平衡中的临界问题

平衡中的临界问题【专题概述】1•临界状态：物体由某种物理状态变化为另一种物理状态时，中间发生质的飞跃的转折状态，通常称之为临界状态。2•临界问题：涉及临界状态的问题叫做临界问题。解决临界问题的根本思路〔1〕认真审题，仔细分析研究对象所经历的变化的物理过程，找出临界状态。〔2〕寻找变化过程中相应物理量的变化规律，找出临界条件。〔3〕以临界条件为突破口，列临界方程，求解问题〔1〕相互接触的两个物体将要脱离的临界条件是：相互作用的弹力为零。〔2〕绳子松弛的临界条件是：绳中拉力为零〔3〕存在静摩擦的连接系统，当系统外力大于最大静摩擦力时，物体间不一定有相对滑动，相对滑动与相对静止的临界条件是：静摩擦力达最大值临界现象是量变质变规律在物理学上的生动表达。即在一定的条件下，当物质的运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在着一种状态向另一种状态过渡的转折点，这个转折点常称为临界点，这种现象也就称为临界现象•如:静力学中的临界平衡；机车运动中的临界速度;振动中的临界脱离；碰撞中的能量临界、速度临界及位移临界；电磁感应中动态问题的临界速度或加速度；光学中的临界角；光电效应中的极限频率；带电粒子在磁场中运动的边界临界；电路中电学量的临界转折等.解决临界问题，一般有两种方法，第一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、讨论临界特殊规律和特殊解；第二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。【典例精讲】典例1：倾角为0=37°的斜面与水平面保持静止，斜面上有一重为G的物体A,物体A与斜面间的动摩擦因数卩。现给A施加一水平力F,如下图。设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等〔sin37°,cos37°〕，如果物体A能在斜面上静止，水平推力F与G的比值不可能是〔〕

2C.l典例2：如下图，物体A的质量为2kg，两轻绳AB和AC(LAB=2Lac)的一端连接在竖直ABAC墙上，另一端系在物体A上.现在物体A上施加一个与水平方向成60°角的拉力F,要使两绳都能伸直，试求拉力F大小的取值范围.(g取10m/sE典例3：—个质量为1kg的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速运动，这个最小拉力为6N，g=10m/s2，那么以下关于物体与地面间的动摩擦因数卩，最小拉力与水平方向的夹角e,正确的选项是〔〕u=—,e=0B.u二—，tane=—444343H卩二一，tane=：D.u二二，tane=-典例4：拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图)•设拖把头的质量为m,拖杆质量可以忽略;拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数」；，重力加速度为g,某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为"•假设拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小.设能使该拖把在地板上从静止刚好开场运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为」•存在一临界角匚，假设，那么不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开场运动•求这一临界角的正切.典例5：如下图，质量为m的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为时恰能沿斜面匀速下滑.对物体施加一大小为F的水平向右恒力,物体可沿斜面匀速向上滑行.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角时,不管水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行,试求：物体与斜面间的动摩擦因数；这一临界角的大小.典例6如下图，两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆上,两根长度均为l的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M的木块上，两个小环之间的距离也为l,小环保持静止.试求：小环对杆的压力；小环与杆之间的动摩擦因数"至少为多大【总结提升】所谓极值问题，一般而言，就是在一定条件下求最正确结果所需满足的极值条件^求解极值问题的方法从大的角度可分为物理方法和数学方法。物理方法包括〔1〕利用临界条件求极值；〔2〕利用问题的边界条件求极值；〔3〕利用矢量图求极值。数学方法包括〔1〕用三角函数关系求极值；〔2〕用二次方程的判别式求极值；〔3〕用不等式的性质求极值。一般而言，用物理方法求极值直观、形象，对构建模型及动态分析等方面的能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高•假设将二者予以融合，那么将相得亦彰，对增强解题能力大有裨益。在中学物理问题中，有一类问题具有这样的特点，如果从题中给出的条件出发，需经过较复杂的计算才能得到结果的一般形式，并且条件似乎缺乏，使得结果难以确定但假设我

们采用极限思维的方法，将其变化过程引向极端的情况，就能把比拟隐蔽的条件或临界现象暴露出来，从而有助于结论的迅速取得。对于不确定的临界状况、可以采用假设的方法来处理运用假设法解题的根本步骤是：明确研究对象；画受力图；假设可发生的临界现象；列出满足所发生的临界现象的平衡方程求解.【专练提升】1、如下图，木块A放在水平桌面上，木块左端用轻绳与轻质弹簧相连，弹簧的左端固定，用一轻绳跨过光滑定滑轮，一端连接木块右端，另一端连接一砝码盘（装有砝码），轻绳和弹簧都与水平桌面平行，当砝码和砝码盘的总质量为0.5kg时，整个装置静止，弹簧处于伸长状态，弹力大小为3N，假设轻轻取走盘中的局部砝码，使砝码和砝码盘的总质量减小到0.1kg，取g=10m/s2，此时装置将会出现的情况是（）A.弹簧伸长的长度减小B.桌面对木块的摩擦力大小不变；•...C.木块向右移动2、（多项选择）如图，一光滑的轻滑轮用细绳00’悬挂于0点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态.假设F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，那么（）绳00’的张力也在一定范围内变化；亠物块b所受到的支持力也在一定范围内变化连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化川7]卫物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化3、质量为m=0.8kg的砝码悬挂在轻绳PA和PB的结点上并处于静止状态，PA与竖直方向的夹角37°，PB沿水平方向，质量为M=10kg的木块与PB相连，静止于倾角为37°的斜面上，如下图.（取g=10m/s2，sin37°=0.6）求：（2）木块所受斜面的摩擦力和弹力大小.（1）轻绳PB拉力的大小;

（2）木块所受斜面的摩擦力和弹力大小.如以下图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，0点为其球心，碗的内外表及碗口是光滑的一根细线跨在碗口上，线的两端分别系有质量为IQ］和m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为a=60°，两小球的质量比&为（）A.D.A.D.5•某同学设计了一个验证平行四边形定那么的实验，装置如以下图所示.系着小物体m「m2的细线绕过光滑小滑轮与系着小物体m3的细线连接在0点，当系统到达平衡时绕过滑轮的两细线与竖直方向夹角分别为37°和53°，那么三个小物体的质量之比mi：m2：m3为(sin37°=0.6,sin53°=0.8)()□A.3：4：5B.4：3：5C.□A.3：4：5B.4：3：5C.4：5：3D.3：5：46.有三个质量相等、半径为r的圆柱体,同置于一圆柱体不致分开，那么圆弧曲面的半径R最大是多少?块光滑圆弧曲面上，为了使下面两平衡中的临界问题答案【典例精讲】典例1思路点拨：假设物体刚好不下滑，此时静摩擦力沿斜面向上，到达最大值，根据平衡条件和摩擦力公式求出F与G的比值最小值；同理，物体刚好不上滑时求出F与G的比值最大值，得到F与G的比值范围。【答案】A；【解析】设物体刚好不T涓时RF,作出力图如图，则由平衡条件得：F.cos9-F^N,=GEin0,N=Fisin9-hGco£0,得：孔兀设牺体刚奸不上滑时戸嘉则:F.coe^=P-Nj+5siji^jK_=F.：mi.r-"FCm：得：GW,21-即汀酣飞G所臥不可能的足施故选乩33典例2【答案】3NWFW3N【解析】当M绳上的张力凡二0时，拉力F有最小值F,此时物体丿的受力惜况如图田所示，很協平衡条件可得翻,，血◎F解得F='-N.I『卩为朋绳上的张力尺二0时：拉力F有最女值F,此阿物体卫的旻力情况如图乙所示，根据平衡杀件故厅的取值范围为卑22庖卑邑N

典例3【答案】B。【解析】拉力斜向上比拟省力，设夹角为e；此时，对物体受力分析，受拉力、重力、支持力和摩擦力，根据平衡条件，有:(・J*水千3冋：Feos6-M-N=C-竖豈方叵］:ng-Fsinfl联口解得：产石而匚云丽二+丹+6)〔茸中sinCl=〔茸中sinCl=sin(a-0;=1li力取最出值,即:U疋尬解得:U-^0.75?此盯9^37°故-anB疋尬解得:U-^0.75?此盯9^37°4故选陕典例4【答案】⑴f：八⑵"心二；【解析】⑴拖把头受到重力、支持力、推力和摩擦力处于平衡，设该同学沿拖杆方向用大小为F的力典例典例5【答案】⑴⑵■11,1推拖把-将推扼把的力沿畦和水平方向分解.搜平谢条件有黑直方向上：Wv和十瞬=A木平方向上；用辭=f(2：;式中K和f分別为地换对齬的王压力和期幼•按摩犧定律肖f=声®(2)假设不管沿拖杆方向用多大的力不能使拖把从静止开场运动，应有这时⑴式仍满足•联立⑴⑸式得■-；；⑹现考察使上式成立的•：角的取值范围.注意到上式右边总是大于零，且当F无限大时极限为零，有,、：、心„\rr.jj'-1■ll：7使上式成立的-角满足■''■'■，|,这里是题中所定义的临界角，即当"时，不管沿拖杆方向用多大的力都推不动拖把.临界角的正切为⑺‘心'八【解析】⑴：物体m匀速下滑时应有：“吵筛:対=何吋祈汽十算得出“=址曲(P=孚；⑵:设斜面的倾角为n-，财物体受力分析，由匀速运动的条件应有jFrx/^rt=川.泸imxT・F卄①F\=m^.osaIFsina@耳=wF：、③联立①②③可得F=mgsma+fimgco^a

eosap由叶讣讨论如T:当S代网皿=0时，F.3G,即无论用多丈的力都不能使物体沿斜面上滑』可计算得出临界角—(-IJI典例6【答案】⑴m%：(2)丁一二.【解析】因为作用在M的两根轻绳长度均为1,且两个小环之间的距离也为1,两个小环的质量均为m,故两个小环对杆的压力大小相等，设每个小环对杆的压力大小为厂，⑴整偉法分析有:两个4郵对杆的压力之禾瞎干两环2木块的重力之和.即2£、=(2U+2t?i)<?即瓦V=£呵+“旳由牛顿第三定律得:小环对杆的压尢I心-]M+”灼⑵设每根绳子上的拉力为尺咼究M得刃同血】：=岐粘界状态，此时<]环受到的静摩扌就达到最丈值，则有:匝巧计茸得出:动摩扌綢数ff至少为"，?/':,!i：M2?h【专练提升】1【答案】B【解析】开始时「木块丸受到向左的弹力3口縄的拉力等于皓码和確玛益的重力厅即故木块A还受到向左的2N的静摩擄力’说明最犬辭摩揀力犬于2g当袪码和袪码盘的总质量减小到0.1kg,木块受到向右的2N的詡摩換力，仍热静止2【答案】BD【解析】由于物块目静止，连接且和b的绳的张力以及绳00,的帐力不变，A、C■错；对糊块b受力分析可知』重力和縄子扌立力不喪』则当F方向不喪亍大小在一定范围内变化』水平方向的静摩揀力和竖直方向的支持力也在一定范围内变化，故选E、D3【答案】(1)6N(2)64.8N76.4N【解析】(1)对点P受力分析如下图根据共点力作用下物体的平衡条件得：F—Fsin37°=0BAFcos37°—mg=0A嗎sin3厂(L8X10XCL6联立解得：F=—=UN=6NB故轻绳PB拉力的大小为6N(2)对木块受力分析如下图.叶由共点力作用下物体的平衡条件得：Ln375+3,cqs375—F=0F.+Fiis-in37°—Mg-co&37°=Q联立解得；P：=M§sin37°+F：±"ST={1QX10^0,5+5XQ,S)N=^4,8NF=Mgccs37°-F!：Ein37°=(10X10X0,8-5X0.o^=7^,4H故木块所受豁面的摩揀力和弾力大小分别为M.8耳和忑4W4【答案】A

【解析】由Fn与Ft水平方向合力为零可知，Fn=Ft；竖直方向有2FtC0S30°=mig，又FT=m2g,从而2m2gx¥=m]g,解得話=¥5【答案】B【解析】对结点0受力分析，0点受到三根绳子的链力如下圉所示■由干物体讥:、且的细线绕过光滑小滑轮劳系看小物体血泊细线连接，