导数研究函数零点问题_第1页
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PAGEPAGE5利用导数研究方程的根函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；1、已知函数.(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点.【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=..过点(1,0)的切线方程为:y=x+1(Ⅱ)证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下.因此,所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕)2、已知函数(,为自然对数的底数).(1)求函数的极值;(2)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.(1),①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.②当时,令,得,.,;,.所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.综上,当时,函数无极小值;当,在处取得极小值,无极大值.(2)当时,.直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程: (*)在上没有实数解.①当时,方程(*)可化为,在上没有实数解.②当时,方程(*)化为.令,则有.令,得,当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为.所以当时,方程(*)无实数解,解得的取值范围是.综上,得的最大值为.3、已知函数，，且在区间上为增函数．求实数的取值范围；若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．解：（1）由题意∵在区间上为增函数，所以切线方程为：． 将点代人上述方程，整理得：． ∵经过点可作曲线的三条切线，∴方程有三

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