导数在研究函数中的应用

知识点：函数的单调性导数的符号与函数的单调性：一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，①若，则在这个区间上为增函数；②若，则在这个区间上为减函数；③若恒有，则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有恒成立（但不恒等于0）．注意：1、例如：而f(x)在R上递增.2．只有在某区间内恒有，这个函数在这个区间上才为常数函数.3．注意导函数图象与原函数图象间关系.（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：1.确定函数的定义域；2.求导数；3.在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.或者令，求出它在定义域内的一切实数根。把这些实数根和函数的间断点（即的无定义点）的横坐标按从小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义区间分成若干个小区间，判断在各个小区间内的符号。4.写出的单调区间.二、函数的极值（一）函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.极大值与极小值统称极值.

在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.

（二）求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)

注意：可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点.即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件.例如函数y=x3，在x=0处，，但x=0不是函数的极值点.可导函数在点取得极值的充要条件是且在两侧，的符号相异。三、函数的最值（一）函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.注意：函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。（二）求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者2.函数有极值的充要条件是（）A．B.＞0C.＜0D.3、已知函数，正实数，若实数是函数的一个零点，那么下列四个判断：①；②；③；④；其中可能成立的个数为（）A.1B.2C.3D.44、若函数（）A.最大值为4，最小值为-4；B.最大值为4，无最小值；C.最小值为-4，无最大值；D.既无最大值，也无最小值。5、若函数在R上为减函数，则的取值范围6、若函数在R上为增函数，则的取值范围7、函数(1)若在点处的切线斜率为，求实数的值；(2)若在处取得极值，求函数的单调区间。8、设函数，已知和为的极值点.（1）求和的值；（2）讨论的单调性；（3）设，试比较与的大小。课后作业：1、函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是()(A)1，-1(B)1,17(C)3，-17(D)9，-192、设是函数f(x)的导函数，的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是()3．设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数的图象可能是()4．函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是___________。5．函数y=1+3x-x3的极大值是_______，极小值是________。6．函数f(x)=12x-x3在区间[-3,3]上的最小值是_____。7．函数f(x)=ln(1+x)-x的最大值为________。8．函数y=x+2cosx在区间上的最大值是________。9．设函数f(x)=ln(2x+3)+x2；(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)求f