2019版高中全程练习方略配套资料：二元一次不等式与简单的线性规划问题

第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题三年19考高考指数:★★★★1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.但求解过程不要求对最优解进行取整分析.1.以考查线性目标函数的最值为重点，兼顾考查代数式的几何意义(如斜率、距离、面积等)；2.多在选择题、填空题中出现，有时也会在解答题中出现，常与实际问题相联系，列出线性约束条件，求出最优解.1.二元一次不等式(组)的解集满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的___，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为_________________________.解二元一次不等式(组)的解集【即时应用】(1)思考：二元一次不等式(组)的解集与平面直角坐标系内的点有何关系？提示：二元一次不等式(组)的解集可以看成平面直角坐标系内的点构成的集合,所有以不等式(组)的解为坐标的点都在平面直角坐标系内,就构成了一个平面区域.(2)设点P(x,y)，其中x，y∈N，满足x+y≤3的点P的个数为___.【解析】当x=0时，y可取0，1，2，3,有4个点；当x=1时，y可取0，1，2,有3个点；当x=2时，y可取0，1,有2个点；当x=3时，y可取0,有1个点,故共有10个点.答案：10

2.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域不

等

式表

示

区

域Ax+By+C＞0Ax+By+C≥0直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分

(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x0,y0)作为_______来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点位于直线的一侧,反之在直线的另一侧.测试点【即时应用】(1)如图所表示的平面区域(阴影部分)用不等式表示为_______.(2)以下各点①(0,0);②(-1,1);③(-1,3);④(2,-3);⑤(2,2)在x+y-1≤0所表示的平面区域内的是_________.(3)如果点(1，b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间，则b应取的整数值为____________.【解析】(1)由图可知边界直线过(-1,0)和(0,2)点,故直线方程为2x-y+2=0.又(0,0)在区域内,故区域应用不等式表示为2x-y+2≥0.(2)将各点代入不等式可知(0,0),(-1,1),(2,-3)满足不等式,故①②④在平面区域内.(3)令x=1,代入6x-8y+1=0，解得y=；代入3x-4y+5=0，解得y=2.由题意得

<b<2,又b为整数，∴b=1.答案：(1)2x-y+2≥0(2)①②④(3)13.线性规划的有关概念名称意义约束条件由变量x,y组成的不等式(组)线性约束条件由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)目标函数关于x,y的函数解析式，如z=x+2y线性目标函数关于x,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x,y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题名称意义【即时应用】(1)思考：可行解和最优解有何关系？最优解是否唯一？提示:最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解，最优解不一定唯一，有时只有一个，有时有多个.(2)已知变量x,y满足条件,则z=x+y的最小值为______,最大值为________.【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示,作出直线x+y=0，可观察知当直线过A点时z最小.由得A(1,1),此时zmin=1+1=2；当直线过B点时z最大.由得B(2,2),此时zmax=2+2=4.答案：24(3)若变量x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值为_________.【解析】不等式组所表示的平面区域如图所示.作出直线x-2y=0，可观察出当直线过A点时z取得最大值.由此时zmax=1+2=3.答案：3二元一次不等式(组)表示的平面区域【方法点睛】1.二元一次不等式表示的平面区域的画法在平面直角坐标系中,设有直线Ax+By+C=0(B不为0)及点P(x0,y0),则(1)若B＞0,Ax0+By0+C＞0,则点P在直线的上方,此时不等式Ax+By+C＞0表示直线Ax+By+C=0的上方的区域.(2)若B＞0,Ax0+By0+C＜0,则点P在直线的下方,此时不等式Ax+By+C＜0表示直线Ax+By+C=0的下方的区域.(注：若B为负,则可先将其变为正)(3)若是二元一次不等式组,则其平面区域是所有平面区域的公共部分.2.求平面区域的面积求平面区域的面积，要先画出不等式组表示的平面区域，然后根据区域的形状求面积.【提醒】在画平面区域时，当不等式中有等号时画实线，无等号时画虚线.【例1】已知不等式组

(1)画出该不等式组所表示的平面区域；(2)设该平面区域为S,求当a从-3到6连续变化时，x-y=a扫过S中的那部分区域的面积.【解题指南】(1)先画出各个不等式对应的直线(画成实线),再通过测试点确定区域.(2)通过直线变动确定扫过的图形形状再求面积.【规范解答】(1)不等式x-y+5≥0表示直线x-y+5=0上的点及右下方的点的集合，x+y≥0表示直线x+y=0上的点及右上方的点的集合，x≤3表示直线x=3上及其左方的点的集合.不等式组表示的平面区域即为图示的三角形区域.O-5x3C(3,-3)A(3,8)B(,)x=3x+y=0x-y+5=0y(2)由题意可知x-y=a扫过S的部分区域如图所示：∴DC=9,△CDE的边CD上的高为∴所求区域的面积＝【反思·感悟】1.作平面区域时要“直线定界,测试点定域”,同时注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点.2.求平面区域的面积,要先确定区域,若是规则图形可直接求，若不规则可通过分割求解.【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(-2,2),C(2,6),试写出△ABC及其内部区域所对应的二元一次不等式组,并求出该区域的面积.【解析】由已知得直线AB、BC、CA的方程，直线AB：x+2y-2=0,直线BC：x-y+4=0,直线CA：5x-2y+2=0.∴原点(0,0)不在各直线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组为：由题图可知,直线BC与y轴的交点坐标为D(0,4),∴简单的线性规划问题【方法点睛】1.利用线性规划求目标函数最值的步骤一般用图解法求解,其步骤是：第一步,画出约束条件对应的可行域；第二步，将目标函数视为动直线，并将其平移经过可行域，找到最优解对应的点；第三步，将最优解代入目标函数，求出最大值或最小值.2.目标函数最值问题分析(1)线性目标函数的最大值和最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，特别地对最优整数解可视情况而定.(2)目标函数通常具有相应的几何意义，如截距、斜率、距离等.【例2】已知实数x,y满足

(1)若z=x-2y,求z的最大值和最小值；(2)若z=x2+y2,求z的最大值和最小值；(3)若z=,求z的最大值和最小值.【解题指南】(1)作出可行域与直线x-2y=0，观察确定最优解；(2)由几何意义可确定z=x2+y2为可行域内的点到原点的距离的平方，以此求解；(3)由几何意义可知所求为可行域内的点与原点连线的斜率的最值,以此求解.【规范解答】不等式组表示的平面区域如图所示,图中的阴影部分即为可行域.由得A(1,2);由得B(2,1)；由得M(2,3).(1)由z=x-2y得由图可知,当直线

经过点B(2,1)时,z取得最大值,经过点M(2,3)时,z取得最小值.∴zmax=2-2×1=0,zmin=2-2×3=-4.x=2x-2y=0x+y-3=0x-y+1=0lyo3x2ABNM(2)过原点(0,0)作直线l垂直于直线x+y-3=0,垂足为N,则直线l的方程为y=x,由得在线段AB上,也在可行域内.观察图可知,可行域内点M到原点的距离最大,点N到原点的距离最小.又即∴∴z的最大值为13,最小值为

.(3)由图可得,原点与可行域内的点A的连线的斜率值最大,与点B的连线的斜率值最小,又∴z的最大值为2,最小值为

.【互动探究】若将本例中第(3)问目标函数修改为则z的最大值和最小值又将如何求？【解析】由本例图可知，目标函数的几何意义是可行域内的点与P(4,-3)点连线的斜率,由图可知，点P(4,-3)与A连线时斜率最大，与M连线时斜率最小.又故z的最大值为-,z的最小值为-3.【反思·感悟】1.求目标函数的最大值或最小值，必须先求出准确的可行域，令目标函数等于0，将其对应的直线平行移动，最先通过或最后通过的点便是最优解.2.对于目标函数具有明确的几何意义时,则应确定其几何意义是什么,如本例(2)中是与原点距离的平方而非距离，忽视这一点则极易错解.【变式备选】已知平面区域D由以A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D上有无穷多个点(x,y)可使目标函数z=x+my(m＞0)取得最小值，则m=()(A)(B)(C)1(D)4【解析】选C.方法一：由A(1,3)、B(5,2)、C(3,1)的坐标位置知，△ABC所在的区域在第一象限，故x＞0,y＞0.由z=x+my得它表示斜率为-，在y轴上的截距为

的直线,因为m＞0，则要使z=x+my取得最小值，必须使

最小，此时需方法二：把m的值逐一代入检验，只有m=1符合题意，故选C.线性规划的实际应用【方法点睛】线性规划的实际应用问题的解法与步骤线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线l；(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；(3)求值——解方程组求出A点的坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最值.【例3】某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.

如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？【解题指南】设出午餐和晚餐的单位个数，列出不等式组和费用关系式，利用线性规划求解.【规范解答】方法一：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足作出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分的整数点,3x+5y=27yO12345678910x12345678910x+y=73x+2y=162.5x+4y=0DCBA让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值.因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.方法二：设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得z=2.5x+4y,且x,y满足作出线性约束条件所表示的可行域,如图中阴影部分的整数点,3x+5y=27yO12345678910x12345678910x+y=73x+2y=162.5x+4y=0DCBAz在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是zA=2.5×9+4×0=22.5,zB=2.5×4+4×3=22,zC=2.5×2+4×5=25,zD=2.5×0+4×8=32.经比较得zB最小,因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.【反思·感悟】解线性规划的实际应用问题,关键是正确理解题意，最好将题目中的已知条件用表格形式呈现，来明确它们之间的关系,这样能方便写出线性约束条件及目标函数.【变式训练】铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如表：某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁,若要求CO2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为_________百万元．ab(万吨)c(百万元)A50%13B70%0.56【解析】设购买铁矿石A、B分别为x万吨、y万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则目标函数z=3x+6y，由得记P(1,2)，画出可行域可知，当目标函数z=3x+6y过点P(1，2)时，z取到最小值15.答案:15【易错误区】忽视题目中的约束条件致错【典例】(2011·湖南高考)设m＞1,在约束条件下,目标函数z=x+5y的最大值为4,则m的值为___________.【解题指南】由已知条件作出可行域,注意已知中m＞1的条件，可以利用一个特值如m=2作出可行域而后利用目标函数直线过哪一点取最大值，可求解.【规范解答】不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,把目标函数化为显然只有

在y轴上的截距最大时z的值最大,根据图形,目标函数在点A处取得最大值,由得A(),代入目标函数,即解得m=3.答案：3【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示与备考建议误区警示解答本题时有两点误区造成失分：(1)忽视条件m＞1，不能正确画出可行域(2)找错最值点,不能正确解出最值点坐标,从而代入求解失误备考建议解决含参数的