《变量与函数》课件-探究版

变量与函数行星在宇宙中的位置随时间而变化课堂小结气温随海拔而变化汽车行驶里程随行驶时间而变化“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，汽车行驶里程随行驶时间而变化……在我们周围的事物中，存在着大量这种一个量随另一个量的变化而变化的现象．人们通过研究这种变量与变量之间的关系，可以更深入地认识现实世界中许多运动变化的规律．今天就让我们开始来研究变量与变量之间的关系．1．汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s

km，行驶时间为th．填写下表，s的值随t的值的变化而变化吗？t/h12345s/km60120180240300〔1〕在以上这个过程中，变化的量是_______，不变化的量是________．〔2〕怎样用含有t的式子表示s呢？s和t60km/hs=60t2．电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各多少元．设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y的值随x的值的变化而变化吗？〔1〕三场电影的票房收入分别是____元、____元、____元．〔2〕在以上这个过程中，变化的量是________，不变化的量是_________．〔3〕怎样用含有x的式子表示y呢？150020503100x和y10元/张y＝10x．3．你见过水中涟漪吗？圆形水波慢慢扩大，在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积S分别为多少？S的值随r的值的变化而变化吗？〔1〕圆的面积分别是_________、_________、_________．〔2〕在以上这个过程中，变化的量是_______，不变化的量是______．〔3〕怎样用含有r的式子表示s呢？r和Sπ4．用10m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它的邻边长y分别为多少？y的值随x的值的变化而变化吗？〔1〕邻边长y分别为_____、_____、_____、_____．〔2〕在以上这个过程中，变化的量是_______，不变化的量是_______．〔3〕你能用含x的式子表示y吗？2m10m1m0.5m1.5mx和yy＝5－x．5．以上问题反映了不同事物的变化过程．其中有些量的数值是变化的，例如时间t，路程s；售出票数x，票房收入y……有些量的数值是始终不变的，例如速度60km/h，票价10元/张……在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．6．对变量和常量的理解有哪些要注意的？〔1〕在一个变化过程中，“变量”是可以变化的量，而“常量”是始终不变的量．〔2〕“变量”和“常量”是相对的，当改变变化过程时，变量和常量的“身份”也可能随之改变．〔3〕“变量”是指变化的数量本身，不包括变量固定的指数．例如，，变量是y和x，不是y和，即x的指数2不是变量．1．指出以下变化过程中的变量和常量：〔1〕汽油的价格是7.4元/升，加油x升，车主加油付油费y元；〔2〕小明看一本200页的小说，看完这本小说需要t天，平均每天所看的页数为n；〔3〕用长为30cm的绳子围矩形，围成的矩形一边长为xcm，其面积为S．变量x，y；常量7.4．变量t，n；常量200．变量x，S；常量30．2．在△ABC中，AB边长为a，AB边上的高为h，那么△ABC的面积．假设a为定值，那么_______是常量，_______是变量．和aS和h1．上面问题〔1〕~〔4〕中是否各有两个变量？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？问题〔1〕中t和s是两个变量，每当t取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应．例如t＝1，那么s＝60；t＝2，那么s＝120；…t＝5，那么s＝300．问题〔2〕中x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应．例如，假设x＝150，那么y＝1500；x＝205，那么y＝2050；假设x＝310，那么y＝3100．

问题（3）中r和S是两个变量，每当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与其对应．由其关系式

，可以算出r分别为10cm，20cm，30cm时，S分别为

，

，．问题〔4〕中x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应．由其关系式y＝5－x，可以算出x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，S分别为2m，1.5m，1m，0.5m．2．由以上探究我们可以归纳这样的结论：上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与其对应．3．其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系．我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后答复：〔1〕以下图是体检时的心电图．其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？对于x的每个确定值，y都有唯一确定的值与其对应．生物电流y时间x〔2〕在下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以记作两个变量x与y．对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y．年份人口数/亿198410.34198911.06199411.76199912.52201013.71中国人口数统计表4．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．5．函数自变量有限制条件吗？如何限制？变化过程中，发生变化的量要符合实际问题的意义和题中所给的条件．如上面问题，如〔1〕中的时间t就不能为负数，〔2〕中票的张数x就只能为自然数．1．以下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度h是离起点的水平距离t的函数吗？为什么？水平距离t/cm

离地高度h/cm123456654321当t取定一个值时，h有多个值与其对应．不是蚂蚁离起点的水平距离t是离地高度h的函数吗？为什么？水平距离t/cm

离地高度h/cm123456654321是当h取定一个值时，t有唯一确定的值与其对应．2．指出以下变化关系中，哪些y是x的函数，哪些不是？说出你的理由．（1）xy＝2；（2）

；

（3）x＋y＝5；（4）|y|＝x；

（5）

；

（6）y＝|x|．是是是是否否例汽车油箱中有汽油50L．如果不再加油，那么油箱中的油量y〔单位：L〕随行驶路程x〔单位：km〕的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km．〔1〕写出表示y与x的函数关系的式子；解:〔1〕行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数．行驶路程为x时耗油为：0.1x．油箱中的油量为：50－0.1x．所以函数关系式为：y＝50－0.1x．〔2〕指出自变量x的取值范围；〔2〕仅从式子y＝50－0.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行驶路程，所以不能取负数，并且行驶中耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有汽油50L，即0.1x≤50，x≤500．因此自变量x的取值范围是：0≤x≤500．〔3〕汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？〔3〕汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y＝50－0.1x在x＝200时的函数值，将x＝200代入y＝50－0.1x，得y＝50－0.1×200＝30．即汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油．像y＝50－0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子，叫做函数的解析式，它是描述函数的常用方法．总结：我们在理解函数意义和确立函数关系式的根底上，还要学会如何确定自变量的取值范围和求函数值的方法．确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．练习：一台式弹簧秤的弹簧原长为12cm，它能称的质量不超过20kg，并且每增加1kg就缩短cm．〔1〕写出放物体后的弹簧长度y〔cm〕与所放物体质量x〔kg〕之间的函数关系式；解：（1）．〔2〕求自变量x的取值范围；〔2〕0≤x≤20．〔3〕当放重物10kg时，求弹簧的长度；〔4〕弹簧长度为4cm时，求所放物体的质量，弹簧长度能为1cm吗？〔3〕当x＝10时，y＝7．故当放重物10kg时，弹簧的长度为7cm．（4）

，解得x＝16，即所放物体的质量为16kg．由题意，得

，解得x＝22．因为22＞20，所以弹簧长度不能为1cm．〔4〕．〔3〕；1．求以下函数中自变量x的取值范围．〔1〕y=3x-1；〔2〕；x取任意实数x取任意实数x≠-2x≥22．一个三角形的底边为5，高h可以任意伸缩，三角形的面积也随之发生了变化.〔1〕面积s随高h变化的关系式s＝，其中常量是，变量是，是自变量，是的函数；〔2〕当h＝3时，面积s＝______；〔3〕当h＝10时，面积s＝______．h和shsh7.525〔1〕在一个变化过程中，什么是变量？什么是常量？举一个运动变化的例子并指出其变量和常量．〔2〕在一个变化过程中，对于变量x和y而言，满足什么对应关系时，y才是x的函数？两个变量满足“一对多”的关系是函数吗？并举例说明对函数概念中“对于x的每一个确