数形结合-化难为易

学科论文：小学数学学科学科论文：小学数学学科数形结合化难为易-----浅谈数形结合思想在小学低段教学中的应用【摘要】美国数学家斯蒂恩说过:“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形,那么思想就整体地把握住了问题,并且能创造性地思索问题的解法。”数形结合是数学中一种重要的思想方法。它将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使代数问题几何化或使几何问题代数化，为问题解决提供简洁明快的途径。【关键词】数形结合低段数学低年级学生数学研究的对象是现实世界的数量关系〔数〕和空间形式〔形〕，数是数量关系的表达，而形那么是空间形式的表达。“数”和“形”是研究数学的两个侧面，利用数形结合能使“数”和“形”统一起来，可以使所要解决的问题化难为易，化繁为简，思维广阔。华罗庚教授对此有精辟概述：“数无形，少直观；形无数，难入微。”在小学生的认知结构中，数和形是两个紧密联系、互相依赖、互相促进的局部。因为一方面小学生的抽象思维还不太兴旺，学习抽象的数学知识时还必须有形象的支持；另一方面，形象化的实例很容易引起学生的兴趣，愉快的情感能引发学生的有意注意，激发学生学习的积极性。因此要根据解决问题的需要，把数量关系的问题转化为图形的性质问题来研究，也可把图形的性质问题转化成数量关系的问题来研究，数形结合才能真正发挥其作用。一、在数的认识教学时利用数形结合，帮助学生建立数感。数感主要指关于数与数量、数量关系、运算结果估算等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。《数学课程标准》把培养学生的数感作为义务教育阶段数学教育的一个重要目标。只有为学生提供充分的可感知的现实背景，才能使学生真正理解数的感念。例如：在一年级上册中，学生刚学习数学知识时，教材首先就是通过数与物〔形〕的对应关系，初步建立起数的根本概念，认识数，学习数的加减法；通过具体的物〔形〕帮助学生建立起初步的比拟长短、多少、高矮等较为抽象的数学概念；通过图形的认识与组拼，在培养学生初步的空间观念的同时，也初步培养学生的数形结合的思想，帮助学生把数与形联系起来，数形有机结合。在以后年级的学习中，随着学生年龄的增长，思维能力的不断提高，数与形的结合就更加广泛与深入。

如：北师大版一上第一单元《生活中的数》，从直观模型中培养学生的数感。

又如：北师大版二下第四单元《生活中的大数》二、在概念学习时利用数形结合，帮助学生形成概念。建构主义认为学生学习活动的本质是：学习并非对于教师所授予的知识的被动接受，而是学习者以自身已有的知识和经验为根底的主动建构过程。学生在进入小学学习之前，他们的知识根本上是建立在现实生活中客观事物上的。其知识特点是直观形象，看得见，摸得着。而进入小学阶段，教师如果运用数形结合来引入新知、建构概念、解决问题，就相当于在原有的知识体系上添砖加瓦，新知识的学习就变得更简单。这样新学的知识就会具有较高的稳定性和牢固性，而我们也到达了所需的教学效果，也就是所谓深入浅出。在三年级上册分数的初步认识中，通过具体的形的操作与实践，让学生充分理解“平均分”，几分之一，几分之几等数学概念，掌握运用分数大小的比拟，分数的意义，分数的加减等，使数形紧密地结合在一起，把抽象的数学概念直观地呈现在学生面前，帮助学生理解掌握分数的知识。【案例】：教学三年级上册“认识几分之一”时，因为这节课是分数的初步认识，所以我强调“数形结合”，通过简单明确的直观图形逐步帮助学生建立起分数的概念。我先用一个圆代表一个饼，当着学生的面把这个饼对折后剪开成两半，这半个饼不能用整数来表示。告诉学生：把一个饼平均分成两份，取其中的一份〔半个〕，就是这个饼的二分之一，让学生初步感知二分之一。然后让学生动手操作，用自己喜欢的纸折出二分之一，涂上颜色，进一步理解。接着顺应学生好表现的特性，放手让学生动手操作，创造分数，互动交流。我有选择地把学生的作品贴在黑板上，然后有选择地让学生说说这些分数是怎样来的，既尊重了学生的个性，又使学生建构了丰富的分数表象。最后引导学生进行小结，指着左边的一组图问学生：这些图形的形状各不相同，为什么涂色局部都能用二分之一表示？然后指着四分之一的图再问：明明折法不同，每一份的形状也不同，为什么都可以用四分之一来表示呢？使学生明白两点：①不同的图形可以表示相同的分数，相同图形的不同分法也可以表示同一个分数；②把一个图形平均分成几份，每份就是几分之一。逐步去除分数的非本质属性，促进学生对分数本质含义的理解。从学生的思维活动过程来看：在这个片段中，学生经历了由具体到抽象的思维过程，也就是由直观的图像，抽象成几分之一，经历了由一般到特殊的思维过程。这样数形紧密地结合在一起，把抽象的数学概念直观地呈现在学生面前，帮助学生理解掌握分数的知识。三、在运算、归纳法那么时利用数形结合，使学生理解算理。算理是四那么运算的理论依据，它由数学概念、运算定律、运算性质等构成；运算法那么是四那么运算的根本程序和方法。在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的根底上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然。数形结合，是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。四、在解决问题时利用数形结合，提高学生数学思维能力。小学生在解决问题的过程中，实际上完成了两个认识上的转化。第一个转化是指从纷乱的实际问题中，收集、观察、比拟、筛选出有用的信息，从而抽象成数学问题；第二个转化是根据已抽象出来的数学问题，全面分析其中的数量关系，探索出解决问题的方法并求解。运用数形结合有时能使数量之间的内在联系变得比拟直观，成为解决问题的有效方法之一。在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易。线段图也是小学数学常用的一种揭题策略。线段图可以使抽象问题具体化、复杂关系明朗化，为正确解题创造条件，尤其在学习分数、百分数应用问题时，学生只要把局部与整体的关系、具体数量与比率的对应关系正确地表示出来，问题解决的任务便完成了一半。例如：在低段教学有关“倍”的应用问题时，线段图也能很好地发挥作用。教师提出“有多少只蜜蜂”的问题，要求学生找出相关的数学信息，“小鸟有8只”，蜜蜂说“我们的只数是小鸟的3倍”。学生根据这种背书关系画出示意图，列出算式。又如植树问题，就是从图形中总结出解决方法。先模拟植树，得出线上植树的三种情况。“___”代表一段路，用“\”代表一棵树，画“\”就表示种了一棵树。让学生在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？学生操作，独立完成后，在小组里交流说说你是怎么种的？师反应，实物投影学生摆的情况。师根据学生的反应相应地把三种情况都贴于黑板：①\___\___\___\两端都种②\___\___\___\___或___\___\___\___\一端栽种③___\___\___\___\___两端都不种师生共同小结得出：两端都种：棵数＝段数＋1；一端栽种：棵数=段数；两端都不种：棵数=段数—1。如锯木头、路边植树、上楼梯等问题，通过“形”的教学收到了明显的效果，使得学生思维开展有了凭借，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。为了提高“数形结合”教学的效果，教师在平时教学中要特别注意以下几点：(1)经常使用直观模型。在日常教学中，教师应有意识地引导学生认识多种直观模型。例如：实物、点子图、面积模型和数线等。这些模型在课堂上不断呈现，可以使学生认识到数学学习中直观模型的重要作用。〔2〕鼓励使用多元表征。这样有助于培养学生用自己的方式解决问题的兴趣，它是未来学习的根底。〔3〕培养数形转化意识。在日常教学中，应结合具体内容，有意识地引导学生见数想形、因形思数，培养学生数形相互转化的意识。总之，“数”辅助“形”，可以将“数”形象化；“形”辅助“数”，可以使“数”直观化。数形结合既是教师教学中的一种重要手段，也是学生数学学习的目的。在具体教学中，教师要根据自己对数学及学生情况的理解，找到数形结合的关键点，促进学生思维的开