导数中恒成立问题(最值问题)

II）求证：当时，恒有．解（Ⅰ）∵，∴，∴，∴，令，得，易知在上单调递减，在单调递增∴在处取得极小值，即的最小值为．，∵，∴，又，∴．证明（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值是正数，∴对一切，恒有，从而当时，恒有，故在上是增函数．∴当时，，∴，即，∴故当时，恒有．点评：此题又是有那么一点点特殊，当我们难以处理导函数的正负情况时，我们或许可以想想是什么导致了我们难以处理，是否可以通过判断的正负来确定导函数的正负，但是本题由于题目一步步的提示你怎么做，所以就缺少了应有的美感12.，对，恒成立，求的取值范围解答：化简易得点评：分离变量时不一定要分离成单个变量，要知道整体分离也是一样的，不能太死板当然此题也可以转变成二次函数带参数在已知定义域上的最值讨论13.，，若恒成立，求的范围解答：法一：易知这题为：系数之积为正，肯定是对勾函数，系数之积为负，直接单调所以只需对的临界点进行讨论即可法二：求导，转变成二次函数根的讨论14.，，若对，总存在，使得成立，求正整数的最小值解答：分析题目易知值域为值域的子集，转变成求的最值15.函数，不等式在上有解，求实数的取值范围。解析：，即，点评：此题需要使用观察法，容易发现是零点，然后讨论单调性类题：（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知函数求函数在点处的切线方程；求函数单调区间；若存在，使得是自然对数的底数），求实数的取值范围.解答：容易发现是零点，然后对范围，范围讨论点评：通过这两题我们发现，有时候难以处理导函数的正负情况时，我们需要使用观察法去寻找它的零点，从而进行讨论，看是否能确定单调性（零点通常是）等等16.已知函数，讨论函数的单调性；解析：由已知得＞0且．当是奇数时，，则在上是增函数;当是偶数时，则.17.已知函数在[1，＋∞）上为增函数，且，，m∈R．（1）若在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；（2）设，若在[1，e]上至少存在一个，使成立，求的取值范围．解析：（1）．．∵在其定义域内为单调函数，∴或者在[1，＋∞）恒成立．等价于，即，而，（）max=1，∴．等价于，即在[1，＋∞）恒成立，而∈（0，1]，．综上，m的取值范围是．（2）构造，．当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个，使得成立．当时，．因为，所以，，所以在恒成立．故在上单调递增，，只要，解得．故的取值范围是．18.（2014.03苏锡常镇一调）已知函数，其中m，a均为实数．（1）求的极值；（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得成立，求的取值范围．解析：令易得所以在上单调递增，在上单调递减所以当时，有极大值，极大值为无极小值时，易证单增，单减不妨设所以有恒成立即恒成立由题易知必须有单减求导整理得在恒成立易证右边这个函数单调减所以有易知时，由题可知在上有两根时，单调不合题意时，由易得所以函数在单减，在单增画出简图如下由题要有两个跟于是我们有容易得到时，所以显然有综上所述，19.设函数,其中.(I)当时,判断函数在定义域上的单调性;(II)求函数的极值点;(III)证明对任意的正整数,不等式都成立.解：(I)函数的定义域为.，令，则在上递增，在上递减，.当时，，在上恒成立.即当时,函数在定义域上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点.（2）当时，，时，时，时，函数在上无极值点。（3）当时，解得两个不同解，.当时，，，此时在上有唯一的极小值点.当时，在都大于0，在上小于0，此时有一个极大值点和一个极小值点.综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。（III）当时，令则在上恒正，在上单调递增，当时，恒有.即当时，有，对任意正整数，取得总结：通过以上这么多例子，我们很容易发现，其实导数的本质都是要研究单调性，从而确定最值或者值域，但是单调性都是由导函数的正负情况决定的，而导函数的正负情况我们最终几乎都会转变成二次函数带