有理数及其运算教案

有理数及其运算专题【知识梳理】知识点一、正数与负数：(三个重要的定义) 1.【正数】：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。 2.【负数】：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。而负数前面的“－”号不能省略。 3.【零】：既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。★注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如－a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，－a是0，当a是负数时，－a是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。【过手训练】1.关于数“0”，以下各种说法中，错误的选项是〔〕A.0是整数B.0是偶数C.0是自然数 D.0既不是正数也不是负数2.–3.782：〔〕A.是负数，不是分数B.不是分数，是有理数C.是分数，不是有理数D.是分数，也是负数知识点二、有理数及其分类：有理数：整数与分数统称为有理数。整数包括三类：正整数、零、负整数。分数包括两类：正分数和负分数。按整数、分数的关系分类：按正数、负数、零的关系分类： 注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除和与有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。【过手训练】将以下各数填入相应的集合中。，-1，12，0，-3.01，0.62，-15，-，180，-42，-45%，π，1。整数：______________________自然数：___________________________正数：______________________负数：___________________________偶数：______________________奇数：___________________________分数：______________________非负数：___________________________非负整数：_________________非正分数：_________________________非负有理数：________________有理数：__________________________知识点三、数轴：1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。知识点四：相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。规定0的相反数是0从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，如图1，3与－3互为相反数。注意：相反数是成对出现的，不能单独存在，如+2与－2互为相反数，说明+2的相反数是－2，－2的相反数是+2，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5与－3这样的两个数不是互为相反数。【过手训练】数轴上与表示﹣2点相距3个单位的点所表示的数是________。数轴表示+3和﹣3的点离开原点的距离是________个单位，这两个点的位置分别在________点右边和左边。在有理数中最大的负整数是________,最小的正整数是________,最大的非正数是________,最小的非负数是________,最大的非负数是________.知识点五：绝对值绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，记作|a|绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即，注意：①绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；②绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质—非负性。③两个负数比拟大小，绝对值大的反而小【过手训练】1、如果，以下成立的是〔〕A．B．C．D．2、求|5－(－2)|=______3、一个数的绝对值是6，这个数是。4、绝对值小于3的整数有个。5、﹣∣﹣3∣是〔〕A.正数B.负数C.正数或0D.负数或06.绝对值最小的整数是〔〕A.0B.1C.–1D.1和-17、假设a＝,那么∣a∣＝________;假设∣a∣＝3,那么a＝________.8、﹣∣﹣∣＝______;∣﹣∣－∣﹣∣＝______;∣﹣0.77∣÷∣+∣＝_______;9、绝对值小于4的负整数有个，正整数有个，整数有个10、∣x+y+3∣=0，求∣x+y∣的值。11、 A，B是数轴上两点，A点表示﹣1，B点表示3.5，求A，B两点间的距离。12a、b、c在数轴上位置如图4-1，化简：∣a＋c∣－∣a∣＋∣﹣b∣＋∣b－1∣。图4-113、：∣a＋2∣＋∣b－3∣=0，求2a2－b＋1的值。知识点六：非负数假设数a≧0，那么称a为非负数。非负数的性质：任何非负数的和仍为非负数；如果几个非负数的和为0，那么这几个非负数均为0。【过手训练】1、假设a、b、c均为整数，且∣a－b∣3＋∣c－a∣2＝1，求∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣的值知识点七：倒数乘积为1的两个有理数互为倒数。倒数的求法：求一个数的倒数，直接可写成这个数分之一；求一个分数的倒数，只要将分子、分母颠倒即可；求一个带分数的倒数，应先将带分数化成假分数，再将分子、分母颠倒；求一个小数的倒数，应先将小数化成分数，然后再求倒数。只有零没有倒数，其他任何有理数都有倒数。正数的倒数为正数，负数的倒数为负数。【过手训练】的相反数的倒数是的倒数是_________．知识点八、有理数大小的比拟：1.利用数轴比拟大小：数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。于是：正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数。2任意有理数大小的比拟法那么：正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。比拟两个负数大小的步骤是：首先分别求出两个负数的绝对值；再比拟两个绝对值的大小；最后根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确判断。【过手训练】用“＞”或“＜”号填空：1〕3.5____0;2)﹣2.8____0;3)﹣1.95____1.59;4)____;5)____﹣0.3;6)﹣0.67____;7)____;8)﹣π____﹣3.14;9)﹣1.6____﹣1.6;10)﹣()____﹣(﹣∣∣).知识点九、根本运算1、有理数的加法①有理数的加法法那么：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；②绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；③互为相反的两个数相加得0；④一个数同0相加，仍得这个数.有理数加法的运算律：加法的交换律：a+b=b+a；加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c)用加法的运算律进行简便运算的根本思路是：先把互为相反数的数相加；把同分母的分数先相加；把符号相同的数先相加；把相加得整数的数先相加.2、有理数的减法①有理数的减法法那么：减去一个数，等于加上这个数的相反数。②有理数加减混合运算步骤：先把减法变成加法，再按有理数加法法那么进行运算；③有理数减法常见的错误：顾此失彼，没有顾到结果的符号；仍用小学计算的习惯，不把减法变加法；只改变运算符号，不改变减数的符号，没有把减数变成相反数.3、有理数的乘法①有理数乘法的法那么：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0.几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正。②有理数乘法的运算律：交换律：ab=ba；结合律：(ab)c=a(bc)；分配律：a(b+c)=ab+ac.③倒数的定义：乘积是1的两个有理数互为倒数，即ab=1，那么a和b互为倒数；倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来.4、有理数的除法◆有理数的除法法那么：除以一个数，等于乘上这个数的倒数。〔0不能做除数〕〔这个法那么可以把除法转化为乘法〕◆除法法那么也可以看成是：两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都等于0.【过手训练】计算：1〕﹣－＋－〔〕；2〕1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100；﹣〔﹣8〕－∣﹣6∣－∣+8∣－〔+7〕；4〕。∣x∣=8，∣y∣=6，求x＋y的值；假设∣x∣=3，∣y∣=5，且∣x－y∣=y－x，再求x＋y的值；知识点十、有理数的乘方乘方的定义：求几个相同因数a的运算叫做乘方。乘方的结果叫做幂。乘方是一种运算，是几个相同的因数的特殊乘法运算，记做“”读作a的n次方，也可读作a的n次幂。其中a叫做底数，n叫做指数，它所表示的意义是n个a相乘乘方的计算法那么：根据乘方的意义转化为乘法，再根据乘法法那么进行计算；根据乘方的性质，先判断幂的符号，再计算幂的绝对值；正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数。【过手训练】计算：1〕〔〕×；2〕×÷〔〕；3〕〔〕÷；4〕÷〔〕；5〕×〔－5〕；6〕÷〔－5〕；当a=；b=-1；c=时，求代数式的值。1.计算：〔-5〕3；-53；；；〔-1〕2001；3。2.假设∣x＋1∣＋〔2x－y＋4〕2=0，求代数式x5y＋xy5的值。3.∣x1－1∣＋〔x2－2〕2＋∣x3－3∣3＋〔x4－2〕4＋…＋∣x1999－1999∣1999＋〔x2000－2000〕2000＝0，求的值。知识点十一、有理数运算律加法的交换律a+b=b+a；加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；存在数0，使0+a=a+0=a；对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；乘法的交换律ab=ba；乘法的结合律a(bc)=(ab)c；分配律a(b+c)=ab+ac；存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a；对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。0a＝0文字解释：一个数乘0还于0。知识点十二、有理数的运算顺序◆先乘方、开方，后乘除，最后加减；◆有括号时，先算括号里面的；◆同级运算按从左至右的顺序进行，同时注意运算律的灵活应用。进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力。(说明：加减是一级运算，乘除是二级运算，乘方、开方是三级运算。)【过手训练】计算：1.–32－∣〔-5〕3∣×-18÷∣-〔-3〕2∣；2.-3－×－6÷∣∣3；3.〔-1〕5×[÷〔-4〕＋×〔-0.4〕]÷；4.假设x=-1，y=-2，z=1时，求的值。5.a的相反数是，b的倒数是，求代数式的值。6.n是正整数，a－2b=-1，求的值。〔1〕3；〔2〕(3)〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕如果，求的值．【课后稳固】有理数单元检测001有理数及其运算〔综合〕〔测试5〕一、境空题〔每空2分，共28分〕1、的倒数是____；的相反数是____.2、比–3小9的数是____；最小的正整数是____.3、计算：4、在数轴上，点A所表示的数为2，那么到点A的距离等于3个单位长度的点所表示的数是5、两个有理数的和为5，其中一个加数是–7，那么另一个加数是____.6、某旅游景点11月5日的最低气温为，最高气温为8℃，那么该景点这天的温差是____.C7、计算：8、平方得的数是____；立方得–64的数是____.9、用计算器计算：10、观察下面一列数的规律并填空：0，3，8，15，24，_______.二、选择题〔每题3分，共24分〕11、–5的绝对值是………〔〕A、5B、–5C、D、12、在–2，+3.5，0，，–0.7，11中．负分数有……〔〕A、l个B、2个C、3个D、4个13、以下算式中，积为负数的是………………〔〕A、B、C、D、14、以下各组数中，相等的是…………………〔〕A、–1与〔–4〕+〔–3〕B、与–〔–3〕C、与D、与–1615、小明近期几次数学测试成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分．那么小明第四次测验的成绩是…………〔〕A、90分B、75分C、91分D、81分16、l米长的小棒，第1次截止一半，第2次截去剩下的一半，如此下去，第6次后剩下的小棒长为…………………〔〕A、B、C、D、17、不超过的最大整数是………………