数学高一(上)沪教版(函数的性质-单调性(一))教师版

课题函数的性质—单调性〔一〕教学目的掌握函数单调性的概念，并能判断一些简单函数的单调性；掌握函数单调性与函数图像的关系。教学内容【知识梳理】如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么说函数在这个区间具有〔严格的〕单调性，这一区间叫做的单调区间。2.一般情况可以利用定义法、图像法求函数的单调区间〔1〕用定义法求函数的单调区间就是通过做差找出大于或小于零的区间〔2〕图像法的思路是：化简解析式→画草图→确定单调区间3.利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)变形〔通常是因式分解和配方〕；eq\o\ac(○,4)定号〔即判断差f(x1)－f(x2)的正负〕；eq\o\ac(○,5)下结论〔即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性〕。①奇函数在其对称区间上的单调性相同；②偶函数在其对称区间上的单调性相反；③在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数。〔1〕的单调性：，，，〔2〕的单调性：，，，假设奇函数在区间上单调递增〔减〕，那么数在区间上单调递增〔减〕；假设偶函数在区间上单调递增〔减〕，那么数在区间上单调递减〔增〕。【注意】书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格规定，习惯上，假设函数在区间端点处有定义，那么写成闭区间，当然写成开区间也可；假设函数在区间端点处没有定义，那么必须写成开区间．【典型例题分析】例1、判断函数在区间上的单调性。【解析】利用函数的单调性的定义判读即可。【答案】在区间上单调递减。变式练习1：，判断在上的单调性，并证明。【解析】直接利用函数单调性的定义判断。【答案】在是增函数【点拨】用定义研究函数的单调性时，所取应是指定区间上的任意两值，对差的变形主要有因式分解或配方、通分、分子有理化等方法，确定差的符号时要注意的所在范围，另外，有字母系数〔即参数〕的要注意字母对单调性的影响〔如〕变式练习2：证明：函数在上是减函数。证明略例2、求以下函数的单调区间〔1〕〔2〕〔3〕【解析】利用常见函数的单调性及函数图像求解【答案】〔1〕单调减区间〔2〕单调增区间〔3〕单调增区间为单调减区间为例3、为偶函数，且当时单调递减，求的单调区间。【解析】根据外层函数的单调区间，对内层函数的单调区间进行相应分段。【答案】设令，令，由有当时，，此时当时，，此时综上可知：的单调增区间，单调减区间变式练习1：设是定义在上的单调函数，且〔1〕求的值；〔2〕假设，求的取值范围。答案：〔1〕〔2〕变式练习2：是定义在上的奇函数，且它在区间上单调递减，且，求实数的取值范围。解：由，得，因为是上的奇函数所以时，有，又在上是减函数，且是上的奇函数在上仍是减函数，于是得【说明】应用函数的奇偶性与单调性，将函数值间的不等关系，实质就是消去的过程，在此题中还要特别注意函数的定义域。例4、求函数的单调区间。解：设那么由所以二次函数的图像是以为顶点，开口向下的抛物线在上的一段。当为增函数，从而也为增函数；当时，为减函数，从而也为减函数；故函数的单调增区间是；单调减区间是变式练习：〔1〕函数的单调增区间为____________〔2〕函数的单调增区间为____________答案：〔1〕〔2〕.例5、讨论函数的单调性分析：用作差法谈论函数的单调性时，由于含字母参数，其单调性往往会因的取值不同而异，因此应对的取值进行分类讨论。【答案】当时，在上是减函数；当时，，不具有单调性；当时，在上是增函数。变式练习：求函数的单调区间【答案】函数的增函数区间为；函数的减函数区间为【说明】由于奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称，所以奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。【课堂小练】1.“是奇函数”是“存在定义域内无数个，使成立”的〔〕A．充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又非必要条件为R上的奇函数，瑞对任意实数，当时，总有成立，那么函数为R上的〔〕A增函数B减函数C不能确定D以上均不正确为奇函数，为偶函数，且，那么_________为奇函数，那么实数_________在区间上是增函数，那么的取值范围是_________为偶函数，那么函数的值域为__________的奇偶性。的单调性。〔其中〕答案：1.A2.A3.4.5.6.7.(1)假设为偶函数；〔2〕假设既不是奇函数又不是偶函数8.〔1〕当函数为增函数；〔2〕当时，在上不是单调函数，在上单调递减，在上单调递增。【课堂总结】1．函数的单调性是对函数定义域内的某个子区间而言的，反之单调区间是定义域的子集．2．假设函数在定义域上是单调的，那么的图像与x轴的交点个数最多有一个．3．求复合函数的单调区间的一般步骤是：(1)求函数的定义域；(2)求内层函数的单调区间；(3)考察外层函数的单调性；〔4〕由“同增异减”确定复合函数的单调区间．4．当内层函数在单调区间上的值域是外层函数的单调区间的子集时，刚只要直接求出内层函数的单调区间，由“同增箅减”即可得到复合函数的单调区间，反之，那么应对内层函数的单调区间进行分段，以满足上述要求。【课后练习】一、根底稳固是定义在R上的奇函数，那么_______________的递减区间是_______________是奇函数，函数的递减区间是，那么_________，___________A是奇函数B是偶数不是奇函数C既是奇函数又是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数5.以下说法中不正确的选项是〔〕A图像关于原点对称的函数一定是奇函数B奇函数的图像一定经过原点C偶函数的图像假设不经过原点，那么它与轴的交点的个数一定是偶数D图像关于轴成轴对称的函数一定是偶函数在定义域D上是增函数，且，那么以下函数中不是增函数的是〔〕ABCD上的偶函数在上是增函数，且对一切,恒有成立，试判断在上的单调性，并证明你的结论。二、能力提升是偶函数且在区间上递增，判断与的大小关系。在上单调递增，假设求实数的取值范围。为偶函数，讨论在区间上的单调性。三、开放探究,满足四、高考体验12.〔2009辽宁〕偶函数在区间单调增加，那么满足的的取值范围是〔〕ABCD答案1.02.3.07.减函数的范围9.10.增函数11.课题函数的性质--单调性〔二〕教学目的掌握函数单调性的概念，并能判断一些简单函数的单调性；2、掌握函数单调性与函数图像的关系。教学内容【知识梳理】1．函数单调性的定义？2．证明函数单调性的步骤是什么？3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用【典型例题】例1．(1)那么a的范围为(D)A．B．C．D．提示：21<0时该函数是R上的减函数.(2)函数)是单调函数的充要条件是(A)A．B．C．D．(3)在区间上是减函数，且，那么以下表达正确的选项是〔D〕A．B．C．D．提示：可转化为和在利用函数单调性可得.(4)如以下图是定义在闭区间上的函数的图象,该函数的单调增区间为[-2,1]和[3,5]提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并.(5)函数的单调减区间是提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域.例2．画出以下函数图象并写出函数的单调区间〔1〕〔2〕解：(1)即如下图，单调增区间为，单调减区间为〔2〕当，函数当，函数即如下图，单调增区间为，单调减区间为(1)(2)例3．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．证明：设那么

，且在与中至少有一个不为0，不妨设，那么，故在上为减函数变式练习：确定函数的单调性并证明你的结论。答案：a>0,那么为单调递减，a<0,那么为单调递增，证明步骤参照上述例题是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。〔1〕求证：；〔2〕证明：时恒有；〔3〕求证：在R上是减函数；〔4〕假设，求的范围。解：(1)取m=0，n=那么，因为所以(2)设那么由条件可知又因为，所以∴时，恒有〔3〕设那么==因为所以所以即又因为，所以所以，即该函数在R上是减函数.(4)因为，所以所以，所以变式练习：偶函数上是增函数，求不等式的解集。答案：x<-1或x>3【课堂小练】1．以下函数中,在区间(0,2)上为增函数的是(

D

).A．

B．

C．D．提示：根据函数的图象.2.函数的增区间是〔

A

〕.A．[3,1]

B．[1,1]C．

D．提示：注意函数的定义域.3.在上是减函数，那么的取值范围是〔

A〕.A．

B．

C．

D．提示:考查二次函数图象的对称轴和区间端点.4．假设函数在区间[,b]上具有单调性，且,那么方程在区间[，b]上〔D〕A．至少有一个实数根B．至多有一个实数根C．没有实数根D．必有唯一的实数根提示:借助熟悉的函数图象可得.5.函数的单调增区间是____，单调减区间______。提示:画出二次函数的图象,考虑函数对称轴.6．假设当时是增函数,当时是减函数,那么13提示：由题可知二次函数的对称轴是可求出m的值.7．在定义域内是减函数，且>0，在其定义域内以下函数为单调增函数的为②③①〔为常数〕；②〔为常数〕；③；④．提示：借助复合函数的单调性.8．函数上的最大和最小值的和为，那么=提示：是[0,1]上的增函数或减函数,故，可求得=9．设是定义在上的单调增函数，满足求：〔1〕f〔1〕；〔2〕当时x的取值范围.解:(1)令可得(2)又2=1+1=由,可得因为是定义在上的增函数,所以有且且，解得：10．求证:函数在上是增函数.证明:设那么当时,,，所以所以函数在上是增函数.【课后练习】1.以下四个函数：①;②；③;④，其中在上为减函数的是〔A〕。〔A〕①〔B〕④〔C〕①、④〔D〕①、②、④在和都是增函数，假设，且那么〔D〕A．B．C． D．无法确定3.函数是定义在上的减函数，假设，实数的取值范围为(B)A.B.C.D.，函数的单调递减区间