2022年江苏省常州市武进洛阳中学高二数学文期末试题含解析

2022年江苏省常州市武进洛阳中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是（）A、

B、

C、

D、参考答案：D略2.设过曲线f（x）=﹣ex﹣x（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，2] B．（﹣1，2） C．[﹣2，1] D．（﹣2，1）参考答案：A【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数f（x）=﹣ex﹣x的导函数，进一步求得∈（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2转化为集合间的关系求解．【解答】解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，∵ex+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范围为﹣1≤a≤2．故选：A．3.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于”时，反设正确的是（）A．假设三内角都不大于

B．假设三内角都大于C．假设三内角至多有一个大于

D．假设三内角至多有两个小于参考答案：B略4.点A，B，C，D均在同一球面上，且AB、AC、AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为(

)A．7π B．14π C． D．参考答案：B【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．5.将参数方程化为普通方程为（）A．y=x﹣2 B．y=x+2 C．y=x﹣2（2≤x≤3） D．y=x+2（0≤y≤1）参考答案：C【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】消去参数化普通方程为y=x﹣2，再由0≤sin2θ≤1，可得2≤x≤3，由此得到结论．【解答】解：将参数方程消去参数化普通方程为y=x﹣2，由0≤sin2θ≤1，可得2≤x≤3．故选C．【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，注意变量的取值范围，属于基础题．6.若在直线上存在不同的三个点，使得关于实数的方程

有解（点不在上），则此方程的解集为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D7.椭圆：

，左右焦点分别是，焦距为，若直线

与椭圆交于点，满足，则离心率是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.如果a＞b，给出下列不等式：（1）＜；（2）a3＞b3；（3）a2+1＞b2+1；（4）2a＞2b．其中成立的不等式有（）A．（3）（4） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）参考答案：C【考点】不等式的基本性质．【分析】（1）取a=2，b=﹣1，满足a＞b，但是＜不成立；（2）利用函数f（x）=x3在R上单调递增即可得出；（3）取a=1，b=﹣2，满足a＞b，但是a2+1＞b2+1不成立；（4）利用指数函数f（x）=2x在R上单调递增即可得出．【解答】解：（1）取a=2，b=﹣1，满足a＞b，但是＜不成立；（2）利用函数f（x）=x3在R上单调递增可得：a3＞b3；（3）取a=1，b=﹣2，满足a＞b，但是a2+1＞b2+1不成立；（4）利用指数函数f（x）=2x在R上单调递增可得：2a＞2b．其中成立的不等式有（2）（4）．故选：C．9.执行如图所示的程序框图，若输入的a值为-1，则输出的k值为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C10.不等式组表示的平面区域是(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】直接利用特殊点验证即可选项．【解答】解：由题意可知（0，0）在x﹣3y+6=0的下方．满足x﹣3y+6≥0；（0，0）在直线x﹣y+2=0的下方．不满足x﹣y+2＜0．故选：B．【点评】本题考查线性规划的可行域的作法，直线特殊点定区域，直线定边界的利用与应用．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知圆,圆内有定点,圆周上有两个动点，，使，则矩形的顶点的轨迹方程为

．参考答案：12.三个数的大小关系为

．参考答案：13.动点P到直线的距离减去它到点M的距离等于1，则P的轨迹方程___________。参考答案：14.已知样本9,19,11，x，y的平均数是10，标准差是，则xy＝

。参考答案：96；15.已知，则

参考答案：16.一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积（单位：）为

；参考答案：17.若，且2x+8y-xy=0则x+y的范围是

。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知菱形ABCD的一边所在直线方程为，一条对角线的两个端点分别为和.(1)求对角线AC和BD所在直线的方程;(2)求菱形另三边所在直线的方程.参考答案：AC:，BD:三边为，，19.不用计算器求下列各式的值：（1）；（2）.参考答案：（1）；（2）.（1）.（6分）（2）.（12分）20.（13分）已知数列{an}和{bn}满足a1=2，b1=1，an+1=2an（n∈N*），b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1（n∈N*）（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）记数列{anbn}的前n项和为Tn，求Tn．参考答案：【考点】数列的求和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）直接由a1=2，an+1=2an，可得数列{an}为等比数列，由等比数列的通项公式求得数列{an}的通项公式；再由b1=1，b1+b2+b3+…+bn=bn+1﹣1，取n=1求得b2=2，当n≥2时，得另一递推式，作差得到，整理得数列{}为常数列，由此可得{bn}的通项公式；（Ⅱ）求出，然后利用错位相减法求数列{anbn}的前n项和为Tn．【解答】解：（Ⅰ）由a1=2，an+1=2an，得．由题意知，当n=1时，b1=b2﹣1，故b2=2，当n≥2时，b1+b2+b3+…+=bn﹣1，和原递推式作差得，，整理得：，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，因此，两式作差得：，（n∈N*）．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能力，是中档题．21.(8分)对于，求证：.参考答案：证明：（1）当，左右…2分（2）假设n=k时不等式成立，即：………4分那么，当时，左=右……6分即时不等式成立综上所述由（1）（2）对一切，命题成立…8分略22.现有一个以OA、OB为半径的扇形池塘，在OA、OB上分别取点C、D，作DE∥OA、CF∥OB分别交弧AB于点E、F，且BD=AC，现用渔网沿着DE、EO、OF、FC将池塘分成如图所示的养殖区域．已知OA=1km，∠AOB=，∠EOF=θ（0＜θ＜）．（1）若区域Ⅱ的总面积为，求θ的值；（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是30万元、40万元、20万元，试问：当θ为多少时，年总收入最大？参考答案：【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）推导出OD=OC，DE⊥OB，CF⊥OA，从而Rt△ODE≌Rt△OCF，进而∠DOE=∠COF=，由此得到S区域Ⅱ=（0＜θ＜），从而能求出θ．（2）由S区域Ⅰ=，求出S区域Ⅲ=S总﹣S区域Ⅰ﹣S区域Ⅱ=cosθ．记年总收入为y万元，则y=5π+5θ+10cosθ（0＜θ＜），y'=5（1﹣2sinθ），令y'=0，则θ=．由此利用导数性质求出当θ=时，年总收入最大．【解答】解：（1）∵BD=AC，OB=OA，∴OD=OC．∵∠AOB=，DE∥OA，CF∥OB，∴DE⊥OB，CF⊥OA．又∵OE=OF，∴Rt△ODE≌Rt△OCF．∴∠DOE=∠COF=，又OC=OF?cos∠C