数学选修4-1教案第三讲

一．平行射影【教学目标】了解平行投影的含义，通过圆柱与平面的位置关系，了解平行投影；会证平面与圆柱面的截线是椭圆〔特殊情形是圆〕.【教学重点与难点】教学重点：体会平行投影教学难点：证明平面与圆柱面的截线是椭圆㈠.复习与引入MNMNAA‘NNMABA‘B‘2、直线在直线上的正射影㈡.新课讲授问题1：点、直线在平面上的正射影是什么呢？AA′给定一个平面，从一点A作平面的垂线，垂足为点A′称为点A在平面上的正射影.AA′AA′AA′B′B一个图形上各点在平面上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面上的正射影.问题2：一个圆所在的平面与平面平行时,该圆在平面上的正射影是什么图形？当平面与平面不平行时，圆在平面上的正射影是什么图形？如果平面与平面垂直时，圆在平面上的正射影又是什么图形？如果取消“垂直”的限定，那么正射影的概念可以作进一步推广。AA设直线l与平面相交，称直线l的方向为投影方向。过A点作平行于l的直线〔称为投影线〕必交与一点A′,称点A′为A沿l的方向在平面上的平行射影。AA一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影。显然，正射影是平行射影的特例。问题3：两条相交直线的平行射影是否还是相交直线？两条平行直线的平行射影是否还是平行直线？将一个放在桌面上的玻璃杯中倒入半杯水，观察水平面所成的图形;如果将玻璃杯倾斜一定的角度，此时水平面又是一个什么样的图形？可以看出水平面是一个椭圆.定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆。我们分析一下列图中的水平面的结构，水平面的图形可看成是以杯子〔圆柱〕的母线为投影方向，杯口〔圆〕在水平面所在平面上的射影。其中，点A的投影为点E,点D的投影为F，显然EF>AD。与杯口〔圆〕的直径AD垂直的直径ＧＨ在水平面上的射影ＰＱ的长度保持不变，因此ＥＦ＞ＰＱ，于是杯口〔圆〕的射影不是一个圆，而是椭圆.AAEPHQFGCDB上述问题可以抽象为：用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个圆;当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一个椭圆.三、平面与圆锥面的截线一、教学目标：1.知识与内容：〔1〕通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理2〔2〕利用Dandelin双球证明定理2中情况〔1〕〔3〕通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解2.过程与方法：利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于发现，逻辑用于证明。3.情感态度价值观：通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。二、教学重点难点重点：〔1〕定理2的证明〔2〕椭圆准线和离心率的探究难点：椭圆准线和离心率的探究三、教学过程椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种。生成椭圆的方法有许多，例如：〔1〕圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆，如图1；〔2〕椭圆的定义〔3〕平面内到定点和定直线的距离之比等于常数(0<e<1)的点的轨迹〔4〕一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆；xyxyPDO图1如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况吗？让我们共同来探究平面与圆锥面的截线。思考：如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？归纳提升：定理在空间中，取直线为轴，直线与相交于O点，其夹角为α，围绕旋转得到以O为顶点，为母线的圆锥面，任取平面π，假设它与轴交角为β〔π与平行，记住β＝0〕，那么：〔1〕β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；〔2〕β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；〔3〕β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。问题：利用Dandelin双球〔这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切〕证明：β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆.讨论：点A到点F的距离与点A到直线m的距离比小于1〕.证明1：利用椭圆第一定义，证明FA+AE=BA+AC=定值，详见课本.证明2：①上面一个Dandelin球与圆锥面的交线为一个圆，并与圆锥的底面平行，记这个圆所在平面为π/；②如果平面π与平面π/的交线为m，在图中椭圆上任取一点A，该Dandelin球与平面π的切点为F，那么点A到点F的距离与点A到直线m的距离比是〔小于1〕.〔称点F为这个椭圆的焦点，直线m为椭圆的准线，常数为离心率e.〕点评：利用②可以证明截线为抛物线，双曲线的情况，以离心率的范围为准.拓展：1.请证明定理2中的结论〔2〕2.探究双曲线的准线和离心率3.探索定理中〔3〕的证明，体会当β无限接近α时平面π的极限结果四、自我检测练习1.平面截球面和圆柱面所产生的截线形状是

.分析：联想立体几何及上节所学，可得结论，要注意平