重积分的概念01省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

多元微积分高等院校非数学类本科数学课程第1页多元函数积分学第一节黎曼积分概念第2页空间中与分割-近似-求和-取极限相关一类数学模型第3页我们利用分割—代替—求和—取极限方法建立了一元函数定积分.处理了变力作功、液体压力、平行截面面积为已知几何体体积、非均匀分布“线段”质量、曲边梯形面积等一系列物理、力学和数学问题.下面我们系列地讨论一下相关物体非均匀分布质量问题.第4页非均匀分布时“直线段”质量问题工程中一些梁非均匀承载问题可归结为这类问题...分割：..第5页非均匀分布时“直线段”质量问题工程中一些梁非均匀承载问题可归结为这类问题...分割：..均匀分布时：质量=密度×长度第6页...............................代替：求和：对每一个小区间第7页令取极限得这就是定积分第8页令取极限得这就是定积分第9页非均匀分布时“曲线段”质量问题............................................................第10页............................................................？平面曲线非均匀分布时“曲线段”质量问题第11页..............................？平面曲线均匀分布时：质量=密度×弧长非均匀分布时“曲线段”质量问题第12页设平面曲线L上非均匀地分布着质量,其分布密度为将曲线L任意分割成n个小段每小段弧长记为则每小段上质量可近似地表示为令求和并取极限便得曲线L质量为第13页....................非均匀分布时平面薄板质量问题均匀分布时：质量=密度×面积第14页....................在直角坐标系中,用平行于坐标轴坐标网格进行分割,则非均匀分布时平面薄板质量问题第15页设平面薄板D上非均匀地分布着质量,其分布密度为将区域D任意分割成n个小块每小块面积记为则每小块上质量可近似地表示为令求和并取极限便得薄板D质量为第16页非均匀分布时“立体”质量问题均匀分布时：质量=密度×体积第17页我们已经连续处理了三个这类型问题,所用方法相同:分割—代替—求和—取极限这个问题由同学自己处理.首先依据前面做法,想一想这里应怎么做.然后看看书中,关于求立体质量一段.非均匀分布时“立体”质量问题第18页非均匀分布时“曲面”质量问题均匀分布时：质量=密度×曲面面积第19页............非均匀分布时“曲面”质量问题第20页在以上所讨论几个求质量问题中,都包括到了两个任意性,想想这与极限存在有没有关系？在以上讨论中,所作“和式”与谁相关？第21页以上讨论几个问题共同点：对自变量取值范围作任意分割.形式相同和式：(函数在某点值)×(小几何体度量值)形式相同极限：{分割后小几何体度量值}含有任意性看成均匀改变时,所求量可表示为两个量乘积.所求量对区域含有可加性.第22页黎曼积分定义设为空间中可度量几何形体,是定义在上有界函数,将任意分割为m个可度量小几何形体它们度量值记为记作和式称此和式为函数在上黎曼和。若极限存在,且与对分割方式及点选择方式无关,则称此极限第23页此时称函数在上是黎曼可积,记为值I为函数在上黎曼积分,记为其中,——积分号；——被积函数；——积分区域；——积分元素。第24页非均匀分布时“直线段”质量问题定积分第25页非均匀分布时平面薄板质量问题直角坐标系二重积分第26页非均匀分布时“立体”质量问题直角坐标系三重积分第27页非均匀分布时“曲线段”质量问题对弧长曲线积分L为封闭曲线平面曲线第28页非均匀分布时“曲线段”质量问题对弧长曲线积分

为封闭曲线空间曲线第29页非均匀分布时“曲面”质量问题对面积曲面积分∑为封闭曲面第30页一元函数图形在二维空间中画出,故定积分在几何上可解释为对应曲边梯形面积代数和.二元函数图形在三维空间中画出,那么关于二元函数二重积分也应该有几何解释.对三元及三元以上函数,已不能画出直观几何图形,所以也就不谈及其几何意义.空间中曲顶柱体体积问题二重积分几何意义与曲顶柱体体积相关.第31页对D进行分割：小曲顶柱体曲顶柱体体积第32页(底面积)(高)小曲顶柱体体积..小平顶柱体体积为：近似代替第33页曲顶柱体体积第34页比较分割后小曲顶柱体体积与平面薄板质量小曲顶柱体平面薄板小块(底)(高)(密度)(面积)(面积)(小块)第35页能不能用定积分方法来求曲顶柱体体积？第36页利用平行截面面积为已知几何体体积计算方法.第37页.曲顶柱体体积第38页.曲顶柱体体积第39页综合上述两种“曲顶柱体”体积计算方法,得到就是说,二重积分能够经过两次定积分来计算.由此想想,其它几个积分是不是也可通过定积分来计算？比如,对于曲线积分相关系式(弧微分)