(完整)平面向量讲义(学生)

平面向量一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）.如：已知A（1,2）,B（4,2）,则把向量AB按向量a=（—1,3）平移后得到的向量是f.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是土区B）；一iABi.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性；.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a〃b,规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有0）;④三点A、B、C共线oAB、,AC共线；.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量是一a。如：下列命题：（1）若|a|=b,则a=b。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若Ab=DC,则ABCD是平行四边形.（4）若ABCD是平行四边形，贝IAB=DC.（5）若a=b,b=C,贝|a二C。（6）若anb,b//c,则a//c。其中正确的是二.向量的表示方法：.几何表示法：用带箭头的有向线段表示,如AB，注意起点在前，终点在后；^^1 «■. 1^1.符号表示法：用一个小写的英文字母来表示,如a,b,c等；.坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，则平面内的任一向量a可表示为a=xZ+yj=（x,y）,称（x,y）为向量a的坐标，a=（x,y）叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三.平面向量的基本定理：如果61和62是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量2,有且只有一对实数九、九，使a=入e+入e.TOC\o"1-5"\h\z1 2 11 22如(1)若;=(1』)房=(1,-1),c=(-1,2),贝心=(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是A.£=(0,0),7=(1,-2) B。]=(-1,2),丁=(5,7)1 2 1 2--_八一」3C.e=(3,5),e=(6,10) D。e=(2,-3\e=(-,-)1 2 1 2 2 4(3)已知AD,BE分别是AABC的边BC,AC上的中线，且通=",屉=b,则BC可用向量Z,b表示为(4)已知AABC中，点D在BC边上，且CD=2DB,CD=r9+sAC，则r+s的值是—h- -t四.实数与向量的积：实数九与向量。的积是一个向量，记作九a,它的长度和方向规定如下：(1)九a=囚问,(2)当九〉0时，九a的方向与a的方向相同，当九〈0时，九a的方向与a的方向相反，A >当九=0时，九a=0,注意：九a力0。五.平面向量的数量积：.两个向量的夹角：对于非零向量a,b，作OA=a,OB=b,ZAOB=0兀一-二一(0<0<n)称为向量a,b的夹角，当0=0时，a,b同向，当0=兀时，a,b反向，当0=一时，a,b垂2直。2,平面向量的数量积:如果两个非零向量a,b,它们的夹角为0,我们把数量IaIIbIcos0叫做a与b的-FT ~*f -A-►数量积(或内积或点积)，记作：a•b，即a•b=abcos0。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如(1)4ABC中，I~ABI=3,IACI=4,IACI=5,则[MBC=(2)已知==(1,；),石=(。,一；),°=〃+序,d=a-b,c与d的夹角为^4，则k等于(3)已知a=2,b=5,a»b=-3，贝4a+b等于(4)已知a,b是两个非零向量，且a=b=a-b，则a与a+b的夹角为.b在a上的投影为l5lcos®，它是一个实数，但不一定大于0。如已知lal=3，l卫1=5，且a•力=12，则向量日在向量b上的投影为I-fr I-t I -> -fr-.a•b的几何意义：数量积a•b等于a的模laI与b在a上的投影的积.TOC\o"1-5"\h\z'h -t.向量数量积的性质：设两个非零向量a,b，其夹角为0，则：®a.Lb=>a；b=0；1 MB —►-A _> _t_► IK! 1 -A-►②当a,b同向时，a•b=bb,特别地，a?=a•a=a,a=寸a?；当a与b反向时，a•b=—ab；fr・ — — — — ■当0为锐角时，a•b>0,且a、b不同向，a•b>0是0为锐角的必要非充分条件；当0为钝角时，a•bV0,且a、b不反向，a-b<0是0为钝角的必要非充分条件；―►-►③非零向量a,b夹角0的计算公式：cos0=少；@la•b凶allbl。ab如(1)已知b=(九,2九)，b=(3九,2),如果a与b的夹角为锐角，则九的取值范围是，• . ・ _,_. -1 ・，气 ._.• ..一一一(2)已知AOFQ的面积为S，且0b・犯=1,若一<S<—,则B,Fb夹角0的取值范围是2 2(3)已知a=(cosx,sinx),b=(cosy,siny),a与b之间有关系式kka+b|=<3|a—kb|淇中k>0,①用k表示a.b;②求a.b的最小值，并求此时a与b的夹角0的大小六.向量的运算：.几何运算：①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则“只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设AB=a,BC=b,那么向量AC叫做a与b的和，即a+b=Ab+BC=AC；②向量的减法：用“三角形法则”：设AB=a,AC=瓦那么a—b=AB—AC=CB，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如(1)化简：①AB+BC+cd=—:②AB—而—DC=:③(Ab—cd)—(AC—前)=(2)若正方形ABCD的边长为1,AB=a,BC=b,AC=c，则la+b+cl=

IAPIIPDI(3)若0是4ABC所在平面内一点，且满足|丽-双=瓦+双IAPIIPDI(4)若D为AABC的边BC的中点，AABC所在平面内有一点P,满足PA+BP+CP=0,设则入的值为(5)若点O是△ABC的外心，且OA+OB+CO=0,则△ABC的内角C为.坐标运算：设a=(x,y),b=(x,y)，则：11 2 2①向量的加减法运算：a土b=(x±x,y土y)。12 12如：(1)已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+九AC(XeR)，则当九=时，点P在第一、三象限的角平分线上1—* 兀兀(2)已知A(2,3),B(1,4),且—AB=(sinx,cosy),x,ye(——,—)，则x+y=2 22 TOC\o"1-5"\h\z(3)已知作用在点A(1,1)的三个力F=(3,4),F=(2,-5),F=(3,1),则合力F=F+F+F的终点坐标是1 2 3 1 2 3②实数与向量的积：Xa=X(x,y)=(Xx，入y)。1 1 1 1③若A(x,y),B(x,y),则AB=(x-x,y-y),即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终1 1 2 2 2 1 2 1点坐标减去起点坐标。如：设A(2,3),B(-1,5),且AC=1AB,Ad=3AB，则C、D的坐标分别是3④平面向量数量积：a•b=xx+yy。12 12如：已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(—1,0).(1)若乂=三，求向量a、c的3夹角；(2)若*£[-3^,§，函数f(x)=Xa-b的最大值为2，求X的值⑤向量的模：IaI=■.^2TyT,a2=|a|2=x2+y2。如：已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60。，那么ra+3bi=⑥两点间的距离：若A(x,y),B(x,y)，贝4TOC\o"1-5"\h\z1 1 2 2IABI=q，(x2-x11+(y2-y11。 />如如图，在平面斜坐标系xOy中，/xOy=60。，平面上任一点P关 于斜坐标系的x斜坐标是这样定义的：若OP=xZ+yF，其中£,一分别为与x轴、y轴 同方向的单位1 2 1 2向量，则P点斜坐标为(x,y)。(1)若点P的斜坐标为(2,—2),求P到O的距离|PO|；(2)求以。为圆心,

1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。七.向量的运算律：.交换律：Z+ +Z,>Qz)=(入|Li)Z, b=b^a；—> —► —► I—► —►B-►—> —► —► -►G+)Q)iG・B)=Z・QB)；3.分配律：(九+口)〃=九G+)Q)iG・B)=Z・QB)；3.分配律：(九+口)〃=九a+|Ha,九+6)=九Z+九b,•+b^c=a・c+b・c。如：下列命题中：①a•(b-c)二方•方一方7:②a•(b7)=(a•方)7；③(a—力)2=|a|2―>—>—>—2IbI•IbI+IbI2；④若b-b=0，则b=0或b=0；⑤若〃・。=c•b,则。=c;⑥a2=a2;⑦ =£;a2a⑧(a•b)2=a2•b2；⑨(a—b)2=a2—2a•b+b2.其中正确的是提醒：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个—fr—b—I?向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a(b•c)丰(a•b)c,为什么？八.向量平行(共线)的充要条件：a//boa=Xbo(a•b)2=(IaIIbI”oxy—yx=012 12如(1)若向量a=(x,1),b=(4,x)，当x=时a与b共线且方向相同(2)已知a=(1,1),b=(4,x),u=a+2b,v=2a+b,且u//v，则x=(3)设PA=(k,12),PB=(4,5),PC=(10,k)，则k=时，A,B,C共线九.向量垂直的充要条件：a±Z?oa^=0ol++b1=1a—bI oxx+yy=0九.向量垂直的充要条件：12 12AC)AC)!(空-三)ACABAC如(1)已知OA=(—1,2),OB=(3,m)，若OA1OB，贝m=(2)以原点0和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,ZB=900，则点B的坐标是(3)已知n=(a,b),向量n1m，且n=m，则m的坐标是十一.平移公式：如果点P(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x',y'),则Ix'=x+h；曲线f(x,y)=0按向量、y'二y+ka=(h,k)平移得曲线f(x—h,y—k)=0。注意：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？(2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊!如(1)按向量a把(2,-3)平移到(1,-2),贝[按向量a把点(-7,2)平移到点(2)函数y=sin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y=cos2x+1,则a=12、向量中一些常用的结论：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；llal-IZ?ll<l2土3区^+1石I,特别地，当b同向或有0O\a+b+\a\+\b\^\\a\-\b\\=\a-bI；当％、b反向或有0O1Hl=Ul+l。>||al-lb\\=\2+bI；当%、不共线OIiai-I^IKIZ±Bki：i+iBI(这些和实数比较类似).(3)在AABC中，①若A(x,y),B(x,y),C(x,y)，则其重心的坐标为G(Xi+“2+晨,，i+y2+，3]o11 22 33 I3 3 )如：若/人86的三边的中点分别为(2,1)、(—3,4)、(—1,-1),则/ABC的重心的坐标为②拓=4(PA+PB+G^)OG为AABC的重心，特别地加+方+PC=0oP为AABC的重心；③西•丽=丽・PC=PCPAoP为AABC的垂心；④向量入(JB_+_A^)(九中0)所在直线过AABC的内心(是ZBAC的角平分线所在直线)；IABIIACI⑤IABIPC+1BCIPA+1CAIPB=0OPAABC的内心；TOC\o"1-5"\h\z(3)若P分有向线段PP所成的比为九，点M为平面内的任一点，则M=M+九说,特别地P为PP的12 -1十九 12中占五方MP+MP.中点oMP=-1 2；2(4)向量P、而PC中三终点A、B、C共线o存在实数a、p使得PA.=aPB+PPC且a+B=1.如：平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点。满足OC^XOX+Xoa，其中1 2X,XeR且X+X=1,则点C的轨迹是1 2 1 2与向量有关的题目类型题型一:三角函数平移与向量平移的综合，结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法三角函数与平面向量中都涉及到平移问题，虽然平移在两个知识系统中讲法不尽相同，但它们实质是一样的，它们都统一于同一坐标系的变化前后的两个图象中。解答平移问题主要注意两个方面的确定：(1)平移的方向；(2)平移的单位.这两个方面就是体现为在平移过程中对应的向量坐标.（完整）平面向量讲义（学生）【例1】把函数y=s—3）平移后，得到函数丫=5皿【例1】把函数y=s>0,3>0,| |〈错误!）的图象，则和B的值依次为A.错误!，-3B.A.错误!，-3B.一错误!,3C.错误!，3D.一错误!,3【例2】（2007【例2】（2007年高考湖北卷）将y=2cos% 71-+—3 6的图象按向量«=/TT、一一 、一.上一一一,八….一， 、、--,-2平移，则平移后所得图象的解析式t4为（）A.y=2cosB.y=A.y=2cosB.y=2cosC.y=2cos一+ 1312)D.y=2cos—I 1312)题型二三角函数与平面向量平行（共线）的综合此题型的解答一般是从向量平行（共线）条件入手，将向量问题转化为三角问题，然后再利用三角函数的相关知识再对三角式进行化简，或结合三角函数的图象与民性质进行求解.此类试题综合性相对较强，有利于考查学生的基础掌握情况，因此在高考中常有考查。题型三三角函数与平面向量垂直，结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题 此题型在高考中是一个热点问题，解答时与题型二的解法差不多，也是首先利用向量垂直的充要条件将向量问题转化为三角问题，再利用三角函数的相关知识进行求解。此类题型解答主要体现函数与方程的思想、转化的思想等.【例1】 已知向量错误！=（3sina,cosa）,错误！=（2sina,5sina—4cosa）,a£（错误！，2n）,且1,a,错误！.（I）求tana的值；（II）求cos（错误!+错误!）的值.兀 【例2】（2006年高考浙江卷）如图，函数y=2sin（兀x+⑺,xgR（其中0<p<一）的图像与y轴交于点2（0,1）.（I）求中的值;（I）设P是图像上的最高点，M、N是图像与x轴的交点，求PM与PN的夹角余弦值。题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质|错误！I2=错误!2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：（1）先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；（2）先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解。【例】已知向量错误!=（cosa,Sina）,错误!=（cosp,sinp）,I错误!一错误!|=错误!错误!。（I）求cos（a—。）的值；（II）若一错误!VGVOVaV错误!，且sinG=一错误!，求sina的值。题型五三角函数与平面向量数量积的综合,考查三角函数的化简或求值此类题型主要表现为两种综合方式：（1）三角函数与向量的积直接联系；（2）利用三角函数与向量的夹（完整）平面向量讲义（学生）角交汇,达到与数量积的综合。解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解。【例1】 设函数f（x）=错误！•错误!.其中向量错误尸（m,cosx）,错误尸（1+sinx,1）,x£R,且f（错误!）=2。（I）求实数m的值；（II）求函数f6）的最小值。兀 兀【例2】(2007年高考安徽卷)已知0<a<—,P为f(x)=cos(2x+—)的最小正周期，48一，，P 2cos2a+sin2(a+p)a=(tan(a+—),-1),b=(cosa,2),a•b=m，求 的值.4 cosa-sina题型六、解斜三角形与向量，结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算在三角形的正弦定理与余弦定理在教材中是利用向量知识来推导的，说明正弦定理、余弦定理与向量有着密切的联系.解斜三角形与向量的综合主要体现为以三角形的角对应的三角函数值为向量的坐标，要求根据向量的关系解答相关的问题.【例1】已知角A、B、C为aABC的三个内角，其对边分别为a、b、c,若错误!=（—cos错误!，sin错误!）错误!=（cos错误!，sin错误!）a=2错误!，且错误！•错误!=错误!.（I）若aABC的面积5=错误!，求b+c的值.（II）求b+c的取值范围.【例2】（山东卷）在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,tanC=3J7.(1)求cosC；(2)^CBCA=-,且〃+h=9,求c.2题型七：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与向量运算【例】(2007年高考陕西卷)f(x)=a•b，其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),xeR，且函数兀y=f(x)的图象经过点(一,2).4(I)求实数m的值；(II)求函数y=f(x)的最小值及此时x值的集合。题型八：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的问题【例】(2006年高考湖北卷)设向量a=(sinx,cosx),b=(cosx,cosx),xeR,函数f(x)=a•(a+b)。(I)求函数f(x)的最大值与最小正周期；,、, - 3 (I)求使不等式f(x)>—成立的x的取值集。2练习题一、选择题TOC\o"1-5"\h\z.已知错误！=(cos40,sin40),错误！=(cos20,-sin20),则错误！•错误！= ( )A.1 B.错误！ C.错误！ D.错误！.将函数y=2sin2x一错误!的图象按向量(错误!，错误!)平移后得到图象对应的解析式是 ( )A.2cos2x B.-2cos2x C. 2sin2x D.-2sin2x.已知4人86中，错误!=错误!，错误!=错误!，若错误！•错误!V0,则^ABC是 ( )A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.任意三角形（完整）平面向量讲义（学生）TOC\o"1-5"\h\z.设错误尸（错误!，sin）,错误尸（cos,错误!），且错误!〃错误!，则锐角为（ ）A.30 B.45 C.60 D.75.已知一，a=（sin6,错误!），错误！=（1,错误!），其中6e（n,错误!），则一定有（ ）A.错误!〃错误！B.错误!_L错误！ C.错误!与错误!夹角为45°D.I错误！I=|错误!|.已知向量错误!=（6,-4）,错误!=（0,2）,错误!=错误!+错误!，若C点在函数y=sin错误!x的图象上，实数= （ ）A.错误！ B.错误！ C.一错误！D.一错误！.由向量把函数y=sin（x+错误!）的图象按向量错误!=（m,0）（m>0）平移所得的图象关于y轴对称，则m的最小值为 （ ）A.错误！ B.错误！ C.错误！ D.错误！.设0Wew2n时，已知两个向量错误!=（cosQ,sin6）,错误!=（2+sin6,2-cos6）,则向量错误!长度的最大值是 （ ）A.错误！ B.错误！ C.3错误！ D.2错误！.若向量错误！=（cos,sin）,错误！=（cos,sin）,则错误!与错误!一定满足 （ ）A.错误!与错误!的夹角等于一B.错误!_L错误！C.错误!〃错误！ D.（错误!+错误!）_L（错误!一错误!）.已知向量错误!=（cos25,sin25），错误!=（sin20,cos20），若t是实数，且错误!=错误!-则|一，u|的最小值为A.错误！ B.1 C.错误！ D.错误！TOC\o"1-5"\h\z.0是平面上一定点,A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：错误!=错误!+（错误!+错误!）,e（0,+8）,则直线AP一定通过4ABC的 （ ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心.对于非零向量错误!我们可以用它与直角坐标轴的夹角，（0WW,0WW）来表示它的方向,称， 为非零向量错误!的方向角，称cos,cos为向量错误!的方向余弦，则cos2+cos2=（ ）A.1 B.错误！2C.错误！ D.0二、填空题.已知向量错误!=（sin,2cos）,错误!=（错误!，一错误!）。若错误!〃错误!，则sin2的值为.已知在△0AB（0为原点）中，错误!=（2cos,2sin）,错误!=（5cos,5sin）,若错误！•错误!=—5,则S^OB的值为(完整)平面向量讲义(学生).将函数千(x)=tan(2x+错误!)+1按向量a平移得到奇函数目(x),要使|21最小，则a=.已知向量错误!=(1,1)向量错误!与向量错误!夹角为错误!，且错误！•错误!=一1。则向量错误!=．三、解答题.在4ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,若错误！.错误!=错误！.错误!=k(k£R)。(I)判断4ABC的形状；(II)若c=\：2求k的值..已知向量错误!=(sinA,cosA),错误尸(错误!，一1),错误！•错误!=1,且A为锐角。(I)求角人的大小；(II)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(x£R)的值域..在^ABC中，人、8、C所对边的长分别为a、b、c,已知向量错误!=(1,2sinA),错误!=(sinA1+cosA),满足错误!〃错误!，b+c=错误!a.(I)求人的大小；(I)求sin(B+错误!)的值..已知A、B、C的坐标分别为A(4,0),B(0,4),C(3cosa,3sina。(|)若。£(一口，0),且|错误!|=I错误!|,求角a的大小；(II)若错误!，错误!，求错误!的值..ZkABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c,错误!=(2b—c,a),错误!=(cosA,—cosC),且错误!_1错误!.(I)求角A的大小；(II)当y=2sin2B+sin(2B+^)取最大值时，求角B的大小。6.已知错误!=(cosx+sinx,sinx),错误!=(cosx—sinx,2cosx),(I)求证：向量错误!与向量错误!不可能平行；(II)若f(x)=错误！•错误!，且乂£［一错误!，错误!］时，求函数千(幻的最大值及最小值..设函数f(x)=乙・(5+^)，其中向量乙=(sin羽一cosx),5=(sinx,—3cosx),c=(-cosx,sinx),xeR(I)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(I)将函数y=fQ)的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d..已知向量2=(sin0,1),^=(l,cos0),--<0<—.2 2(।)若求e；(ii)求4+B的最大值.与平面向量有关的高考题[2012高考全国文9】AABC中，边的高为CD,若既=Z,CA=b,a-b=O,lal=l,\b\=2,则而二1一1- 2- 2- 3— 3— 4一 4一(A)-a--b (B)—a--b(C)—a--b (D)—a--b3 3 3 3 5 5 5 52.【2012高考重庆文6】设%£7?，向量Z=(x』),B=(1,—2),JLZ，B,则lZ+别二(A)力(B)加(C)2^5 (D)103o[2012高考浙江文7】设a,b是两个非零向量。Ao若|a+b|二Ia|-Ib|,则a_LbBo若a，b,则Ia+bI=Ia|-Ib|Co若Ia+b|=Ia|-|b|,则存在实数入，使得b二入aDo若存在实数入，使得b二入a,则|a+bI=|a|一|b|TOC\o"1-5"\h\z—► —►— — aId4.【2012高考四川文7】设〃、b都是非零向量，下列四个条件中，使==一成立的充分条件是（ ）lai\b\A、且〃〃BB、a=-b C、a//b D、a=2b5。【2012高考陕西文7】设向量〃二（1。cosO）与1二（7,2cos0）垂直，则cos20等于（）