常微分方程的几种数值解法

F）险兴学F）险兴学毕业设计（论文）报告纸共39共39页第#页为了便于比较，我们将它们的图形跟R-K法作到一张图上：odefun=@(t,y)y-sin(t)+cos(t);[t,y]=ode45(odefun,-l:0.05:l,0)>>t=linspace(-l,l,41);plot(t,logl0(abs(y'-sin(t))),'g+--',t,logl0(abs(y2-sin(t))),'r+--',t,logl0(abs(y5-sin(t))),'b*--',t,log10(abs(y7-sin(t))),'y*--',t,log10(abs(y10-sin(t))),'r*--',t,log10(abs(y15-sin(t))),'b+--')xlabel('t');ylabel('log_1_0lerrorl');title('h=0.05时候y的误差曲线');legend('R-K','n=2','n=5','n=7','n=10','n=15')将图形保存为pu.fig，图形如下：

该图形是在各取值点处的误差值，可以看出，随着n的增大，误差的绝对值显著减少，n=7的精度已经超过了同步长的R-K法的精度，而随着n的不断增加，误差的数量级也不断减小。从这个图我们可以推测，谱方法是一个具有无穷阶收敛的数值算法。IIIIII!下面，我们做出y随着多项式最高次数n变化的误差曲线。创建puerror.m文件，内容如下：II丨function[N,error]二puerror(n)III!t=linspace(T,l,41);II1fori=1:nIIIN(i)=iII1y(i,:)二pusolve(i);IIIIerror(i)=loglO(max(abs(y(i,:)-sin(t))));I1End装込I输入，III[x,y]=puerror(16);plot(x,y,'r*—');xlabel('N');ylabel('log_l_Omax|error|');title('yIII'二y-sint+cost随着N变化的误差曲线')；gridon得到误差曲线图，保存为puerror.fig，图形II如下订产丫-册+匚询随着N更化的具羞曲童戋N产丫-册+匚询随着N更化的具羞曲童戋N可以看出，随着N的不断增大，误差下降速度非常迅速。注：事实上，谱方法本身就具有无穷阶收敛的性质且收敛速度具有超几何收敛现象，这是谱方法相比其他方法的巨大优越性。但是，谱方法的计算量也是惊人的，在同等配置情况下，R-K法只需要几秒钟的运行时间，而谱方法运算n=15的时间已经接近一分钟，这一部分原因是因为程序中大量使用for循环降低了matlab的运行速度，但同时确实说明该方法的计算量惊人。本文已经讨论了几种数值算法，这些方法各有其优势，大家在使用是联系虑精度需求，使用方便性和适应性以及运算速度要求各方面综合考虑，选取最适合的方法。参考文献姜礼尚，陈亚浙，刘西桓等数学物理方程讲义[M].第二版.北京：高等教育出版社,1986.现代数值数学和计算[M].上海：同济大学出版社，2003王沫然.Matlab与科学计算[M].北京：电子工业出版社.2003许波，刘征.Matlab工程数学应用[M].北京：清华大学出版社，2000BertCW,MalikM.DifferentialQuadraturemethodinComputationalMechamnics:Areview,Appl.Mech.Rev.[J]49,1-28,1996李庆杨，易大义，王能超.现代数值分析[M].北京：高等教育出版社，1995沈剑华•计算数学基础.[M]上海：同济大学出版社，1989施吉林，刘淑珍等•计算数学数值方法[M].北京：高等教育出版社，2002SS.MathematicalMethodsinScienceandEngineering]〕].2006王仁宏•数值逼近[M].北京：高等教育出版社，2001J