导数应用：含参函数的单调性讨论教师版

PAGEPAGE5导数应用：含参函数的单调性讨论教师版一、思想方法：讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论。二、典例讲解例1讨论的单调性，求其单调区间解：的定义域为(它与同号)I）当时，恒成立，此时在和都是单调增函数，即的增区间是和;II)当时此时在和都是单调增函数，在和都是单调减函数，即的增区间为和;的减区间为和.步骤小结：1、先求函数的定义域，2、求导函数（化为乘除分解式，便于讨论正负），3、先讨论只有一种单调区间的（导函数同号的）情况，4、再讨论有增有减的情况（导函数有正有负，以其零点分界），5、注意函数的断点，不连续的同类单调区间不要合并。

变式练习1:讨论的单调性，求其单调区间解：的定义域为(它与同号)I）当时，恒成立，此时在为单调增函数，即的增区间为，不存在减区间;II)当时;此时在为单调增函数，在是单调减函数，即的增区间为;的减区间为.例2．讨论的单调性解：的定义域为(它与同号)当时，恒成立（此时没有意义）此时在为单调增函数，即的增区间为当时，恒成立，（此时不在定义域内，没有意义）此时在为单调增函数，即的增区间为当时,令于是，当x变化时，的变化情况如下表：(结合g(x)图象定号)x0增↗减↘所以，此时在为单调增函数，在是单调减函数，即的增区间为;的减区间为.小结：导函数正负的相应区间也可以由导函数零点来分界，但要注意其定义域和连续性。即先求出的零点，再其分区间然后定在相应区间内的符号。一般先讨论无解情况，再讨论解过程产生增根的情况（即解方程变形中诸如平方、去分母、去对数符号等把自变量x范围扩大而出现有根，但根实际上不在定义域内的），即根据零点个数从少到多，相应原函数单调区间个数从少到多讨论，最后区间（最好结合导函数的图象）确定相应单调性。1.已知函数，求的单调区间.解：2.已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，讨论函数的单调性,求出其单调区间。解：的定义域为.(1)(2)①若即时，>0,故在单调递增.②若0<,即时，由得，；由得，故在单调递减，在单调递增.③若,即时，由得，；由得，故在单调递减，在单调递增.综上所述，当，单调增区为,减区间是;当时，的减区间是，增区间是；当时，在定义域上递增，单调增区为（不存在减区间）;当时，的减区间是，在增区间是.15．已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·[f′(x)＋eq\f(m,2)]在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．解(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq\f(a1－x,x)，当a>0时，f(x)的增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)；当a<0时，f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(0,1)；当a＝0时，f(x)不是单调函数．(2)由(1)及题意得f′(2)＝－eq\f(a,2)＝1，即a＝－2，∴f(x)＝－2lnx＋2x－3，f′(x)＝eq\f(2x－2,x).∴g(x)＝x3＋(eq\f(m,2)＋2)x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，即g′(x)＝0在区间(t,3)上有变号零点．由于g′(0)＝－2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g′t<0，,g′3>0.))当g′(t)<0，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1,2]恒成立，由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，即