2018年高考数学全国1卷第12题出处及变式

1.208全国1卷理科第12题——对正方体结构的认知和运用+截面面积计算1（2018全国1卷理科第12题）已知正方体的棱长为1每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A．334

B．233

C．324

D．32【解析】注意到正方体12条棱分为三组平行的棱，则只需与共顶点的三条棱所成角相等即可，注意到正方体的结构，则平面应为图1中所示，所以只需由图中平面平移即可。最大面积截面如图2所示，，故本题正确答案为A。变式（1994全国联赛填空题第5题已知一平面与一正方体的12条棱的夹角都等于，则sn= 【解析】如上图1，顶点到平面ABC的距离为体对角线的1，则sin3

3a3 3.a 3变式：（2004湖南数学竞赛第8题）过正方体ABCD111的对角线B1的截面面积为S，则Smax的值为（ ）Smin3 6 23 26A. B. C. D.2 2 3 3【解析】如图，因为正方体对面平行，所以截面BE1F为平行四边形，则11S2SBED1

22

B1h此时E到B1的最小值为C1与B1的距离即当E为中点时，h

2a（a为正方体棱长，S

21

a

2a

6a2又因为S 为min 2

min 2 2 2

max四边形B11F的面积，选C.变式（2005全国高中数学联赛第4题在正方体D'B'C'D'中任作平面与对角线C'垂直，使得与每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则（）A.S为定值，l不为定值 B.S不为定值，l为定值C.S与l均为定值 D.S与l均不为定值【解析】选B，将正方体切去两个正三棱锥A'BD与CD'B'C后,得到一个以平行平面'BD与D'B'C为上下底面的几何体V,V的每个侧面都是等腰直角三角形截面多边形W的每一条边分别与V的底面上的一条边平行,将V的侧面沿棱'B'剪开,展平在一张平面上,得到一个平行四边形'B'11,如图而多边形W的周界展开后便成为一条与'1平行的线段(如图中E'1,显然E'1'A,故l为定值.当E位于'B'中点时,多边形W为正六边形,而当E'移至A处时,W为正三角形易知周长为定值l的正六边形与正三角形面积分别为

3l2与24

3l2,故S不为定值.36变式4：在长方体ABCD1111中，ABAD,A12，过点1作平面与1AB,AD分别交于M,N两点，若AA与平面所成角为450，则截面面积的最小值 ．1解析：过A作N的垂线，垂足为T，第一步：寻找T的轨迹：T的轨迹是平面D内，以A为圆心，2为半径的圆法一（直观感知作出线面角并证明连接T因为A1MN所以N平面AT，0过A作T的垂线垂足为Q易证AQ平面1MN所以AT450

则AT2。1法二（运动变化的观点探求轨迹问题作一个以AA为轴母线与对称轴所成角为450的1圆锥，过任意一条母线作圆锥的切面1MN，与平面D的交线为N，则AT2。第二步：求最值法一（注意运动中的不变性因为T2

2为定值且TMN则要求截面面积的最小值，只需求N 的最小值，

AT2MTNT4

，所以MNMTTN2TT。

MTTN

4则S

MN

1422

24

2等号成立当且仅当1法二：（利用二面角实现面积的转化）切面AMN与平面D所成角为450，由射影面1积法知cos450

SAMN1SAMN1

所以S

MN

2SAMN

21MNAT2111

2MN4211法三（等体积法实现面积的转化由VA1

AMN

VA

AMN得

SAMN3

A1

3SMN

d，1因为线面角为450，所以dAA1

sin450，所以S

MN

2S

AMN

，同上。法四：（类比勾股定理）设切点Tx0,y0，则切线N方程为x0xy0y4，则求得4

4M ,0,M,

类比直角三角的勾股定理猜想截面的平方等于三角直角面的平方x0

y0

64 16 16

64

16x2y2

128和，从而把截面面积的平方化为

x2y2

x2 y2

x2y2

0 0x2y2

x2y200 0 0 00 00 002 2因为x0y0

42x0y0，即0x0y02，128所以面积平方的最小值为 32，面积是最小为424变式已知正四面体D的棱长为2

6四个顶点都在球心为O的球面上P为棱BC的中点，过点P作求O的截面，则截面面积的最小值为 【解析当截面与PO垂直时面积最小设截面半径为

OA2OP2

PA

6答案为变式6棱长为2的正方体ABCD1111中，E为棱AD的中点，过1点，且与平面1BE平行的正方体截面的面积为（ ）A.5 B.25

C.26

D.6【分析对正方体结构和截面的认知根据平行作图得到一个菱形对角线分别为面对角线和体对角线，选C.变式在一个密封的容积为1的透明正方体容器内装有部分液体如果任意转动该正方体，液面的形状都不可能是三角形，那么液体体积的取值范围是 .解析：如图，正方体ABC-EFH，此时若要使液面不为三角形，则液面必须高于平面EH，且低于平面AFC． 可以求出液体取值范围为1,566【点评】在运动变化中，空间想象能力得到了很好的考查。拓展点M为正方体ABCD111的内切球O球面上的动点点N为1上一点，2N1N1,MBN若球O的