二次函数综合大题

二次函数与几何综合压轴题题型归纳一基础构图：y=x2-2x-3（以下几种分类的函数解析式就是这个）★和最小，差最大在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标★求面积最大连接AC,在第四象限找一点P，使得AACP面积最大，求出P坐标★讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点P，使得AACP为直角三角形，求出P坐标或者在抛物线上求点P，使^ACP是以AC为直角边的直角三角形.

★讨论等腰三角连接AC,在对称轴上找一点P,使得AACP为等腰三角形，求出P坐标★讨论平行四边形1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标综合题型例1 (中考变式)如图，抛物线y=-X2+bx+C与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。交Y轴于C⑴求该抛物线的解析式与^ABC的面积。(2)在抛物线第二象限图象上是否存在一点乂，使^MBC是以NBCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。若没有，请说明理由⑶若E为抛物线B、C两点间图象上的一个动点（不与A、B重合），过E作EF与X轴垂直，交BC于F，设E点横坐标为x.EF的长度为L，求L关于X的函数关系式？关写出X的取值范围？当E点运动到什么位置时，线段EF的值最大，并求此时E点的坐标?（4）在（5）的情况下直线BC与抛物线的对称轴交于点H。当E点运动到什么位置时，以点E、F、H、D为顶点的四边形为平行四边形？⑸在（5）的情况下点E运动到什么位置时，使三角形BCE的面积最大?例2考点：关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点小C的坐标分别为(—1,0)、(0,—百)，点B在x轴上.已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x=1,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点(点P与B、C不重合)，过点P作y轴的平行线交BC于点F.(1)求该二次函数的解析式；(2)若设点P的横坐标为m,试用含m的代数式表示线段PF的长；(3)求4PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标.例3考点：讨论等腰如图，已知抛物线y=2x2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0，-1).(1)求抛物线的解析式；(2)点E是线段AC上一动点，过点E作DE±x轴于点D，连结。^当^DCE的面积最大时，求点D的坐标；(3)在直线BC上是否存在一点2使4ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.yyyy例4考点：讨论直角三角⑴如图，已知点A（一1,0）和点B（⑴如图，已知点A（一1,0）和点B（1,2）,在坐标轴上确定点P,使得4ABP为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）.(A)2个（B）4个（C）（D）7个⑵已知:如图一次函数y=2x+1的图象与x轴交于点4与y轴交于点B；二次函数y=⑵已知:1x2+bx+c的图象与一次函数y=1x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且2 2D点坐标为（1,0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P,若不存在，请说明理由.例5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于x的抛物线y=ax2+x+c(aW0)与x轴交于点A(—2,0),点B(6,0)，与y轴交于点C(1)求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；(2)在抛物线上有一点D，使四边形ABDC为等腰梯形，写出点D的坐标，并求出直线AD的解析式；(3)在(2)中的直线AD交抛物线的对称轴于点M,抛物线上有一动点P,x轴上有一动点Q.是否存在以A、M、P、Q为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点Q的坐标;如果不存在，请说明理由.yy综合练习:口平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax+4a+c与x轴交于点小点B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为(1,0)，OB=OC,抛物线的顶点为D。(1)求此抛物线的解析式；(2)若此抛物线的对称轴上的点P满足NAPB=NACB，求点P的坐标；(3)Q为线段BD上一点，点A关于NAQB的平分线的对称点为A,若QA-QB=五，求点Q的坐标和此时^QAA'的面积。2、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=ax2+2ax+c的图像与y轴交于点C0，3),与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(-3，0)。(1)求二次函数的解析式及顶点D的坐标；(2)点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1：2的两部分，求出此时点M的坐标；(3)点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时^CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。3、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=—X2-2x与x轴负半轴交于点A，顶点m为6,且对称轴与X轴交于点C。（1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）；（2）D为OB中点，直线AD交y轴于E，若E（0，2），求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AAMC的周长最小，P在抛物线上,Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。4、已知关于1的方程（1一m）x2+（4一m）x+3=0。（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围;（2）若正整数m满足8-2m>2，设二次函数y=（1-m）x2+（4一m）x+3的图象与x轴交于A、B两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象；请你结合这个新的图象回答：当直线y=kx+3与此图象恰好有三个公共点时，求出k的值（只需要求出两个满足题意的k值即可）。寺■8b-4-20—25如图，抛物线y=ax2+2ax+c(aN0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A(-4,0)和B.(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEIIAC,交TOC\o"1-5"\h\zBC于点E,连接CQ.当△CEQ的面积最大时，求点Q 『的坐标；(3)平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P,与直 //\线AC交于点F,点D的坐标为(-2,0).问是否有直 [/X线1,使4ODF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐 / /\标；若不存在，请说明理由. \ ：~p.—DQ0 ;三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与X轴的两个交点分别位于某定点的两侧例1.已知二次函数y=x2+(m—1)x+m—2的图象与X轴相交于A(X1,0),B(x2,0)两点，且xi<((1)若X1X2V0,且m为正整数，求该二次函数的表达式；(2)若x；41,x2>1,求m的取值范围；(3)是否存在实数皿，使得过A、B两点的圆与y轴相切于点C(0,2),若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；(4)若过点D(0,^)的直线与(1)中的二次函数图象相交于M、N两点，且-MD=y,求该直线的表达式.题型二、抛物线与X轴两交点之间的距离问题例2已知二次函数y=x2+mx+m-5,(1)求证：不论m取何值时，抛物线总与x轴有两个交点；(2)求当m取何值时，抛物线与x轴两交点之间的距离最短.题型三、抛物线方程的整数解问题例1. 已知抛物线y=x2-2(m+1)x+m2=0与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m<5,则整数m的值为例2.已知二次函数y=x2—2mx+4m~8.(1)当xW2时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围；(2)以抛物线y=x2—2mx+4m—8的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正AAMN(M,N两点在抛物线上)，请问：4AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；(3)若抛物线y=x2—2mx+4m—8与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值.・・yy题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例1.已知抛物线y=%2+bx+c（其中b>0，cW0）与y轴的交点为4点A关于抛物线对称轴的对称点为B（m4，且AB=2.（1）求m,b的值⑵如果抛物线的顶点位于x轴的下方，且BO=220。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用(线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等)TOC\o"1-5"\h\z例1.已知：二次函数y=x2—4x+m的图象与x轴交于不同的两点A(x，0)、B(x，1 20)(x<x)，其顶点是点C,对称轴与x轴的交于点D.1 2(1)求实数m的取值范围；(2)如果(x+1)(x+1)=8,求二次函数的解析式；1 2(3)把(2)中所得的二次函数的图象沿y轴上下平移，如果平移后的函数图象与x轴交于点A、B，顶点为点^，且^ABC是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式.11 111综合提升.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点，与y轴交于点c(0,4),且|AB|=2\：'3图象的对称轴为x=L(1)求二次函数的表达式；(2)若二次函数的图象都在直线y=x+m的下方，求m的取值范围..已知二次函数y=-x2+mx—m+2.(1)若该二次函数图象与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB=\；5求m的值；(2)设该二次函数图象与y轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N且S*c=27,求m的值•.已知关于x的一元二次方程x2—2(k+1)x+k2=0有两个整数根，k<5且k为整数.(1)求k的值；(2)当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x2—2(k+1)x+k2的图象沿x轴向左平移4个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；(3)根据直线丫=乂+匕与(2)中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围..已知二次函数的图象经过点A(1,0)和点B(2,1),且与y轴交点的纵坐标为m.(1)若m为定值，求此二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；(3)若二次函数的图象截直线y=—x+1所得线段的长为2\/2,求m的值.四、中考二次函数定值问题.如图，已知二次函数Ljy=x2-4x+3与x轴交于A.B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C.(1)写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)研究二次函数L2：y=kx2-4kx+3k(kW0).①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②