5定积分及其应用

定积分的概念与性质

5.1

微积分基本公式5.2

定积分的计算5.3

应用与实践

5.5

目录

第五章定积分及其应用

广义积分5.4

定积分的概念与性质

5.1

微积分基本公式5.2

定积分的计算5.3

应用与实践

5.5

目录

第五章定积分及其应用

广义积分5.4

5.1定积分的概念与性质

复习导入不定积分定积分概念性质计算应用5.1定积分的概念与性质?我们以前学过图形的面积计算，请大家回想一下，有哪些计算公式？

正方形、矩形、三角形、梯形、圆、椭圆等。规则图形5.1定积分的概念与性质?不规则图形（如图）的面积如何求？?一、两个引例5.1定积分的概念与性质●曲边梯形的面积上述图形的面积可归结为下列两个图形的面积之差，即．我们把这类几何图形定义为曲边梯形．5.1定积分的概念与性质曲边梯形是由连续曲线所围成的平面图形。与三条直线曲边梯形面积如何求？●曲边梯形的面积5.1定积分的概念与性质abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）5.1定积分的概念与性质解决步骤：把区间[a,b]分成n个小区间第i个小区间的宽度记为

,即(1)分割用分点

●曲边梯形的面积5.1定积分的概念与性质在第i个小区间上任取一点

矩形的面积相应小曲边梯形的面积,即

用以为宽，为高的小近似代替(2)近似代替●曲边梯形的面积5.1定积分的概念与性质(4)取极限令,则(3)求和

分割越细，近似程度越高，当无限分割时，矩形面积和无限逼近曲边梯形面积。●曲边梯形的面积5.1定积分的概念与性质?且设某物体作变速直线运动,已知速度如何计算物体从时刻到时刻所经过的路程？●变速直线运动的路程一、两个引例5.1定积分的概念与性质解决步骤：第i个小区间的长度记为

把时间区间[a,b]分成n个小区间(1)分割用分点

●变速直线运动的路程5.1定积分的概念与性质(3)求和(2)近似代替(4)取极限,则令●变速直线运动的路程5.1定积分的概念与性质2.变速直线运动的路程1.

曲边梯形的面积一、两个引例两个实例尽管实际意义差别很大，但他们的数学本质怎样呢？5.1定积分的概念与性质

定义1设函数在区间上有定义，在中插入个分点，把区间分成个小区间每个小区间的长度依次为，在每个小区间上任取一点，作乘积的和式如果和式的极限

存在，则称这个极限值为函数在上的定积分，记作，即定义15.1定积分的概念与性质积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和二、定积分的概念积分分区间____5.1

定积分的概念与性质3.

规定

2.

定积分只与被积函数和积分区间有关，与积分变量用什么字母表示无关，即有1.定积分是一个和式的极限，它的结果是一个常数。说明●定积分的几何意义定积分的值等于曲边梯形面积；(1)(2)定积分的值等于曲边梯形面积的负值.5.1

定积分的概念与性质●定积分的几何意义5.1

定积分的概念与性质若在区间上，有正有负,则等于区间上位于轴上方的图形的面积减去轴下方的图形的面积，如图即有其中分别表示图中所对应的阴影部分的面积．5.1定积分的概念与性质１.答案：2和０．２.答案：利用定积分的几何意义计算

1．和.２．课堂实训5.1定积分的概念与性质(k为常数)三、定积分的性质推广性质1性质2不论相对位置如何，上式均成立．5.1定积分的概念与性质(积分区间可加性)性质35.1定积分的概念与性质性质4在区间上最小值和最大值,则上在区间如果分别是和三、定积分的性质性质4性质55.1定积分的概念与性质(积分中值定理)如果函数使得至少存在一点上上连续，则在区间在闭区间通常称上的平均值。在为函数当时,由曲线,直线所围成的曲边梯形的面积，等于以区间为底、以该区间上某一点处的函数值为高的矩形的面积.性质65.2微积分基本公式一、变上限定积分设函数定义在上，x为区间上的任意一点,定积分表示的是图中阴影部分的面积．随着积分上限x在区间内变化，定积分都有惟一确定的值与之相对应,故它是x的函数，称它为积分上限函数，记作，即5.2微积分基本公式上定理表明，是连续函数的一个原函数，它揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系.

如果函数在区间上连续，则函数在区间上可导，且它的导数就是，即定理15.2微积分基本公式【解】根据定理1，可得

设，求例1设，求例2公式【解】5.1定积分的概念与性质

为方便计算，公式中的通常记为．因此上述公式可写成

二、牛顿-莱布尼茨公式如果函数是连续函数在区间上的一个原函数，则定理2

定积分的值等于被积函数的一个原函数在积分上、下限处的函数值之差。5.2微积分基本公式所以，由牛顿——莱布尼茨公式有求定积分例3

【解】因为，5.2微积分基本公式求定积分例4【解】【思考】定积分的计算与定积分的运算有什么异同？5.2微积分基本公式

求定积分例5【解】5.2微积分基本公式被积函数是分段函数由积分区间的可加性，得求定积分例6【解】5.2微积分基本公式※1．变上限积分函数的概念．※

2．变上限积分函数求导方法．

3．利用牛顿－莱布尼兹公式计算定积分．5．计算定积分的常用技巧．4．分段函数的定积分．小结5.3定积分的计算一、定积分的换元积分法设函数在上连续，满足(1)(2)当从变化到时，单调地从变化到；(3)在上连续．则上式称为定积分的换元公式．定理2计算．所以且当时，;当时，5.3定积分的计算例1

,则,【解】令

计算,则且当时，．所以;当时，5.3定积分的计算例2【解】令

【解】令,则,且当时，.所以当时，5.3定积分的计算计算※例３设在上连续，试证明：(1)若在上为偶函数，则(2)若在上为奇函数，则令,则．在中，

当当时；时，。【证明】因为于是得5.3定积分的计算※例4【证明】

(1)若为偶函数,则,且(2)若为奇函数，则．且有所以5.3定积分的计算所以●重要结论(2)奇函数的图像关于原点对称(1)偶函数的图像关于y轴对称5.3定积分的计算【解】因为被积函数是奇函数,关于原点对称．所以且积分区间

利用重要结论，奇、偶函数在对称区间上的积分计算可以得到简化，甚至不经计算即可得到结果.5.3定积分的计算计算定积分

．例5计算定积分．对称．所以

【解】被积函数是偶函数，是奇函数，且积分区间

关于原点是非奇非偶函数，5.3定积分的计算例6

或二、定积分的分部积分法5.3定积分的计算

设函数，在区间上具有连续导数，则定理3二、定积分的分部积分法计算【解】【解】计算5.3定积分的计算例7例8计算5.3定积分的计算例9【解】1．求定积分．*3．求定积分.（答案：）2．求定积分．（答案：）（答案：

）4．求定积分.5.3定积分的计算课堂实训（答案：）5.4反常积分一、无穷区间上的反常积分由曲线与轴、轴所“围成”的开口图形的面积A如何求？

?5.4反常积分

【基本思路】在上任取一点，先求由与轴、轴及所围成的曲边梯形的面积，即求闭区间上的定积分然后再让

,所得的极限即为所求开口图形的面积．我们把

称为函数

在区间

上的反常积分．5.4反常积分

设函数定义在区间上，任取,如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作

,即这时也称反常积分收敛；如果上述极限不存在，则称反常积分发散．类似定义定义15.4反常积分

如果的原函数为，若记则三种无限区间的反常积分可形式上写成:用上述记号，省去了极限符号，书写更简便些．但应注意，要始终理解为求极限值．5.4反常积分求例1求例2【解】【解】5.4反常积分

与轴围成的面积.

【解】

表示由曲线(1)求例3单调增加，即

．当时,函数因此

发散．5.4反常积分当时，当时，因此，当时，收敛,其值为；当时，发散．讨论积分的收敛性.

※例

3【解】5.4反常积分二、有限区间上无界函数的反常积分设函数在上连续，且，若存在，则称则称此极限值为函数在区间上的反常积分，记作，即此时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散。类似地可定义：其中定义25.4反常积分二、有限区间上无界函数的反常积分求【解】因为，所以是反常积分，则例45.4反常积分

【解】因为，所以是反常积分，且又由于故反常积分发散，所以也发散．讨论反常积分的敛散性．例55.4反常积分

【解】

当时，则有

当时，则有

因此，当时，该反常积分收敛，其值为；当时，该反常积分发散．讨论反常积分（为常数)的敛散性．例65.4反常积分1．计算．（答案：）（答案：发散）2．计算

．3．计算．（答案：）1．广义积分的概念．3．无界函数的计算与判敛

．小结2．无穷限的广义积分的计算与判敛

．课堂实训5.5应用与实践※一、微元法5.5应用与实践yf(x)dx通常将这种在微小的局部上进行数量分析的方法称为微元法.这样便得到了总量的积分式.5.5应用与实践二、平面图形的面积1．直角坐标系中平面图形的面积

面积的值等于图形的上边界所对应的函数与下边界所对应的函数之差在区间上的定积分．5.5应用与实践(２)由左、右两条连续曲线、（）与两条平行直线、所围成的图形的面积的计算公式：

面积的值等于图形的右边界所对应的函数与左边界所对应的函数之差在区间上的定积分．5.5应用与实践【解】画草图．

观察上图，运用面积公式Ⅰ可得所求面积为解方程组,得【案例1】求由曲线和直线所围成的平面图形的积．

选作积分变量．图形在轴上的投影区间为定积分的积分区间．5.5应用与实践【解】解方程组得两交点坐标为(0,0)和(1,1)．求解面积问题的步骤：(1)作草图：求曲线的交点，确定积分变量和积分限；(2)写出面积的定积分表达式；(3)计算定积分．【案例2】计算两条抛物线与所围成的面积．选取为积分变量，则积分区间为，根据面积公式(1)，所求的面积为5.5应用与实践

【解】因为椭圆关于两坐标轴对称，所求椭圆的面积等于椭圆在第一象限部分与两坐标轴所围图形的面积的4倍，即令则且有【案例3】求椭圆所围成的面积．5.5应用与实践5.5应用与实践【解】解方程组得交点坐标为(2,-2)和(8,4)．所求的面积为【案例4】求由曲线与直线所围成的平面图形的面积．【另解】选为积分变量，根据公式（1）得所求面积5.5应用与实践※2．极坐标系中平面图形的面积从而得所求曲边扇形的面积为5.5应用与实践

【解】用曲边扇形的面积公式计算．由于图形关于极轴对称，所以所求面积为【例4】求心形线所围图形的面面积.5.5应用与实践三、旋转体的体积由平面图形绕定直线旋转一周生成的立体称为旋转体，定直线称为旋转轴．

1.连续曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成的旋转体，其体积可用微元法求得：在区间上取小间,将该小区间上的旋转体视作底面积为、高为的薄圆柱，得体积微元5.5应用与实践则旋转体的体积为2.连续曲线与直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成的旋转体体积为5.5应用与实践【例5】求由椭圆所围成的图形分别绕轴和轴旋转所生成的旋转体的体积．【解】

由于椭圆关于坐标轴对称，所以所求的体积是椭圆在第一象限内形成的曲边梯形绕坐标轴旋转所生成的旋转体体积的二倍，即当绕轴旋转时，由公式(4)得5.5应用与实践当绕轴旋转时，由公式(5)得5.5应用与实践四、定积分的其他应用(为常数）．由物理学知识知道：质量为和，相距为的两质点间的引力为【例6】设有均匀的细杆，长为，质量为，另有一质量为的质点位于细杆所在的直线上，且到杆的近端距离为，求杆与质点之间的引力．

【解】已知两质点之间的引力公式，所以将细杆分成许多微小的小段，这样可以把每一段近似看成一个质点，而且这许多小段对质量为的质点的引力都在同一方向上，因此可以相加．5.5应用与实践所以细杆与质点之间的引力为如图所示，取积分变量为，在中的任意子区间上细杆的相对应小段的质量为，该小段与质点距离近似为，于是引力的微元为5.5应用与实践●功

【例8】

一圆台形状的容器高为5m，上底圆半径为2m，下底圆半径为3m，问将容器内盛