2021届江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学高三上学期联考数学试题(解析版)

第第#页共22页故选：故选：ACD.第6页共22页d.函数/=2/(e)+g(2&)的最大值为土.2【答案】ACD【分析】依据三角函数的基本概念可知X=COS0,y=sinO,根据三角函数的奇偶性和单调性可判断A、B：根据辅助角公式知/(&)+g(&)=Qsin|&+扌］,再利用三角函数求值域可判断C；对于D,r=28S&+sin2C先对函数f求导，从而可知函数/的单调性，进而可得当sin&=丄，cos&=H时，函数f取得最大值，结合正弦的二22倍角公式，代入进行运算即可得解.【详解】由题意，根据三角函数的左义可知，x=cosO.y=sinO,对于A,函数f(0)=cos0是偶函数，g(&)=sin&是奇函数，故A正确:对于B,由正弦，余弦函数的基本性质可知，函数/(<9)=cos&在(0,兀)上为减函数,函数g(O)=sin&函数g(O)=sin&在(0,彳为增函数，在(彳山］为减函数，故B错误;对于C,f(O)+g(6)=cos0+sin0=>j2sin0+—e[l,->/2],故C正确:4丿对于D,函数t=2f(0)+g(26)=2cos0+sin2^,求导r=-2sin0+2cos23=-2sin&+2(1—2sin20)=-2(2sin0一l)(sin&+1),令>0,则一lvsin&v*：令厂<0,则i<sin0<\.■■0上和■■0上和■■5兀小——，2兀一6」.6.函数/在上单调递增，在石‘-了)上单调递减,当0吩即讪弓品耳时,函数取得极大值“季+订芈芈,又当0=2冗即sin&=0,cos&=1时,r=2xi+2x0xi=2,所以函数/=2_/(&)+g(2&)取得最大值耍，故D正确.【点睛】方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法:将函数化简整理为f(x)=Asin(cox+(p),再利用三角函数性质求值域：利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值.已知点A(-1,O),5(1,0),若圆(X—2“+l)2+(y—2°-2)2=1上存在点旳满足莎丽=3,则实数a的值为()A.-2 B.-1 C.2 D.0【答案】BD【分析】设点M(x,y),由平而向量数量积的坐标表示可得M的轨迹方程为x2+y2=4,结合圆与圆的位置关系即可得解.【详解】设点M(x,y),则MA=(-x-l-y)tMB=(-x+l-y),所以MAMB=(-x-l)(-x+l)+y2=3,所以M的轨迹方程为x2+y2=4,圆心为(0,0),半径为2,由此可知圆(x-2a+\y+(y-2a-2y=1与x2+/=4有公共点，又圆(x—20+1『+(〉，一加—2)'=1的圆心为(2d—1,加+2),半径为1,所以l<J(2a-1)'+(2“+2「a,解得一故选：BD.【点睹】解决本题的关键是求出点M的轨迹方程和转化问题为圆与圆的位置关系，细心计算即可得解.已知函数/(A)=X2-4x+(nr-m)(ex~2+6>-x+2)有唯一零点，则川的值可能为()A.1 B.-1 C.2 D.-2【答案】BC【分析】由已知可得/(4-A-)=/(%),所以/(X)图象关于x=2对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.【详解】•・•f{x)=x2-4x+{nr-m)(ex~2+e~x+2)=(x-2)2-4+(m2-m)(ex~2+e_x+2),令t=x-2,则g(r)=F一4+(加2一加)(”+£・)定义域为r,g(~f)=(~f)2-4+(m2-m)(e~r+e')=g(f),故函数g(『)为偶函数,所以函数/'(X)的图象关于X=2对称，要使得函数/(x)有唯一零点，则/(2)=0,即4-84-2(m2-m)=0,解得m=-l或2,故选：BC.【点睛】该题考查了函数零点个数求参数的取值范围，考査了转化与化归的思想，属于较难题目.三、填空题曲线f(x)=xex+F-1在x=0处的切线方程为 .【答案】x-y-l=O【分析】先求导数，求得才(0)的值，并利用导数求得r(o)的值，利用点斜式可得岀所求切线的方程.【详解】f(x)=ex+xex+2x,/(0)=-1,根据导数的几何意义可知曲线在点(0,-1)处的切线斜率为£=广(0)=1,・••切线方程为y+l=x,即x-y-\=0.故答案为：x—y—1=0.【点睛】本题考査利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.T2T1T在四边形ABCD中，AB=6.^DA=-CA+-CB9则扁・&= •【答案】12—> TT1T【分析】由题意和平而向量的运算法则可知DC=DA+AC=^AB.再利用向量的数量积的运算求解，即可求解.【详解】根据题意，如图，T1T在AB上取一点E,使=—3

则有CE=CA+AE=CA+-AB=CA+-[CB-CA3\T2T1">又由D4=-CA+-CB.则有压=心，T T1T所以四边形AECD为平行四边形，则有DC=AE=-AB.3又由AB=6,TT 1 _> 1 —・则AB-DC=AB~AB=-AB=-x36=12：3 3 3故答案为:12.【点睛】本题关键要处理好向量的线性运算，将向量万4转化为屆表示，以便利用已知条件AB=6,进而求解.意大利画家列奥纳多•达•芬奇(1452.4?1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达•芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就Y是著名的“悬链线问题S后人给出了悬链线的函数解析式^f(x)=acosh-9其中aa为悬链线系数，剧称为双曲余弦函数，其函数表达式为品=宁，相应地双曲正弦函数的函数表达式为sin/?.v=-X2双曲正弦函数的函数表达式为sin/?.v=-X2.若直线x=iri(m<0)与双曲余弦函数G与双曲正弦函数G分别相交于点4B,曲线G在点A处的切线厶，曲线q在点B处的切线G相交于点P.且HPAB为钝角三角形，则实数m的取值范围为 【答案】(-©gin(巧一2),【分析】求导得到函数的导函数，计算切线方程得到交点坐标P仙+1,严)，计算向量

的数量积得到ZA，Z8均为锐角，ZP为钝角，故1+扌（戶—严”）<0,解得答案.r1【详解】由题可知：Am,-（etn+e^）x-x-mx—x x-x-mg(x)=coshx=^-^—,贝= ,g'(加)二——则厶：则厶：nt-m |同理厶：+〔（兀_加）+2■（严_严〃）,故P（加+1”）,22所以丽=（0,-所以丽=（0,-严'）,丽=1,丄（严<2于是ABAP=|(e_2nr-l),BA•BP=-(e~2m+\),PAPB=]+丄(e2m-e~2,n),22因为m<0.所以丽・AP>O,BA•丽〉0，所以ZA,ZB均为锐角,从而ZP为钝角.由1+l^e2m-e~2m）<0得：elm<y[5-2,得加v*山（岳一2故实数加的取值范围为卜”,*ln（G—2）故答案为：（-09,110（5/5-2）j.【点睛】本题考査了根据三角形形状求参数，属于较难题.方法点睹：当三角形中ZA为钝角时，转化为ABAC<0：当三角形中ZA为直角时，转化为觞•花=0：当三角形中ZA为锐角时，转化为而•疋>0；四、双空题如图，已知点M,N分别为平行六面体ABCD-ABCD的棱BE，BC的中点,设AAMN的面积为S,平面AMN截平行六面体ABCD-AQCQ所得截面面积为S,五棱锥A-BMNQC的体积为％,平行六面体ABCD—MCQ的体积为匕则4—,芋—2)1 G2)1 G【答案】— —24 3【分析】第一空可由点A到平面BA/NGC的距离等于平而ADD.A,到平jfijBCC.B,的距离，然后用锥体和柱体的体积公式计算即可，第二空则需运用而而平行的性质左理补全截而，然后用而积公式处理.【详解】【详解】因为点A到平而BMNC\C的距离等于平而ADD^到平而BCC且的距离，所以设该因为平而BCC&]//平面ADD/】,所以平而AMN与平面BCC/]和平面ADD^的交线相互平行,又因为平而AMNc平而BCC、B严MN,且MN分别为各自所在棱的中点，所以平而AMNc平面ADD^=AD{,所以平而AMN截平行六而体所得截而为梯形AMN»

设梯形AMND、的髙为儿TOC\o"1-5"\h\zc -\MN\h -\MN\h |所以―呗=—21—1 = 21—1 =1S »啊*(切田呵)力*(|MN|+2|MV”3故答案为：—:—・24 3解答题17.cosB17.cosB+1VJsinA②2Z?sinA=“tanB,③(n-c)sinA+csin(A+B)=bsinB这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是心b,c,满足 （1） 求角扯（2） 若d+c=2/?,且AABC外接圆的直径为2,求AABC的面积.【答案】选择见解析；（I）B=7；（2）座.3 4【分析】（1）选①结合正弦圧理求解即可：选②由同角三角函数的基本关系和正弦左理化简即可：选③由正弦龙理和余弦定理求解即可：⑵利用余弦泄理求出心=3,再用三角形而积公式5=L/csin3求解即可.2、，— ， … ，sinBcos3+l【详解】（1）选①，由正弦泄理得一==氏・「sinA>/3sinA•.•sinAHO,V?sinB-cosB=l，即叫〃一中卜gc门 兀□冗5龙 “托兀，兀0<B<龙，<B——<——,B——=—,:・B=—:6 6 6 6 36/sio^^选②，•••2bsinA=atanB,2bsinA=,cosn由正弦定理可得2sinBsinA=sinA•竺_,cosB•/sinA0>cosB=—,*.sBe(0,^)t/.B=—2 3选③，*.•sin(A+B)=sin(/r—C)=sinC,由已知结合正弦泄理可得（a^c）a+c2=b\

2 2订 pcr+L-b-ac1..a~+c—b~=ac»..cosd= = =—,laclac23(2)设△ABC的外接圆半径为/?,则R=l,b=2RsinB=不,由余弦泄理得b~=a~4-c2-2accos彳=(a+c)2-3ac，即3=12-3ac,所以ac=3,所以aAEC的而枳为：S=—acsinB= .2 4【点睛】关键点点睹：在正余弦左理和三角形而积的计算中，不需要讣算4C具体的值,只需要计算皿即可，可以简化计算，快速得到答案.已知O为坐标原点，Q4=(2sin・,l),OB=(l,-2>/Jsinxcosx+l),f(x)=-^OAOB+\,求y=/(j；)的单调减区间；将.f(x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍，再将所得图象向左平移?个单位后，所得图象对应的函数为g(x),且5276250彳-”•，-彳 g(a)=£'g(0)=-右，求cos(2a—20)527625【答案】(1)单调减区间是?+炽,<+炽(keZ),(2)o 3【分析】(1)由数咼积坐标表示公式，结合二倍角公式与辅助角公式得到函数y=/(羽7T的解析式，再由分2心2“十#+2炽解不等式求解即可;7T(2)根据图象变换规则求出g(x),先求出sin(a—0)=sin再利用二倍角的余弦公式，即可求cos2(a-0)—l的值.【详解】(1)由题得，f(-v)=-sin2x+>/3siiLvcos.v+cos2x+>/S;in2x=sin[2x+-\I6cos2x+>/S;in2x=sin[2x+-\I6丿所以y=f(x)的单调减区间是彳+炽,〒+忌(keZ)：/(2)将/(x)图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两倍得到y=sinx+壬、再将所得图象向左平移£个单位后得到g(x)=sinx+咚,6 3/又g(a)=§，g(0)=_g即sin兀35因为又g(a)=§，g(0)=_g即sin兀35因为tze5龙~ 兀兀所以a+—e 兀D\Zr~ 兀兀所以a+—e 兀D\Zr12所以cosa45=Q3cosp+—=-V3丿5=sin所以sin(a-0)cosJ3+-l3丿=sin所以sin(a-0)cosJ3+-l3丿一cosa+—3sin/7+-l3丿.527.527"625所以cos(2<z-2^)=1-2sin2(a-/?)=1-2(-—)2【点睛】函数"Asin(d+cp)的单调区间的求法:若4>0,e>0,把亦+0看作是一个整体，由彳+2R”Scox+(p<耳+2炽(kwZ)求得函数的减区间，~+2k7r<cox+(p<^+2k7r求得增区间；②若力>0,。<0,则利用诱导公式先将©的符号化为正.再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解如图，在五面体ABCDEF中,四边形EDCF是正方形.AD=DE.ZADE=90°,ZA£)C=ZDCB=120().（1） 证明：平面ABCD丄平面EDCF；（2） 求直线AF与平面BDF所成角的正弦值•【答案】（1）见解析（2）£【分析】（1）证明面而垂直，在证明的过程中，利用常规方法，抓住而面垂直的判定泄理，找出相应的垂直关系证得结果；（2）求的是线而角的正弦值，利用空间向量，将英转化为直线的方向向量与平而的法向量所成角的余弦值的绝对值，从而求得结果.【详解】（1）证明：因为AD丄DE,DC丄DE,AD,CDu平而ABCD,且ADp\CD=D,所以DE丄平而ABCD,又DEu平HflEDCF.故平而ABCD丄平面EDCF.（2）解：由已知DCHEF'DCu平而砂£,EFu平而ABFE，所以DC//平而ABFE.又平而ABCDC\平面ABFE=AB，故ABIICD.所以四边形ABCD为等腰梯形.又AD=DE，所以AD=CD,得AD丄加，令AD=\,如图，以D为原点，以丽的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系则D（0,0,0）,A（l,0,0）, B（0,VJ,0）,所以丽宁面所以丽宁面=（0“,0）,DF=设平而BDF的法向疑为n=（x,y,z）,

亓.DB=O,由——n・DF亓.DB=O,由——n・DF=0,\/3y=0,所以1 73——x+——y+z

22-=0,取x=2,则y=0,乙=1,得h=(2,0J),设直线与平而BDF所成的角为&,则sin8=迈.5所以直线AF与平面BDF所成角的正弦值为£.【点睛】本题在解题的过程中，第一问用的是常规法，第二问用的是空间向量法，既然第二问要用空间向量，则第一问也可以用空间向量的数量积等于零来达到证明垂直的条件，所以解题方法是不唯一的.某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位：元)，如下图所示:消费金额/元消费金额/元(1)将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”,现从所有“健身达人”中随机抽取2人，求至少有1位消费者，其去年的消费金额超过4000元的概率;(2)针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表：会员等级消费金额普通会员2000银卡会员2700金卡会员3200预计去年消费金额在（0,1600］内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在（1600,3200］内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在（3200,4800］内的消费者都将会申请办理金卡会员.消费者在申请办理会员时，需•次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元；银卡会员中的“幸运之星”每人奖励60（）元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元.方案2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从•个装有3个白球、2个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸•个球.若摸到红球的总数消费金额/元为2,则可获得200元奖励金；若摸到红球的总数为3,则可获得300元奖励金；其他情况不给予奖励.规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）•以方案2的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪•种方案投资较少？并说明理由.19【答案】（1）—（2）预计方案2投资较少•详见解析JJ【分析】（1）由题意，随机变量X的可能值为“0丄2”,得P（X>1）=P（X=1）+P（X=2）,即可求解.（2）根据方案1求得按照方案1奖励的总金额14900元，又由方案2：得到〃的可能值为“0,200,300”,求得其概率，列出分布列.求得按照方案2奖励的总金额，比较得到答案.【详解】（1）设随机抽取的2人中，去年的消费金额超过4000元的消费者有X人,则X的可能值为7，1，2”,・・・P(5)=P(Z)+P(X»皆+菁舞+詁等(或者P(X>l)=l-P(X=0)=l

(2)方案1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取25位“幸运之星“,则“幸运之星“中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为：—x25=7,—x25=15,—x25=3,100100100・••按照方案1奖励的总金额为：=7x500+15x600+3x800=14900元，方案2：设〃表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则〃的可能值为“0,200,300",C"2•••摸到红球的概率：P=〒= •••P(77=O)=C)C55+C何但丫=竺4引(5丿125P("=200)呵|)(沪詈,P("=300)=C；(|)=着,•••〃的分布列为0200300P81125361258125=76.8元,Q=76.8元,E,;=0x_+200x_+300x_•••按照方案2奖励的总金额为:§2=(28+2x60+3x12)x76.8=14131.2元,•••方案1奖励的总金额刍多于方案1奖励的总金额冬，.••预计方案2投资较少.【点睛】本题主要考査了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变疑概率分布列问题首先要淸楚离散型随机变量的可能取值，讣算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算岀数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及汁算数学期望是理科髙考数学必考问题.已知椭圆E：—+—=1的左、右焦点分别为F-点P在直线川：x+y=4上3且不在x轴上，直线PR与椭圆E的交点分别为A.B,直线与椭圆E的交点分别

3 5（1） 设直线PF、、P&的斜率分别为人、k2f求的值：（2） 问直线也上是否点P,使得直线04,OB,OC,OD的斜率灯人，k（）li,%,%）3>/6<3>/6满足G+匕+匕+灯“=0?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标:若不存在，请说明理由.3>/6<3>/6【答案】（1）2：（2）存在；点P的坐标是（0,4）或-2-三一,6+【分析】（1）由椭圆的标准方程可得焦点坐标，设点P（io,4-勺），由斜率公式化简即可得解；（2）按照PF、、P"的斜率是否都存在讨论，当斜率均存在时，设直线方程，联立方程结合韦达立理可得k1+k2=0或W=3,再代入斜率公式即可得解.【详解】（1）由条件知£（—1,0）,坊（1,0）,设点P（x（）,4-々），则=T^t，（2）设存在点戶（心,几）符合条件，当直线卩件的斜率不存在或直线PF2的斜率不存在时，则kg+k°B=°、k°c+灯。=°,不合题意；当直线PF、、的斜率均存在时，设直线P.P&的斜率分别为人、匕,则直线卩仟：y=«（x+l）,直线PF2._y=Z:2（x-l）,设A（坷,（吃,y2）,卩=治+1）r+t=1联立仁2护,消去），得（3+4灯）疋+8«3+4r+t=1一一 -眺2所以Xj+%2=~—4k2，召“24好-123+4^4好-123+4^2=2«+«（-2好）_-叭V-3"V-3X{X2Xj =2«+«（-2好）_-叭V-3"V-3一6匕V-3一6人 一6人 6（3-牡2）&+込）由kg+%+koc+kOD=0得财_3+ki__3=（他2一3）（込2_3）=所以匕+«2=0或他他=3,又&=4_・$乙二4_“又&=4_・$乙二4_“兀+]・旺一1所以4_儿|4_x°兀+1x0-l=3解得x0=4（舍去），xo=O,兀=_2-迹，兀=_2+还，22所以点P的坐标是（0,4）或-2-芈,6+孕或_2+芈,6-学.\/\/【点睹】解决本题的关键是设出所需点的坐标，结合韦达左理求得直线斜率的关系，利用斜率公式可得点P的横坐标，整个过程中要注意运算的准确性.已知函数/©）=0?-£十+加（（/,bwR）,其导函数为广（x）,且川）*'（1）+牛（1） 求4的值；（2） 设函数/（X）有两个极值点人，勺，求“的取值范围,并证明过两点P（勺/佔）），。（勺/（^））的直线加恒过定点，且求出该定点坐标；（3） 当心1时，证明函数g（x）=/（x）+3F_x_l在R上只有一个零点.1 25 （5125、【答案】（1）«=-：（2）b＜〒；证明见解析：泄点一「寸:（3）证明见解析.3 4 I424丿【分析】（1）由导数运算可得"的值:

(2)由题设知，x,,吃是方程/(x)=0的两个根，得"<丁，化简/(召)=+(4b—25)^+£b,同理可得/(兀2)=+(%—25)£+£庆因此，直线加的方程是y=—(4/?—25)x+—/?,整理可得左点坐标：66TOC\o"1-5"\h\z⑶先得出g(X)=斗卡+：F+(b—1)X—1,分Xn0和xV0两种情况研究零点即