式,其中a、b为整数,则a+b之值为

()A.20

B.12

C.-12

D.-20答案

A

x2-8x=48,x2-8x+16=48+16,(x-4)2=48+16,∴a=4,b=16,∴a+b=20.故选A.3.(2014山东枣庄中考,10,★★☆)x1,x2是一元二次方程3(x-1)2=15的两个

解,且x1<x2,下列说法正确的是

()A.x1小于-1,x2大于3

B.x1小于-2,x2大于3C.x1,x2在-1和3之间

D.x1,x2都小于3答案

A∵x1,x2是一元二次方程3(x-1)2=15的两个解,∴(x-1)2=5,∴x-1=

±

,又x1<x2,∴x2=1+

>3,x1=1-

<-1,故选A.1.(2016贵州六盘水中考,6,★☆☆)用配方法解一元二次方程x2+4x-3=0

时,原方程可变形为

()A.(x+2)2=1

B.(x+2)2=7

C.(x+2)2=13

D.(x+2)2=19答案

B

x2+4x=3,x2+4x+4=7,(x+2)2=7.故选B.2.解方程:(1)(2016安徽中考,16,★★☆)x2-2x=4;(8分)(2)(2016山东淄博中考,19,★☆☆)x2+4x-1=0.(5分)解析(1)方程两边都加上1,得x2-2x+1=5,即(x-1)2=5,所以x-1=±

,所以原方程的解是x1=1+

,x2=1-

.(2)∵x2+4x-1=0,∴x2+4x=1,∴x2+4x+4=1+4,∴(x+2)2=5,∴x+2=±

,∴x1=-2+

,x2=-2-

.1.李志新用下面的方法求出方程2

-3=0的解,请你依照他的方法求出下面另外两个方程的解,并把你的解答过程填写在下面的表格中.方程2

-3=0x+2

-3=0x+

-4=0用换元法得新方程令

=t,则2t-3=0

新方程的解t=

检验t=

>0

求原方程的解

=

,所以x=

解析

方程2

-3=0x+2

-3=0x+

-4=0用换元法得新方程令

=t,则2t-3=0令

=t≥0,则t2+2t-3=0令

=t≥0,则t2+t-2=0新方程的解t=

t1=1,t2=-3t1=1,t2=-2检验t=

>0t1=1>0,t2=-3<0(舍去)t1=1>0,t2=-2<0(舍去)求原方程的解

=

,所以x=

=1,所以x=1

=1,所以x-2=1,即x=32.(1)用配方法解一元二次方程x2+2x-24=0(x>0).配方的过程可以用拼图

表示.把方程x2+2x-24=0变形为x2+2x=24,即x(x+2)=24.配方的过程,可以

看成是将一个长为x+2,宽为x,面积为24的矩形割补成一个正方形.请在

图2-2-2①中的“?”处补全“拼成一个正方形”过程的图;(2)现有长为x+b,宽为x,面积为c的矩形(x>0,b>0,c>0,b、c为常数),如图2-

2-2②,你能利用四个这样相同的矩形构造1个图形,并利用你的拼图描

述方程x2+bx=c的求解过程吗?请画图并说明.

图2-2-2解析(1)

(2)画四个长为x+b,宽为x的