控制工程第4章系统的瞬态响应与误差分析

控制工程第4章系统的瞬态响应与误差分析引言本课程主要是研究控制系统的分析问题，即在系统和输入已知的情况下，通过求输出(响应)并根据输出来分析系统的性能（主要是动态性能）。对控制系统的基本要求是：稳、准、快。稳定性、准确性、快速性反映了系统的性能。理想的情况是输入的信号波形是什么样，系统的输出波形就应该是什么样，但实际的系统是很难满足这一要求的，存在着不稳、不准、不快等问题。系统分析的目的主要就是确定一个系统在这三方面的性能。3/27/20242引言系统的稳定性

稳定性是指系统动态过程的振荡倾向及其恢复平衡状态的能力。系统在受到外界扰动作用时，其被控制量y(t)将偏离平衡位置，当这个扰动作用去除后，若系统在足够长的时间内能恢复到其原来的平衡状态，则该系统是稳定的。系统的准确性

准确性是指系统的控制精度，一般用稳态误差来衡量，如用系统稳定后的实际输出与希望输出之间的差值或输入量与反馈量的差值或其它定义方法。系统的快速性

快速性是指输出量和输入量产生偏差时，系统消除这种偏差的快慢程度。3/27/20243引言二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位阶跃响应曲线000.20.40.60.811.21.41.61.82t(s)c(t)二阶系统的单位阶跃响应曲线

=0.4

=1

=2

=0

=0.7允差带图2-62二阶系统理想输出3/27/20244引言对系统性能的分析可以采用不同的方法进行。本章到第6章的内容就是介绍这些不同的方法。本章是在时间域上分析系统的动态性能；第5章是在频率域上分析系统的动态性能；而第6章则是针对系统的稳定性进行分析。这三章内容是本课程的核心内容。前三章都是为这三章作准备的，而第七章则是这三章的应用。3/27/20245本章主要内容时间响应及时间响应的求法；常见系统对典型输入信号的时间响应；系统在时间域上的动态性能指标；系统响应的误差分析。3/27/20246本章学习要求、重点、难点学习要求掌握时间响应和脉冲响应函数的概念；掌握典型一阶、二阶系统对典型输入信号（单位阶跃信号、单位斜坡信号，单位脉冲信号）的时间响应求法，并会借此对系统的动态特性进行分析；掌握时域性能指标的含义和计算方法，明确性能指标与系统特征参数之间的关系；掌握系统误差的概念和稳态误差的分析方法，明确稳态误差的影响因素；3/27/20247本章学习要求、重点、难点本章重点典型一阶、二阶系统对典型输入信号的时间响应的求法及响应曲线与系统特征参数之间的关系；二阶系统的性能指标及其与系统特征参数之间的关系；系统稳态误差的求法以及稳态误差与系统特征参数、输入信号和干扰之间的关系。本章难点时间响应的求解过程；稳态误差的求解。3/27/20248本章作业P97～P98习题4-14-24-4本章作业第5周星期三交。今天交第3章作业。3/27/202494-1时间响应时间响应的概念脉冲响应函数(或权函数)3/27/2024104-1时间响应时间响应的概念系统在输入量激励下，其输出量随时间变化的函数关系称之为系统的时间响应。通过对时间响应的分析可揭示系统本身的动态特性。如二阶系统（震荡环节）在欠阻尼（ζ＜1)情况下的单位阶跃响应（输入为单位阶跃信号时的时间响应）为3/27/2024114-1时间响应时间响应的概念利用时间响应对系统的动态特性（稳定性、准确性、快速性等）进行分析称为时域分析法。系统分析常用的典型输入信号（或函数）：简谐信号（即正弦或余弦信号）、脉冲信号、阶跃信号、斜坡信号、加速度信号（或称抛物线信号at2）等。其中，简谐信号用在频域分析中，其它信号（斜坡信号除外）则是在本章介绍的时域分析中使用。这些典型信号形式简单，在试验中也容易获得（往往是近似的），也能反映系统的实际工况。分析不同系统对同一典型输入信号的响应即可对不同系统的性能进行比较。3/27/2024124-1时间响应线性定常系统时间响应的组成 根据响应的性质和来源的不同，可将时间响应分解成如下形式：时间响应=稳态响应+瞬态响应(对稳定的系统而言)时间响应=零状态响应+零输入响应时间响应=强迫响应+自由响应时间响应=微分方程的特解+齐次方程的通解3/27/2024134-1时间响应瞬态响应ctr(t)：对稳定的系统，瞬态响应是指时间响应中随着时间的增加而逐渐减小，最终趋于0的那部分响应。教材中的定义：系统受到外加作用激励后，从初始状态到最终状态的响应过程称为瞬态响应。指的是稳定状态之前的整个时间响应过程。稳态响应css(t)：是指当时间趋于无穷大时系统的输出状态。时间响应c(t)：c(t)=ctr(t)+css(t)对不稳定的系统，分不出稳态响应和瞬态响应。因此，稳态响应和瞬态响应的概念对不稳定系统没有意义。3/27/2024144-1时间响应稳态响应瞬态响应二阶系统

的单位阶跃响应曲线

1y(t)0

nt

=0.4稳态响应3/27/2024154-1时间响应对稳定的线性定常系统来说，瞬态响应随时间的增加而逐渐减小，所以也有人称其为暂态响应或过渡响应。瞬态响应除了与输入信号有关外，还与系统初始状态有关。系统初始状态不同，瞬态响应也不同。瞬态响应对控制系统往往是有害的，可能造成系统不稳定，并带来控制误差。所以要尽量减小和缩短瞬态响应过程。瞬态响应反映了系统的相对稳定性和响应的快速性。对稳定的线性定常系统来说，稳态响应只是由输入信号引起，而与系统初始状态无关。因为初始状态由于能量有限，所以它引起的响应总要衰减到0，因此，初始状态引起的响应属于瞬态响应（但不等于瞬态响应，因为输入量也能引起瞬态响应）。稳态响应反映了系统响应的准确性。3/27/2024164-1时间响应求系统时间响应的方法：求解微分方程：直接求解或利用拉氏变换求解，可得到系统全响应；利用传递函数求解：只能得到系统的0初始条件下的响应（对线性因果系统而言即是零状态响应）；因为传递函数是在初始条件为0的情况下得到的。本章主要利用此方法，过程如下：y(t)X(s)输入输出系统对任意输入的响应系统G(s)x(t)Y(s)零状态响应3/27/2024174-2一阶系统的时间响应一阶系统的数学模型一阶系统（惯性环节）的单位阶跃响应一阶系统（惯性环节）的单位脉冲响应一阶系统（惯性环节）的单位斜坡响应3/27/2024184-2一阶系统的时间响应一阶系统的数学模型用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其微分方程的一般形式为c(t)—输出；r(t)—输入。常见形式化成通用形式式中 ，称为静态增益； ，叫时间常数；3/27/2024194-2一阶系统的时间响应令L[c(t)]=C(s)，L[r(t)]=R(s)

。在初始条件为0的情况下对上式等号两边同时作拉氏变换得到由此得到常见形式一阶线性定常系统传递函数的一般形式如下典型一阶系统1/(Ts+1)（归一化K=1）的方块图(a)E(s)R(s)C(s)R(s)C(s)＋－(b)比例环节与惯性环节串联3/27/2024204-2一阶系统的时间响应例1K=1/k，T=B/k。例2RCuo(t)ui(t)惯性环节比例-惯性环节3/27/2024214-2一阶系统的时间响应一阶系统

（惯性环节）的单位阶跃响应单位阶跃响应：输入为单位阶跃信号时系统的零状态响应。单位阶跃信号的拉氏变换为1tr(t)0单位阶跃信号3/27/2024224-2一阶系统的时间响应单位阶跃响应的拉氏变换为稳态响应瞬态响应当T=0时，时域响应(零状态响应)为c(t)=1(t≥0)系统变为零阶系统(比例环节)，零阶系统为理想系统。对上式进行拉氏反变换得时间响应(零状态响应)3/27/2024234-2一阶系统的时间响应一阶系统1/(Ts+1)的单位阶跃响应曲线图2-60一阶系统UnitStepResponseforH(s)=1/(Ts+1)

t(s)c(t)02468101200.20.40.60.81

T=0T=0.1T=0.5T=1T=23/27/2024244-2一阶系统的时间响应一阶系统1/(Ts+1)的单位阶跃响应曲线图2-60一阶系统结论：这种一阶系统（惯性环节）的时间常数T越小，响应越快（惯性越小），动态特性越好，所以T称为一阶系统的特征参数。5T4T3T2TT0c(t)t63.2%95.03%98.2%99.3%误差带2%1一阶系统的单位阶跃响应曲线86.5%3/27/2024254-2一阶系统的时间响应一阶系统

(惯性环节)的单位脉冲响应单位脉冲响应：输入为单位脉冲信号时系统的零状态响应。单位脉冲信号的拉氏变换为(1)tr(t)0单位脉冲信号单位脉冲响应的拉氏变换为3/27/2024260.5210g(t)一阶系统G(s)=1/(Ts+1)的单位脉冲响应曲线t4-2一阶系统的时间响应对上式进行拉氏反变换得时间响应(零状态响应)稳态响应=0瞬态响应从响应可知，T越小，响应越快（越快地趋近0），且在0时刻的响应越大。当T→0时，响应变成了单位脉冲信号。T＝0.5T＝1T＝23/27/2024274-2一阶系统的时间响应一阶系统

（惯性环节）的单位斜坡响应单位斜坡响应：输入为单位斜坡信号时系统的零状态响应。单位斜坡信号的拉氏变换为tr(t)0单位斜坡信号单位斜坡响应的拉氏变换为3/27/2024284-2一阶系统的时间响应对上式进行拉氏反变换得时间响应(零状态响应)稳态响应瞬态响应分析：由于稳态误差的存在，这种一阶系统对斜坡信号的响应总是落后于输入，也就是说系统响应的误差总是存在的。当t较大时，瞬态误差近似为0，响应落后于输入的时间近似为T。可以这样理解，当瞬态误差很小时，一阶系统对斜坡信号的响应是T秒以前的输入量，即css(t)=r(t‒T)∙1(t‒T)=(t‒T)∙1(t‒T)。结论：上述分析表明，T越小，这种一阶系统对单位斜坡信号响应的稳态误差越小，响应越快。稳态误差=T3/27/2024294-2一阶系统的时间响应一阶系统012345678910012345678910Unit-RampResponset(s)c(t)一阶系统G(s)=1/(Ts+1)的单位斜坡响应TTT=2T=0T=1T=3一阶系统稳态误差时间滞后3/27/2024304-2一阶系统的时间响应例子：一气象气球携带一种时间常数为15s的一阶温度计，以5m/s的上升速度在大气层中上升。设大气温度按每升高30m下降0.15℃的规律而变化，气球将温度和高度的数据用无线电波送回地面。在3000m处所记录的温度为−l℃。试问实际出现−l℃的真实高度是多少？解：该温度计为一阶系统，其传递函数设为温度随高度线性变化，对温度计来说相当于输入了一个斜坡信号，而这样的一阶系统对斜坡信号的稳态响应滞后时间为时间常数T

=15s(滞后时间与K无关)，如果不计无线电波传送时间，则温度计的输出实际上是15s以前的温度，所以实际出现−l℃的真实高度是Hz=H-V

=3000‒5

15=2925m3/27/202431单位脉冲响应、单位阶跃响应、单位斜坡响应之间的关系根据线性定常系统的微分特性和积分特性线性定常系统则线性定常系统若线性定常系统因为所以此结论对二阶及二阶以上线性定常系统同样适用。线性定常系统r(t)为单位斜坡函数3/27/2024324-3二阶系统的时间响应二阶系统的数学模型二阶系统（震荡环节）的单位阶跃响应二阶系统（震荡环节）的单位脉冲响应二阶系统（震荡环节）的单位斜坡响应3/27/2024334-3二阶系统的时间响应二阶系统的数学模型用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。其微分方程的一般形式为一阶系统一阶系统y(t)—输出；x(t)—输入。其常见形式（震荡环节）为：化成通用形式：3/27/2024344-3二阶系统的时间响应传递函数为：一阶系统一阶系统式中 ，称为静态增益； ，叫无阻尼固有角频率（rad/s）； ，叫阻尼比。典型二阶系统（归一化K=1）方块图R(s)E(s)C(s)R(s)C(s)－＋(a)(b)3/27/2024354-3二阶系统的时间响应例1：一阶系统一阶系统mf(t)—力x(t)—位移kB弹簧-质量-阻尼系统例2：RLC网络LRCuo(t)ui(t)i(t)K=13/27/2024364-3二阶系统的时间响应二阶系统

（震荡环节）的单位阶跃响应要将上式展开成部分分式之和，需考虑到不同的ζ值会导致不同的结果。从上式可知，当0≤ζ＜1时，G(s)的两个极点为共轭复数；当ζ＝1时，G(s)的两个极点(实数)重合；当ζ＞1时，G(s)的两个极点为实数。所以，要展开上式，应根据ζ大小的不同分别处理。【注】ζ＜0时，系统不稳定，这里不做研究。3/27/2024374-3二阶系统的时间响应二阶系统

的极点分布图[s]平面上二阶系统的闭环极点分布图0‒ζωnσjω

θs2s1s（a）0＜ζ＜1‒0‒ωnσjωs1=s2（b）ζ＝1sσ（c）ζ＞1s1s20jωs‒jωnσ（d）ζ＝0jωn0jωs1s2s3/27/2024384-3二阶系统的时间响应（1）欠阻尼情况(0≤ζ＜1)此时，G(s)有两个共轭复数极点

称为有阻尼固有（或自然）角频率。将C(s)改写成如下形式（也可利用部分分式法，但很麻烦）3/27/2024394-3二阶系统的时间响应利用拉氏变换复域位移定理或直接查对照表可知稳态响应瞬态响应(0≤ζ＜1)3/27/2024404-3二阶系统的时间响应当无阻尼（ζ=0）时等幅振荡3/27/2024414-3二阶系统的时间响应（2）临界阻尼情况(ζ＝1)此时，G(s)有两个相等的实数极点‒ωn，所以所以瞬态响应稳态响应3/27/2024424-3二阶系统的时间响应（3）过阻尼情况(ζ＞1)此时，G(s)有两个不相等的负实数极点所以求得代入上式得3/27/2024434-3二阶系统的时间响应瞬态响应稳态响应教材82页按此修改。3/27/2024444-3二阶系统的时间响应因为 ，所以，上式后两项都按指数规律衰减。若ζ>>1，则上式第二项远较第三项衰减得快，因而可忽略第二项，即这时，二阶系统蜕化为一阶系统。3/27/2024454-3二阶系统的时间响应二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位阶跃响应曲线c(t)二阶系统的单位阶跃响应曲线

=0.1

=0.3

=0.7

=0.9

=2

=0

=0.5图2-62二阶系统000.511.52t(s)允差带5%r(t)

=1【注】教材82页图4-16的横坐标分度为ωnt，为无量纲量。3/27/2024464-3二阶系统的时间响应二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位阶跃响应曲线c(t)二阶系统的单位阶跃响应曲线

=0.1

=0.3

=0.7

=0.9

=2

=0

=0.5图2-62二阶系统000.511.52t(s)允差带2%r(t)

=13/27/2024474-3二阶系统的时间响应c(t)

t(s)二阶系统的单位阶跃响应曲面3/27/2024484-3二阶系统的时间响应00.0050.0060.0070.0080.0090t(s)0.0010.0020.0030.0040.010.20.40.60.81c(t)

n=5000

n=4000

n=3000

n=2000

n=1000

=0.6固有频率对动态特性的影响分析允差带说明ωn不影响系统的相对稳定性，只影响响应速度。3/27/2024494-3二阶系统的时间响应结论由上面的响应式可知，参数ζ和ωn都要影响系统的动态响应特性。这种系统的阻尼比

选在0.7左右（如0.5~0.8）时趋于稳态值的时间较短，相对稳定性也较好，即动态特性较好；无阻尼固有频率

n越大，趋于稳态的时间越短，动态特性越好。【此结论不可推广到其他形式的二阶系统】

3/27/2024504-3二阶系统的时间响应二阶系统

（震荡环节）的单位脉冲响应因为单位脉冲函数δ(t)是单位阶跃函数的导数，根据线性定常系统的微分特性可知，单位脉冲响应也是单位阶跃响应的导数。所以直接对前述单位阶跃响应求导即可得到单位脉冲响应，结果如下。3/27/2024514-3二阶系统的时间响应（1）欠阻尼情况(0≤ζ＜1)指数衰减振荡（2）临界阻尼情况(ζ＝1)指数衰减稳态响应=0（不管ζ等于多少）无阻尼（ζ=0）时等幅正弦振荡3/27/2024524-3二阶系统的时间响应（3）过阻尼情况(ζ＞1)因为 ，所以，上述中括号里的两项都按指数规律衰减。若ζ>>1，则上式中括号里的第一项远较第二项衰减得慢，因而可忽略第二项，即这时，二阶系统蜕化为一阶系统。教材中82页此式不对3/27/2024534-3二阶系统的时间响应二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位脉冲响应曲线00t(s)c(t)Unit-ImpulseResponseofG(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)

二阶系统ζ=0ζ=0.1ζ=0.3ζ=0.5ζ=0.7ζ=1ζ=2误差带3/27/2024544-3二阶系统的时间响应固有频率对动态特性的影响分析00.511.522.533.544.55×10-3-500050010001500200025003000ImpulseResponset(s)

n=5000

n=4000

n=3000

n=2000

=0.5c(t)3/27/2024554-3二阶系统的时间响应结论：由上面的响应式可知，参数ζ和ωn都要影响动态响应特性。由单位脉冲响应曲线可见当ζ＜1时，开始响应快，但振荡强烈，趋于稳态（0）的时间长。当ζ=0时，响应变成了等幅正弦振荡过程c(t)=ωnsinωnt。随着ζ的增大，振荡幅度减小，趋于稳态值（落在允许误差带内）的时间减小。当ζ≥1时，响应曲线变成指数衰减曲线，不再有振荡，响应虽然不再有振荡，但趋于稳态的时间也增长。只有ζ在0.7左右时，趋于稳态值的时间才最短，相对稳定性也较好。所以，这种系统的阻尼比多选在0.5～0.8之间。另外，ωn越大，趋于稳态的时间越短。3/27/2024564-3二阶系统的时间响应二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位斜坡响应稳态误差瞬态响应3/27/202457Unit-RampResponseofG(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)t(s)c(t)012345678910012345678910

4-3二阶系统的时间响应二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位斜坡响应曲线二阶系统2ζ/ωn时间滞后2ζ/ωn稳态误差图2-65二阶系统r(t)=tζ=0.1ζ=0.3ζ=0.5ζ=0.7ζ=0.9ζ=1.1ζ=1.5ζ=03/27/2024584-3二阶系统的时间响应由于稳态误差的存在，这种二阶系统对斜坡信号的响应总是落后于输入，也就是说动态误差总是存在的。当t较大时，瞬态误差近似为0，输出（响应）落后于输入的时间近似为2ζ/ωn。可以这样理解，当瞬态误差很小时，这种二阶系统对斜坡信号的响应输出是2ζ/ωn秒以前的输入量，即c(t)=x(t‒2ζ/ωn)∙1(t

‒2ζ/ωn)=(t‒2ζ/ωn)∙1(t

‒2ζ/ωn)动态参数ζ和ωn都要影响动态响应特性。减小ζ，提高ωn，可以减小稳态误差和时间滞后。但由响应曲线可以看出，ζ太小系统会产生强烈的振荡，瞬态误差很大，趋于稳态值（t‒2ζ/ωn）的时间很长。所以，这种系统的阻尼比多选在0.5～0.8之间，这样既能保证较短的趋于稳态值的时间，又能保证较小的稳态误差。另外，ωn越大，趋于稳态的时间越短，稳态误差也越小。3/27/202459时间响应分析说明上述分析是针对常见一、二阶传递函数形式的系统进行的，得到的结论不可简单地推广到其它形式的一、二阶系统。例如，右图所示系统也是一个一阶系统，其微分方程和传递函数分为其复域单位阶跃响应为RCuo(t)ui(t)3/27/202460时间响应分析说明其时域单位阶跃响应为00.511.522.5300.20.40.60.81

Unit-StepResponseofG(s)=Ts/(Ts+1)t(s)uo(t)T=0.1T=0.2T=0.3T=0.4T=0.5如果将该系统看成是高通滤波器，则从功能上来说，该系统时间常数T不是越小越好，也不是越大越好，而是要根据滤波频率下限的限制来选择。3/27/2024614-4高阶系统动态分析三阶系统高阶系统略3/27/2024624-5时域响应的性能指标时域响应的性能指标二阶系统的时域性能指标3/27/2024634-5时域响应的性能指标为了在时域评价系统的动态性能，一般要使用一些量化的参数——时域性能指标。时域响应的性能指标以下是性能指标定义的条件系统的输入为单位阶跃信号，即系统的响应为单位阶跃响应；系统的初始条件为零，即系统的响应为零状态响应。【注意】实测时，输入不一定能保证是单位阶跃信号（而是非单位阶跃信号），但按下述定义计算的性能指标不变。3/27/2024644-5时域响应的性能指标常用的时域响应性能指标0.10.50.91c(tp)0c(t)t允差带±δ%二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位阶跃响应曲线图2-71二阶系统稳态值tr(过阻尼)调整时间tstp峰值时间td延迟时间c(tp)tr上升时间(欠阻尼)超调量超调量Mp表征了系统的相对稳定性，td、tr及ts表征了系统的快速性（灵敏性）。3/27/2024654-5时域响应的性能指标常用的时域响应性能指标延迟时间td：单位阶跃响应c(t)达到其稳态值的50%所需的时间，称作延迟时间。上升时间tr：单位阶跃响应c(t)，从稳态值的10%上升到90%(通常用于过阻尼系统)，或从0首次上升到100%所需的时间(通常用于欠阻尼系统)，称作上升时间。峰值时间tp：单位阶跃响应c(t)超过其稳态值而达到第一个峰值所需要的时间，定义为峰值时间。调整时间ts：单位阶跃响应与稳态值之差进入允许的误差±δ%范围，并一直保持在这一误差范围内所需的时间称作调整时间。允许的误差用稳态值的百分数来表示，通常取

δ%=5%或2%。图2-71二阶系统3/27/2024664-5时域响应的性能指标超调量Mp；单位阶跃响应第一次越过稳态值而达到峰值时，峰值对稳态值的偏差与稳态值之比的百分数，定义为超调量，即 式中c(∞)表示稳态值。当c(∞)＝1，则Mp＝[c(tp)－1]×100%。在上述指标中，超调量Mp表征了系统的相对稳定性，td、tr及ts表征了系统的快速性（灵敏性）。图2-71二阶系统3/27/2024674-5时域响应的性能指标二阶系统的时域性能指标以下计算下述欠阻尼(0<ζ<1)二阶系统的性能指标其单位阶跃响应为3/27/2024684-5时域响应的性能指标二阶系统的单位阶跃响应曲线（0＜ζ＜1）0.51c(tp)0c(t)ttptstrtdc(tp)允差带二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位阶跃响应曲线图2-71二阶系统Td=2π/ωd超调量3/27/2024694-5时域响应的性能指标上升时间tr（从0上升到稳态值）当t＝tr时，c(tr)＝1，所以不等于03/27/2024704-5时域响应的性能指标因为tr＞0且是第一次上升到稳态值的时间，所以取n=1，即3/27/20247100.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.0050.010.0150.020.025

ζtr(s)4-5时域响应的性能指标下图展示了上升时间tr与ζ、ωn的关系。ωn=1000ωn=2000ωn=3000ωn=4000ωn=50003/27/2024724-5时域响应的性能指标峰值时间tp令因为tp＞0且是第一次上升到峰值的时间，所以取n=1，即即峰值时间tp等于阻尼振荡周期Td的一半。3/27/2024734-5时域响应的性能指标下图展示了峰值时间tp与ζ、ωn的关系。ωn=1000ωn=2000ωn=3000ωn=4000ωn=500000.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.0050.010.0150.020.025

ζtp(s)ωn=1000ωn=2000ωn=3000ωn=4000ωn=50003/27/2024744-5时域响应的性能指标超调量Mp超调量Mp只与系统的阻尼比ζ有关，这说明ωn不影响系统的相对稳定性，只影响响应时间。3/27/20247500.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100ζMp(%)4-5时域响应的性能指标超调量Mp与系统的阻尼比ζ的关系曲线。3/27/2024764-5时域响应的性能指标调整时间ts 调整时间ts的表达式难以确切求出，可用近似的方法计算。对于欠阻尼二阶系统，时域单位阶跃响应为衰减的振荡曲线该瞬态响应曲线的包络线为以包络线代替单位阶跃响应曲线近似求取调整时间。3/27/202477c(t)0Td2Td3Td4Td5Td6Td-0.500.511.522.5t(s)4-5时域响应的性能指标二阶系统单位阶跃响应曲线与包络线。ts3/27/2024784-5时域响应的性能指标设允许误差范围为δ%，则根据调整时间的定义得用包络线近似地取代响应曲线，便可得两边取自然对数得3/27/2024794-5时域响应的性能指标当δ=5时，当ζ较小（如ζ<0.1）时，上两式可近似为当δ=2时，当δ=5时，当δ=2时，3/27/20248000.10.20.30.40.50.60.70.80.9100.010.020.030.040.050.06ζtr，tp，ts(s)4-5时域响应的性能指标tr、tp、ts、Mp与ζ的关系比较。调整时间ts上升时间tr峰值时间tp超调量MpMp(%)0102030405060708090100ωn=1000rad∙s-1δ%=5%当ζ=0.68时，调整时间达到最小。（若δ%=2%，则当ζ=0.76时，调整时间达到最小。）3/27/2024814-5时域响应的性能指标归纳参量ζ、ωn与各性能指标间的关系：若保持ζ不变而增大ωn，则不影响Mp，但td、tp及ts均会减小，系统的快速性好。故增大系统无阻尼自然频率ωn对提高系统性能是有利的。若保持ωn不变而改变ζ，减小ζ，td、tr和tp均会减小，但Mp增大，快速性好，但相对稳定性差。反之，增大ζ，td、tr和tp均增大，但Mp减小，快速性差但相对稳定性好。ts在ζ=0.7左右最小。因此要适当选择ζ，通常ζ取在0.4～0.8之间，使二阶系统既有较好的快速性能又有较好的相对稳定性。当ζ＝0.707时，Mp、ts均小，这时Mp＝4.3%。所以称ζ＝0.707为最佳阻尼比。3/27/20248201234500.0020.0040.0060.0080.010t/sx(t)/m4-5时域响应的性能指标例4-2(P88)如图所示机械系统，在质量块m上施加f(t)＝3(N)阶跃力后，质量块m的时间响应x(t)如图所示。根据这个响应曲线，确定质量m、粘性阻尼系数B和弹簧刚度系数k的值。mf(t)=3∙1(t)(N)x(t)—位移kB单自由度有阻尼振动系统图4-22机械振动系统的阶跃响应Mp=0.095稳态值3/27/2024834-5时域响应的性能指标解：系统的传递函数由三个已知量：稳态值0.01，超调量Mp=0.095，峰值时间tp=2s。（-0.6舍掉）3/27/2024844-5时域响应的性能指标由得由终值定理得稳态值3/27/2024854-5时域响应的性能指标由得由得3/27/2024864-5时域响应的性能指标例4-3（P89）有一位置随动系统，其方块图如下图(a)所示。当系统输入单位阶跃函数时，要求Mp≤5%，试（1）校核该系统的各参数是否满足要求；（2）在原系统负反馈通道中增加一阶微分环节，如图(b)所示。求满足要求时的微分反馈时间常数τ。图4-23位置随动系统方块图R(s)C(s)R(s)C(s)(a)(b)+‒+‒3/27/2024874-5时域响应的性能指标解：（1）系统(a)的闭环传递函数为写成通用形式ζ=0.316，ωn=31.623(rad/s)。因是欠阻尼系统，所以因此该系统不满足本题要求。3/27/2024884-5时域响应的性能指标解：（2）系统(b)的闭环传递函数为不变令3/27/2024894-5时域响应的性能指标所以，要保证Mp≤5%，应有τ≥0.02365(s)。从本题可以看出，当在系统负反馈通道里加入一阶微分环节时，相当于增大了系统的阻尼比ζ，改善了系统的相对稳定性，即减小了Mp，但并没有改变系统的无阻尼自然频率ωn。3/27/2024904-6系统误差分析系统误差与稳态误差的概念系统的类型静态误差系数与稳态误差扰动作用下的稳态误差3/27/2024914-6系统误差分析从前面的对系统的时间响应分析中可知，系统对输入信号的响应往往存在着误差。误差分为瞬态误差和稳态误差。瞬态误差反映了系统的快速性和稳定性，而稳态误差则反映了系统的准确性。另外，干扰也会给系统响应带来误差。下面重点研究系统的稳态误差。【注】关于误差的定义，不同的教材有不同的定义方法，学习时要注意区别。如杨叔子等编写的《机械工程控制基础》(2005年7月第5版)中的定义就与本教材不同。本教材的定义以系统输入信号为基准，而杨叔子教材中的定义是以系统期望的输出信号为基准。3/27/2024924-6系统误差分析系统误差与稳态误差的概念（1）系统误差的定义G(s)H(s)E(s)R(s)C(s)+‒B(s)r(t)e(t)b(t)c(t)反馈系统方块图G(s)E(s)R(s)C(s)+‒B(s)r(t)e(t)b(t)c(t)单位反馈系统方块图下面的误差分析均采用第1种定义。定义1：e(t)＝r(t)－b(t)（时域） E(s)＝R(s)－B(s)＝R(s)－H(s)C(s)（复域）这2种定义都是以系统的输入信号为基准。只有在单位反馈系统中，两者才一致。定义2：e(t)＝r(t)－c(t)（时域） E(s)＝R(s)－C(s)（复域）3/27/2024934-6系统误差分析系统误差按性质可分为瞬态误差和稳态误差，即系统误差=瞬态误差+稳态误差瞬态误差是系统误差信号e(t)中的瞬态分量，该误差和时间有关。对稳定的系统，瞬态误差的绝对值随时间的增加而减小，最终趋于0。瞬态误差决定了系统的稳定性和快速性。（2）稳态误差稳态误差是系统误差信号e(t)中的稳态分量，我们用ess表示。对稳定的系统，稳态误差即是t→∞时的系统误差，即稳态误差只与系统特性参数和输入有关而与时间无关。稳态误差决定了系统的准确度。3/27/2024940246810121416182002468101214161820t(s)c(t)τ典型二阶系统G(s)=ωn2/(s2+2ζωns+ωn2)的单位斜坡响应曲线4-6系统误差分析r(t)=tc(t)稳态误差=2ζ/ωn3/27/2024954-6系统误差分析稳态误差可利用拉氏变换的终值定理由e(t)的拉氏变换E(s)求得。即式中，R(s)为输入信号的拉氏变换；G(s)H(s)为系统的开环传递函数。该式说明：稳态误差与系统（开环传递函数G(s)H(s)）和输入信号R(s)有关。系统不同/输入信号不同，稳态误差也不同。本节就是研究不同类型系统在不同典型输入信号激励下的稳态误差大小。上式推导如下：3/27/2024964-6系统误差分析G(s)H(s)E(s)R(s)C(s)+‒B(s)r(t)e(t)b(t)c(t)也可以利用前面讲过的误差传递函数表达式得到。3/27/2024974-6系统误差分析系统的类型G(s)H(s)E(s)R(s)C(s)+‒B(s)r(t)e(t)b(t)c(t)反馈系统方块图开环传递函数G(s)H(s)一般可写为K为开环增益；τ1，…，τm，T1，…，Tp为时间常数。1/sλ表示开环传递函数有λ个积分环节，λ＝0，1，2，…，n－p。(P91)系统稳态误差的大小与系统类型有关，对系统分类，目的是找出不同类型系统对不同信号响应的稳态误差大小的普遍规律。3/27/2024984-6系统误差分析按系统开环传递函数拥有积分环节的个数对系统分类：λ＝0，无积分环节，称为0型系统；λ＝1，有一个积分环节，称为I型系统；λ＝2，有两个积分环节，称为II型系统；λ＝i，有i个积分环节，称为i型系统。一般λ＞2的系统难以稳定，实际上很少见。【注】这种分类方法与系统的阶次分类法不同。3/27/2024994-6系统误差分析将前述开环传递函数表达式代入稳态误差式中得上式表明，决定系统稳态误差大小的因素有：系统的型次λ；开环增益K（K越大，稳态误差越小）；输入信号R(s)。3/27/20241004-6系统误差分析静态误差系数与稳态误差静态误差系数静态误差系数反映了控制系统在单位阶跃输入、单位斜坡输入和单位抛物线输入下，消除稳态误差的能力。静态误差系数越大，准确度越高，稳态误差越小。静态位置误差系数Kp静态速度误差系数Kv静态加速度误差系数Ka【注1】上述名称并不反映系统实际的输出量，或者说系统实际的输出量并不一定就是位置、速度或加速度。上述名称只是根据输入信号的性质命名。在随动系统中一般称阶跃信号为位置信号，斜坡信号为速度信号，抛物线信号为加速度信号。【注2】稳态误差只对稳定的系统才有意义。3/27/20241014-6系统误差分析（1）静态位置误差系数Kp(P91)是针对输入为单位阶跃信号而定义的。即系统在单位阶跃输入信号下的稳态误差称为位置误差，如下式：对应的静态位置误差系数Kp定义为s→0时开环传递函数的值，即。(P91)3/27/20241024-6系统误差分析所以，位置误差与静态位置误差系数的关系为对0型系统，λ=0，所以对1型及以上系统，λ≥1，所以结论：0型系统对阶跃信号的响应是稳态有差的，而1型及以上系统对阶跃信号的响应是稳态无差的。对0型系统，可通过增加开环增益K来减小稳态误差，但K增大，系统相对稳定性一般会变差。(P92)3/27/20241034-6系统误差分析例1：两个二阶单位反馈系统的前向传递函数分别为因是单位反馈系统，其开环传递函数就等于前向传递函数，所以，这是两个二阶0型系统，λ=0，开环增益分别为K1=9和K2=4，所以上述结果表明，开环增益越大，单位阶跃响应的稳态误差越小。单位阶跃响应曲线如下图所示。3/27/20241041.6024681012141600.20.40.60.80.911.21.4t(s)c(t)4-6系统误差分析稳态响应ess1=0.1ess2=0.2调整时间ts1调整时间ts2系统1系统2因为是单位反馈系统，所以输入信号r(t)3/27/20241054-6系统误差分析由响应曲线可见，0阶系统对单位阶跃响应存在稳态误差，是有差的，且开环增益越大，稳态误差越小。因为系统1的开环增益K1大于系统2的开环增益K2，所以系统1的稳态误差ess1小于系统2的稳态误差ess2。但系统1的调整时间ts1大于系统2的调整时间ts2，即系统1的相对稳定性较系统2差。上面分析表明，减小系统稳态误差与提高系统的相对稳定性是矛盾的，要折中考虑。3/27/20241064-6系统误差分析例2：某二阶单位反馈系统的前向传递函数为因是单位反馈系统，其开环传递函数就等于前向传递函数，所以，这是一个二阶1型系统，λ=1，开环增益为10，所以该系统单位阶跃响应曲线如下图所示。3/27/202410702468101200.20.40.60.811.21.41.61.8t(s)c(t)4-6系统误差分析因为是单位反馈系统，所以稳态响应ess=03/27/20241084-6系统误差分析（2）静态速度误差系数Kv是针对输入为单位斜坡信号而定义的。系统在单位斜坡输入信号下的稳态误差称为速度误差。速度误差大小为该稳态误差对应的静态速度误差系数Kv定义为3/27/20241094-6系统误差分析所以，速度误差与静态速度误差系数的关系为对0型系统，λ=0，所以对1型系统，λ=1，所以对2型及以上系统，λ≥2，所以3/27/20241104-6系统误差分析结论：0型系统不能跟踪斜坡信号，即达不到稳态。1型系统能跟踪斜坡信号，但响应存在稳态误差1/K，是稳态有差的。该误差与输入的速度（即斜坡信号的斜率）成正比，与开环增益K成反比。2型及以上系统对斜坡信号的响应是稳态无差的。3/27/20241114-6系统误差分析例1：三个单位反馈系统的前向传递函数分别为因是单位反馈系统，其开环传递函数就等于前向传递函数，所以，按顺序分别为0型、1型和2型系统，开环增益分别为K1=4、K2=5和K3=2，所以单位斜坡响应曲线如下图所示。3/27/20241124-6系统误差分析0246802468

t(s)c(t)1型系统0型系统2型系统r(t)=tess2=0.2ess1=∞ess3=0因为是单位反馈系统，所以3/27/20241134-6系统误差分析（3）静态加速度误差系数Ka是针对输入为单位加速度信号（抛物线）r(t)=t2/2而定义的。系统在单位加速度输入信号下的稳态误差称为加速度误差。加速度误差大小为该稳态误差对应的静态加速度误差系数Ka定义为3/27/20241144-6系统误差分析所以，加速度误差与静态加速度误差系数的关系为对0型系统，λ=0，所以对1型系统，λ=1，所以对2型系统，λ=2，所以3/27/20241154-6系统误差分析结论：0型、1型系统不能跟踪加速度信号，即达不到稳态。2型系统能跟踪加速度信号，但响应存在稳态误差1/K，是稳态有差的；3型及以上系统对加速度信号的响应是稳态无差的。对3型及以上系统，λ≥3，所以3/27/20241164-6系统误差分析例1：四个单位反馈系统的前向传递函数分别为因是单位反馈系统，其开环传递函数就等于前向传递函数，所以，按顺序分别为0型、1型、2型和3型系统，开环增益分别为K1=4、K2=2.5、K3=2和K4=5/3，所以单位加速度响应曲线如下图所示。3/27/20241174-6系统误差分析01234502468101214

t(s)c(t)0型系统1型系统2型系统r(t)=t2/23型系统ess3=0.5ess2=∞ess4=0ess1=∞因为是单位反馈系统，所以3/27/20241184-6系统误差分析系统类型输入函数单位阶跃r(t)＝1单位斜坡r(t)＝t加速度r(t)＝t2/20型∞∞I型0∞II型00III型及以上(λ≥3)000表4‑1各种类型系统对三种输入信号的稳态误差系统开环增益K对稳态误差大小起着重要作用【注】以上我