新北师大版八年级下册《三角形的证明》

三角形的证明【知识点一：全等三角形的判定与性质】1．判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边〔SAS〕、角边角〔ASA〕角角边〔AAS〕、边边边〔SSS〕具备一般三角形的判定方法斜边和一条直角边对应相等〔HL〕性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等2．证题的思路：【典型例题】1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如下图，那么能说明∠AOC=∠BOC的依据是〔〕A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等2．以下说法中，正确的选项是〔〕A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D．面积相等的两个三角形全等3．如图，△ABC≌ΔADE，假设∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，那么∠EAC的度数为〔〕A．40° B．35° C．30° D．25°4．：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.5．用三角板可按下面方法画角平分线：在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON〔如图5－7〕，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，那么OP平分∠AOB，请你说出其中的道理．图5－7【稳固练习】1．以下说法正确的选项是〔〕A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，假设△ADB≌△EDB≌△EDC，那么∠C的度数为〔〕A．15° B．20° C．25° D．30°3．如图，△ABC的六个元素，那么下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是〔〕A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙4．如图4－9，ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC和ΔA'B'C'的角平分线．〔1〕请证明AD＝A'D'；〔2〕把上述结论用文字表达出来；〔3〕你还能得出其他类似的结论吗?图4－95．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l的垂线AE、BF，E、F为垂足．〔1〕当直线l不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．图4－10〔2〕如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．图4－11【知识点二：等腰三角形的判定与性质】等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形〔等角对等边〕等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等〔等边对等角〕；等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等．【典型例题】1．等腰三角形的两边长分别为3和6，那么这个等腰三角形的周长为〔〕A．12 B．15C．12或15 D．182．等腰三角形的一个角是80°，那么它顶角的度数是〔〕A．80° B．80°或20° C．80°或50° D．20°3．△ABC中，AB=AC=x，BC=6，那么腰长x的取值范围是〔〕A．0＜x＜3 B．x＞3C．3＜x＜6D．x＞64．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有〔〕A．1个B．2个C．3个 D．4个5．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长．6、如以下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点〔M与A不重合〕MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.【稳固练习】1．如图，直线AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，那么∠A等于〔〕A．30° B．40° C．50° D．70°2．以下说法错误的选项是〔〕A．顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D．两个等边三角形全等3．如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．假设△ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为〔〕A．6 B．7 C．8 D．94．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，假设BM+CN=9，那么线段MN的长为〔〕A．6 B．7 C．8 D．95．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G．求证：

〔1〕△GDF≌△CEF；〔2〕△ABC是等腰三角形．【知识点三：等边三角形的判定与性质】判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有两个叫是60°的三角形是等边三角形．性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°．【典型例题】1．以下说法中不正确的选项是〔〕A．有一腰长相等的两个等腰三角形全等B．有一边对应相等的两个等边三角形全等C．斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等2．如图，在等边△ABC中，∠BAD=20°，AE=AD，那么∠CDE的度数是〔〕A．10° B．12.5° C．15° D．20°3、如右图，△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.【变式练习】1．以下命题：①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．其中错误的有〔〕A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，AC=CD=DA=BC=DE．那么∠BAE是∠BAC的〔〕A．4倍B．3倍C．2倍D．1倍3．如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．假设DE=DB，那么CE的长为．4．如图，等边△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD=CE，连接AD、BE交于F点，那么∠FAE+∠AEF的度数是〔〕A．60°B．110°C．120°D．135°5．如图，：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，假设OA1=1，那么△A6B6A7的边长为〔〕A．6B．12 C．32D．646.如图①，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q．〔1〕求证：∠BQM=60°；〔2〕如图②，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，〔1〕中的结论是否仍然成立?假设成立，给予证明；假设不成立，说明理由．7．如图，C为线段BD上一点〔不与点B，D重合〕，在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G．

〔1〕求证：BE=AD；〔2〕求∠AFG的度数；〔3〕求证：CG=CH．【知识点四：反证法】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立．这种证明方法称为反证法．【根底练习】1、否认“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为〔〕A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的选项是〔〕A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°3、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角．【知识点五：直角三角形】1、直角三角形的有关知识．勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．2、互逆命题、互逆定理在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.【典型例题】1、说出以下命题的逆命题，并判断每对命题的真假：〔1〕四边形是多边形；〔2〕两直线平行，同旁内角互补；〔3〕如果ab=0，那么a=0，b=0；〔4〕在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等2．使两个直角三角形全等的条件是〔〕A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等 D．两条边对应相等3．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为〔〕A．7 B．6 C．5 D．44．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，那么AG的长为〔〕A．1 B． C． D．25．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，假设CD=2，那么BD等于〔〕A．6 B．4C．3D．26．如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，那么点A到边BC的距离为〔〕A． B． C．4D．37．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．

〔1〕求证：△ACE≌△BCD；

〔2〕直线AE与BD互相垂直吗?请证明你的结论．8．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△ABC，△ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．

〔1〕在图中画△BCD，使△BCD的面积=△ABC的面积〔点D在小正方形的顶点上〕．

〔2〕请直接写出以A、B、C、D为顶点的四边形的周长．9．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；

〔1〕求证：B′E=BF；

〔2〕设AE=a，AB=b，BF=c，试猜测a，b，c之间的一种关系，并给予证明．【变式练习】1．利用根本尺规作图，以下条件中，不能作出唯一直角三角形的是〔〕A．斜边和一锐角 B．一直角边和一锐角C．斜边和一直角边 D．两个锐角2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，那么点C到AB的距离是〔〕A． B． C． D．3．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，假设正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．那么最大的正方形E的面积是．4．Rt△ABC中，∠C=90°，且BC=AB，那么∠A等于〔〕A．30° B．45° C．60°D．不能确定5．：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．

求证：CD⊥AB．6．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，∠BCD是不是直角?请说明理由．7．正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按以下要求画三角形：

〔1〕在图1中，画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、、；〔2〕在图2中，画△DEF，使△DEF为钝角三角形且面积为2．【提高练习】1．如图．矩形纸片ABCD中，AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．那么AB的长为〔〕A．3 B．4 C．5D．62．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，假设a，c的面积分别为5和11，那么b的面积为〔〕A．4B．6 C．16D．55n2345…a22－132－142－152－1…b46810…c22+132+142+152+1…3．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：〔1〕请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n〔n＞1〕的代数式表示：

a=，b=，c=；

〔2〕猜测：以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜测．4．如图，AC=BC=10cm，∠B=15°，AD⊥BC于点D，那么AD的长为〔〕A．3cm B．4cmC．5cmD．6cm5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，BD=8，那么AC=．6．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C〔点C必须在小正方形的顶点上〕，使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：

〔1〕在图1中画一个△ABC，使△ABC为面积为5的直角三角形；

〔2〕在图2中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形．7．，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．

〔1〕求证：△AEB≌△CDA；

〔2〕求∠BPQ的度数；

〔3〕假设BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的长．【知识点六：线段的垂直平分线】线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。【典型例题】1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，那么以下结论不正确的选项是〔〕A．AE=BE B．AC=BE C．CE=DE D．∠CAE=∠B2．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．假设△ADC的周长为10，AB=7，那么△ABC的周长为〔〕A．7 B．14 C．17D．203．三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，那么这点一定是三角形的〔〕A．三条中线的交点 B．三边垂直平分线的交点C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点4．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，那么超市应建在〔〕A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处5．如图，AD为∠BAC的角平分，线段AD的垂直平分线交AB于M，交AC于N，试说明MD∥AC．

6．如下图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．7．如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF．

【变式练习】1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．∠BAE=10°，那么∠C的度数为〔〕A．30°B．40°C．50°D．60°2．如图，在△ABC中，AC=29，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．△BCE的周长等于50，那么BC的长为〔〕A．2l B．22 C．23 D．243．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，BC=13cm，那么△AEG的周长为〔〕A．6.5cm B．13cm C．26cm D．154．：如图，△ABC的∠A＞∠ABC，边BC的垂直平分线DE分别交AC，BC于D，E，那么AD+BD与BC的关系是〔〕A．大于 B．小于 C．等于 D．不能确定5．如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?你能画图说明吗?

6．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC－BC=2cm，求AB、BC的长．【提高练习】1．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于D、E点．MN垂直平分AC，分别交AC、BC于M、N点．

〔1〕假设∠BAC=100°，求∠EAN的度数；

〔2〕假设∠BAC=70°，求∠EAN的度数；

〔3〕假设∠BAC=α〔α≠90°〕，直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．

2．如图2，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠A=35°，那么∠D等于〔〕A．50°B．65°C．55°D．70°3．如图3，在△ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，那么△AEC的周长等于〔〕A．a+bB．a－bC．2a+bD．a+2b4．如图有一块直角三角形纸片，∠ACB=90°，两直角边AC=4，BC=8，线段DE垂直平分斜边AB，那么CD等于〔〕A．2B．2.5C．3D．3.55．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；那么∠AEC等于〔〕A．100°B．105°C．115°D．120°【知识点七：角平分线】角平分线上的点到角两边的距离相等。角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，那么它在该角的平分线上。三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。【典型例题】1．如图，∠POA=∠POB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，OP=13，OD=12，PD=5，那么PE=〔〕A．13B．12C．5D．12．三角形内有一点，它到三边的距离相等，那么这点是该三角形的〔〕A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高线交点D．三条高线所在直线的交点3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，假设CD=3cm，那么点D到AB的距离DE是〔〕A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm4．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．以下结论中不一定成立的是〔〕A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB垂直平分OP5．如图，直线a、b、c，表示三条相互交叉的公路，现拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，那么可以供选择的地址有〔〕A．一处B．四处C．七处D．无数处6．求作一点P，使PC=PD，且点P到AC，AB的距离相等．〔要求保存作图痕迹，不必写出作法〕

7．〔1〕班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角〔如下图〕．设计了如下方案：〔Ⅰ〕∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．〔Ⅱ〕∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．

〔1〕方案〔Ⅰ〕、方案〔Ⅱ〕是否可行?假设可行，请证明；假设不可行，请说明理由；

〔2〕在方案〔Ⅰ〕PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行?请说明理由．

8．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF交AD于点G、试判断线段AD与EF的位置关系，并证明你的结论．

9．如图，△ABC中，O是BC的中点，D是∠BAC平分线上的一点，且DO⊥BC，过点D分别作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．

求证：BM=CN．

【变式练习】1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，假设PA=2，那么PQ的最小值为〔〕A．1B．