第讲阶跃函数和阶跃响应

第15讲阶跃函数和阶跃响应一单位阶跃函数（开关函数）1.定义t

(t)012.单位阶跃函数的延迟t

(t-t0)t0013.用途：由单位阶跃函数可组成复杂的信号例11t0tf(t)0例21t1

f(t)0例30f(t)t1-1123例40123t21f(t)tf(t)0A?例5：用单位阶跃函数截取任意信号例6：用单位阶跃函数描述直流电源单位阶跃函数可以用来描述1V或1A的直流电源在t=0时接入电路的情况。iC+–uCRuC(0-)=0电路对于单位阶跃函数输入的零状态响应，用g(t)表示。

tuc1t0i二.单位阶跃响应由三要素法易得：例+-u(t)1

5

5HiL已知:u(t)如图示,iL(0)=0求:iL(t),并画波形.法一0<

t

1iL(0+)=0

t<0iL(t)=0iL()=1AiL(t)=1-e-t/6A

=5/

(1//5)=6su(t)12120t(s)V+-1

5

5HiL1V0<

t<11<

t

2iL(1+)=iL(1-)=1-e-1/6=0.154AiL()=0iL(t)=2+[0.154-2]e-(t-

1

)/6=2-1.846e-(t-

1

)/6A

t>2iL(2+)=iL(2-)=2-1.846e-(2

-

1

)/6=0.437AiL()=2AiL(t)=0.437e-(t-

2

)/6AiL(t)=0

t<01-e-t/6A0<t

12-1.846e-(t-

1

)/6A1<t

20.437e-(t-

2

)/6At>2iL(t)=1-e-t/6A0<

t

11

5

5HiL

t

>2+-1

5

5HiL2V1<

t

2

=6s

=6s

u(t)=

(t)+

(t-1)-2

(t-2)u(t)12120t(s)

(t)(1-e-t/6)

(t)

(t-1)(1-e-(t-1)/6)

(t-1)-2

(t-2)-2(1-e-(t-2)/6)

(t-2)iL(t)=(1-e-t/6)

(t)+(1-e-(t-1)/6)

(t-1)

-2(1-e-(t-2)/6)

(t-2)00.1540.43712t(s)iL(t)A法二当电路的激励为单位阶跃

(t)时，相当于将电路在t=0时接通电压值为1v或1A的直流源。因此单位阶跃响应与直流激励的响应相同，求解方法与前面的零状态响应相同，只要令输入为

(t)即可。反过来，已知了单位阶跃响应，就能求得任意直流激励下的零状态响应，只要把阶跃响应乘以该直流激励的量值。结论：三.任意激励作用下电路的零状态响应1、线性电路的线性性质对于线性电路而言，如果激励f1(t)作用于电路产生的零状态响应为yf1(t)，激励f2(t)作用于电路产生的零状态响应为yf2(t)，设a1、a2为常数，则a1f1(t)+a2f2(t)共同作用于电路产生的零状态响应应等于a1倍的yf1(t)与a2倍的yf2(t)之和。齐次定理叠加定理2、时不变电路的延时不变性对于时不变电路而言，其元件参数不随时间变化，因而电路的零状态响应与激励接入电路的时间无关。也就是说，若激励延迟了t0，时间接入，那么其零状态响应也延迟t0时间，且波形保持不变。时不变电路的延时不变性例1

如图（a）所示电路，其激励iS的波形如图(b)所示，若以iL

为输出，求其零状态响应。（a）（b）解：激励iS可表示为

iS(t)=3ε(t)-3ε(t-2)三要素法（1）先求时的响应：（2）求iS作用下iL的零状态响应或写为：0t<0线性与延时不变性3、杜阿密尔（Duhamel）积分（叠加积分）信号的分解如果激励f(t)是t=0时接入的任意信号，即t<0时f(t)=0，那么f(t)可近似地看作是每隔Δ时间接入一个阶跃信号。例如在t=0，接入f(0)ε(t)；在t=Δ，接入［f(Δ)-f(0)］ε(t-Δ)；…；在t=kΔ，接入［f(kΔ)-f((k-1)Δ)］ε(t-kΔ)；…；即任意信号f(t)可分解为一系列阶跃函数之和，即延时不变性时间间隔取得越小，越接近f（t）。在作用下的零状态响应为：线性性质有用方法：在任意信号f(t)的作用下，电路的零状态响应可看作是一系列幅度和延时都不同的阶跃响应之和。当Δ趋于无限小时令为dξ、kΔ变成了连续变量ξ，而由于当t-ξ<0，即ξ>t时，g(t-ξ)=0，故上式的积分上限可改写为t，于是得任意激励f(t)(在t<0时，f(t)=0)时，电路的零状态响应为——杜阿密尔积分(叠加积分)，适用于f(t)为解析表示式时计算电路的零状态响应。例2

如图（a）所示电路中R=1Ω，C=1F，输入

uS(t)=2tε(t)=如图(b)所示，求电容电压uc(t)的零状态响应。

0t＜02t（V）t＞0（a）（b）解：（1）先求阶跃响应。容易求得当激励为ε(t)时，uc(∞)=1，τ=RC=1s，而uc(0+)=0。