量子力学4课件

第三章一维定态问题现在从最简单的问题来应用所得的原理和方程：一维，不显含时间的位势,如则三维问题可化为一维问题处理。所以一维问题是解决三维问题的基础。§3.1一维定态的一般性质定理1：若是定态Schrodinger方程的解，则也是该方程的解(且能量相同)。注意利用V(x)的实数性质简并度（degeneracy）：一个力学量的某个测量值，可在n个独立的（线性无关的）波函数中测得，则称这一测量值是具有n重简并度。按定理1，对应能量的某个本征值E，薛定谔方程的解无简并（只有一个独立的解），则可取为实数解假设：是能量为E的一个解，则也是能量的一个解，如果没有简并，两者描述的是同一量子态令如果简并对情况下，如何处理？定理2：对应于能量的某个本征值E，总可以找到

Schrodinger方程的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表成这一组实解到线性叠加，这一组实解是完备的。证明：是Schrodinger方程的解，也是Schrodinger方程的解，同属于E，则

和也是Schrodinger方程的解，同属于E，彼此独立，而且是实的定理3：设势能函数是关于原点对称的，即它满足，那么若是该方程的解，则也是该方程的解(且能量相同)。

自己证明，可参见书P52一维束缚态的一般性质：定义：如果对一个给定的能量，只有一个线性独立的波函数存在，则称该能级是非简并的，否则称它是简并的，其线性独立的波函数的个数称为它的简并度。一维定态的分类：束缚态与非束缚态假设在时有确定的极限，记为如果或或二者兼有那么在或或二者兼有时从而粒子可以在无穷远处出现，这种状态称为非束缚态，或称散射态。散射态:束缚态:束缚态和非束缚态有重要的区别。定理6：若和都是方程的解(能量相同)，则(与x无关的常数)当c=0时，和线性相关，当时，和线性无关，证明：（1）（2）（1）

Ψ2－（2）

Ψ1不简并定理：一维束缚态必是非简并态。

满足则称有正的(对应+号，偶)或负的(对应-号，奇)宇称。宇称是态的重要的量子力学性质，它具有“纯量子力学”的特征，在经典力学中没有对应物。推论2(宇称定理)：如果则一维束缚态波函数必有确定的宇称。定义：如果波函数推论1：一维束缚态波函数的位相必是常数，束缚态必是非简并态补充定理：不同的分立能级的波函数是正交的（1）（2）根据具体问题列出定态薛定谔方程用薛定谔方程处理问题：根据波函数应满足的自然条件定出边界条件求出薛定谔方程的特解求出薛定谔方程的通解——即波函数根据波函数应满足的归一化条件写出定态波函数对量子力学处理的结果进行分析是实际情况的极端化和简化粒子在势阱内受力为零，势能为零。在阱内自由运动。在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力,不能到阱外。§3-2-1一维无限深方势阱a金属V(x)V=V0V=U0EV=0x极限V=0EV→∞V→∞V(x)x0aⅠⅡⅢ

无限深方势阱§3.2方位势1.一维无限深方形势阱中的粒子若是一个经典的粒子将如何运动？2.波函数求解步骤。3.波函数是如何描述粒子的状态的？4.量子化是如何得到的？5.根据计算结果说明微观粒子是如何在势阱中运动的？6.比较经典结果与量子结果。讨论以下问题：做笔记!势函数，定态薛定谔方程令得阱内：V=0V→∞V→∞V(x)x0aⅠⅡⅢ阱外：分区求通解A和B是待定常数由波函数自然条件定特解（B

0）阱外：阱内：由波函数连续性的要求，阱内的波函数在阱壁上的值也必为零。能量本征值（能级）结果说明粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。能量量子化并不是强行假设,而是波函数连续性的自然结果n为什么不取0，和负数？（B

0）能量取分立值（能级）→能量量子化最低能量(零点能)不确定关系的必然结果：量子体系有所谓的零点能。因为，假设束缚态动能为零，即速度的不确定范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大，即不被束缚。这与事实不符。由归一化条件根据波函数应满足的归一化条件写出定态波函数几率密度考虑到这是定态，振动因子几率密度：它所描写的粒子的状态称作粒子的能量本征态(energyeigenstates)称为能量本征波函数o重新理解能量量子化由波函数连续性的要求，阱内的波函数在阱壁上的值也必为零。因此阱内的波一定是一个驻波。允许的波长为:粒子的动量能量粒子被限制在势阱内，粒子在阱外的几率为零能级的量子化是由微观粒子的波动性造成的。驻波条件！----------与德波罗意解释氢原子中的电子满足轨道量子化可以类比!n=1,2,3,…（量子数）能量是量子化的，能级

存在最低能量（零点能)这是不确定关系要求的，是量子客体具有波粒二象性这种固有属性所决定的。

一维无限深势阱结论总结：a或m很大（宏观）,ΔE→0（E连续）一维无限深方势阱中运动的粒子波函数：aooa定态波函数是驻波形式。每一个能量本证态对应于德布罗意波的特定波长的驻波。几个有趣而重要的性质：1）当分立能级逐渐依序增大的时候，对应的本征态，就多一个节点（不计端点）。如基态，就是无节点，第一激发态有一个节点，以此类推，第k个激发态有k个节点；2）能量本征值En对应的能量本征函数满足正交性。3）他们组成完备的集合，在坐标表象中任何一个叠加态的波函数都可用这一组完备的本征函数展开。我们可以从上面本征函数的正交性得到上式。上述的几个性质非常重要，它们并不是一维无限深势阱特有的。例如第一条特性就是普适的，无论势能曲线的形状如何。而对于第二，三条，你所遇到的所有势场的能量本证态都具有正交完备性，但是要对其作出证明是困难的。将在以后的章节涉及。时

量子

经典玻尔对应原理a|2ψn|n很大En0比较经典结果与量子结果经典结果量子结果①粒子的速度，能量是连续取任意值的①能量是量子化的。②粒子在阱内匀速运动，或静止②粒子能量不为零，粒子无法静止。③粒子在各处几率相等③粒子出现的几率为④粒子在x1—x2之间的几率为④粒子在x1—x2之间的几率为V=0V→∞V→∞V(x)x-a/2a/2考虑一维无限深对称方势阱要求波函数在边界处连续：此时A=0此时B=0相应的本征能量为归一化后：基态：所以，无零点，即无节点，是偶函数（偶宇称态）。第一激发态：有一零点，即有一节点，是奇函数。可以证明：若V(x)=V(-x),则态函数具有确定的宇称(书上定理3）(能级无简并情况）y(x)=y(x)偶宇称eveny(x)=-y(x)奇宇称odd振荡定理：当分立能级按大小顺序排列，第n+1条能级的波函数，在其取值范围内有n个节点（不包括边界点或∞远）。一维方势阱问题，Landau与Pauli的矛盾无限深方势阱是最简单的对一类物理问题的数学近似模型。但有关它的动量波函数及其衍生问题却引起过争论，甚至导致严重误解：“量子力学的数学是错的”。I区和III区中为使S.eq成立，这两个区域中的波函数必须为零——即有边界条件，说明微观粒子即便具有波动性，也难以渗透进非常高的势垒区里。

我们把解写为波函数写成统一定形式:奇宇称→n=even、偶宇称→n=odd当n=2,4,6…..为偶数时，波函数是反对称的当n=1,3,5…..为奇数时，波函数是对称的结果表明，若用势阱（或势垒）从空间上限制微观粒子的活动，也即，将它们内禀波动性——deBroglie波局域化，则由于波自身干涉结果必定导致波频率的分立化（注意，经典物理学中所有波也均如此），但由deBroglie波的特性，频率分立化就意味着能量量子化。即使对基态n=1,粒子的动能也不为零，说明阱中粒子从不静止。若将一个粒子禁闭在a宽度的局部区域中，相应的动能便有由于边界条件的存在，总能量En(见(*)式）虽然也是阱中粒子的动能值，但却不是动能算符的任何本征值。其实，阱内任何定态都是各种动量（及动能）本征态的叠加态

另外一种做法：将波函数用复指数来表示，并近似地配上因子仅就阱内而言，可以形象但却近似地说：阱中粒子波函数是两个反向传播的deBroglie行波叠加而成的驻波，是阱中deBroglie波在边界处多次反射相干叠加的结果，类似于两端固定的一段弦振动。注意：两个行波并不严格单色，因为它们仅仅存在于有限区间[-a/2,a/2]内,基态动量波函数问题

边界条件有两种不同提法。它们对求解阱内的坐标波函数没甚么影响，Landau

等人做法是*

*朗道-量子力学,§22在全实轴上的基态波函数作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒子的动量波函数粒子动量几率分布另一方面，Pauli求解**

直接采用(***)中两个“单色波”中所含的基态的两个“动量”**泡利物理学讲义，第5卷：波动力学，第二章，§7表明阱中的动量谱是两个在全实轴上反向运动的单色deBroglie波叠加而成的驻波两种结果很不相同。究竟谁正确？或是两者都对？两者都错？这里问题的关键在于：阱内坐标波函数是定域解，边界条件的选取对求解阱内的坐标波函数没有影响。但是，动量波函数是非定域的，边界条件的选取对求解阱内的动量波函数有影响。就是说，阱内的动量波函数分布不仅取决于阱内坐标波函数的形状，而且还取决于阱外坐标波函数的形状。事实上，波函数、动量算符及S.eq方程都应当定义在整个x轴上，而不只是定义在势阱内，

正确边界条件应当是而不是§3-2-2有限对称方势阱讨论：V=0V(x)x-a/2a/2定态薛定谔方程令阱内：令阱外：其解：阱内：为对称起见可以写成：波函数及其微商在边界处连续。因为势场是有限的，由Schrodingerequation知，波函数的二阶导数处处存在，则波函数的一阶导数一般来说是连续的。（大家可以思考一下在无限深势阱中是否需要波函数微商连续）利用计算机编程计算Schrodingerequation的解。下图：电子,m=me,势阱宽度为0.5nm,势能为20ev的情形下Schrodingerequation的解。电子,m=me,势阱宽度为0.5nm,势能为20ev的情形下Schrodingerequation的解这就要求：我们可以看到只有某些特定的能量本征值下，才能满足上式边界条件。考虑波函数的有限性:由图中可以看出，只有E=1.087ev和E=4.310ev的取值，波函数在无限远处才有限。下图为有限深方阱和无限深方阱的四个本证态的比较。两者非常相似，唯一的区别就是有限方阱的波函数穿刺到了经典不允许的范围。有限方势阱能谱的特点：1）和无限方势阱的能谱品质上非常相似，