第二章逻辑代数一

2024/4/171第二章逻辑代数2.1逻辑代数基本规则2.2逻辑函数的化简2.3卡诺图2024/4/1722.1逻辑代数基本规则2024/4/173逻辑函数表达式的书写及基本运算法则先做括号内的逻辑运算对某变量取非，可以不加括号，非的优先级最低例如：不必写成：在表达式中，若既有“与”运算，又有“或”运算，则按先“与”后“或”的原则，省去括号 例如：可写成：但则不能省括号2024/4/174逻辑代数的基本定律和恒等式基本定律—或(加)A+0=AA+1=1A+A=A（重叠律）A+A=1（互补律）

基本定律—与(乘)A∙0=0A

∙1=AA

∙A=A（重叠律）A

∙A=0（互补律）结合律(A+B)+C=A+(B+C)(AB)C=A(BC)交换律A+B=B+AAB=BA分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)

基本定律——非A=A（还原律）乘法分配率加法分配率2024/4/175逻辑代数的基本定律和恒等式反演律（摩根定律）吸收率A+AB=A

A(A+B)=A(A+B)(A+C)=A+BC其它常用恒等式（吸收）（两乘积项相加时，若一项取反后是另一项的因子，则此因子多余，可消去）（若两个乘积项中分别包含了A、A两个因子，而这两项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项可消去）逻辑代数无移项规则等初等代数运算规则！（逆转加法分配率）

2024/4/176逻辑代数基本定律和恒等式的证明真值表法例：摩根定律的证明2024/4/177A+B+C=AB+C=ABCABC=（A+B）C=A+B+C多项式摩根定律的证明依此类推，可以证明摩根定律对于任意项都成立2024/4/178用其它更基本的定律证明吸收率：A+AB=A(1+B)=A·1＝AA+AB=(A+A)(A+B)←加法分配率A+BC=(A+B)(A+C) =A+B逻辑代数基本定律和恒等式的证明

-恒等式：2024/4/179逻辑代数的基本规则代入规则反演规则对偶规则2024/4/1710代入规则在任何一个逻辑等式中，如果将等式两边出现的某变量都用一个函数代替，则等式依然成立多变量摩根定律的证明：2024/4/1711反演规则观察摩根定律将逻辑函数L中:与换成或，或换成与；再将原变量变换为非变量；并将1换成0，0换成1；那么所得的逻辑函数式就是非函数L——用于求函数的反函数2024/4/1712反演规则须注意两点：

保持原来的运算顺序，即仍需遵守原式“先括号、然后与（乘）、最后或（加）的运算顺序。对于反变量以外的非号应保留不变，即不属于单个变量上的非符号应保留不变。例：求L的非函数2024/4/1713反演规则例求L=A+BC+D+E的非函数L保持运算顺序不属于任何单独变量的非运算2024/4/1714反演规则摩根定律=反演规则2024/4/1715对偶规则把L中的与换成或，或换成与；1换成0，0换成1。那么就得到L的对偶式L’当某个逻辑恒等式成立时，则其对偶式也成立

2024/4/1716对偶规则证明对偶规则设F，G为两个逻辑函数，并有F=G对等式F=G两边分别求反，我们有：根据反演规则，在和中，原函数中的原变量已改为反变量，反变量改为了原变量；同时“与”换成了“或”，“或”换成了“与”，1换成了0，0换成了1。（对偶与反演的区别在于变量是否取反）利用代入规则：对，中的新变量再以它们的反变量代入（实际上恢复原F，G中的变量），则变成F’，变成G’，既然，则也有F’=G’对偶规则=反演规则+带入规则2024/4/1717对偶规则证明举例2024/4/17182.2逻辑函数化简2024/4/1719why逻辑函数变换同或门（gate）电路：2024/4/1720由以上例子可知，对于一个特定的逻辑问题，其真值表应该是唯一的，但逻辑表达式可以有多种形式，实现其功能的电路也是多种多样若两个逻辑函数相等，F=G。则它们应有相同的真值表；反过来，若F和G的真值表相同，则必有F=G相等的意义下，逻辑表达式和实现电路可以是多种多样，但逻辑功能完全相同。2024/4/1721逻辑函数的变换例：某实验室用两个灯显示三台设备的故障情况，当一台设备有故障时黄灯亮；当两台设备同时有故障时红灯亮；当三台设备同时有故障时黄、红两灯都亮。设备有故障为逻辑1，无故障为逻辑0；灯亮为逻辑1，灯灭为逻辑0。设计该逻辑电路，限用下列器件：2个异或门和3个两输入与非门一个特定的逻辑问题实现的电路是多样的，可以通过函数表达式的变换找到一个去除冗余的逻辑；或者满足只使用特定功能的器件来实现某种逻辑的需求。2024/4/1722逻辑函数的变换74867400L1=黄灯

L2=红灯2024/4/1723逻辑函数的代数法化简逻辑函数的表达式不是唯一的，可以有多种形式，并且能互相转换逻辑表达式越简单，逻辑关系越明显，也就可以用越少的电子器件例：需要两个非门，两个与门和一个三输入或门只需要一个或门2024/4/1724逻辑函数的形式与－或：L=AC+CD与非－与非：L=AC·CD或－与非：L=(A+C)·(C+D)或非－或：L=A+C+C+D或－与：L=(A+C)(C+D)与非－与：L=A·C·C·D或非－或非：L=(A+C)+(C+D)与－或非：L=AC+CD2024/4/1725逻辑函数的形式逻辑代数的基本公式和常用公式多以与-或形式给出，因此化简成与-或函数比较方便

与-或表达式易于从真值表中直接写出

“最简”与-或表达式：与项（乘积项）的个数最少每个乘积项中变量的个数最少最简与-或表达式可以方便变换为与非-与非等其它表达式有了最简与-或表达式后，通过公式变换可得其它形式。但将与-或变为其它形式时，不一定是最简。2024/4/1726逻辑函数的化简代数法化简运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简并项法吸收法消去法（消因子法）消项法配项法卡诺图化简2024/4/1727代数法化简逻辑函数—并项法并项法：利用A+A=1例：2024/4/1728代数法化简逻辑函数—吸收法吸收法：利用吸收率A+AB=A例：2024/4/1729代数法化简逻辑函数—消去法消去法：利用吸收率之例：2024/4/1730消项法：利用恒等式AB+AC+BC=AB+AC例：代数法化简逻辑函数—消项法配项法：利用A+A=A和A+A=1例：L=AB+AB+BC+BC=AB+AB(C+C)+BC+(A+A)BC=AB+ABC+ABC+BC+ABC+ABC=AB+BC+ACL=ABC