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文档简介
函数的单调性和奇偶性一.教学内容函数的单调性和奇偶性
二.重、难点重点:函数单调增、减区间的意义,应用定义判断函数的单调性,奇偶性。难点:证明函数的单调性
【典型例题】[例1]如果函数在上是减函数,求a的取值范围。解:对称轴,由得[例2]判断函数()在R上的单调性解:设、且则当时,当时,和中必有之一不为0(∵)∴当时,在上面讨论结合(1)和(2)有∴函数在R上是减函数[例3]已知函数,在R上是增函数,求证:在R上也是增函数。证:任取,且则因为在R上是增函数所以又∵在R上是增函数∴∴在R上是增函数结论:同增异减:与增减性相同(反),函数是增(减)函数。[例4]求函数的单调区间解:首先确定义域:∴在和两个区间上分别讨论任取、且则要确定此式的正负只要确定的正负即可这样,又需判断大于1还是小于1,由于的任意性。考虑到要将分为与(1)当时,∴为减函数(2)当,时,∴为增函数同理(3)当时,为减函数(4)当时,为增函数[例5]判断下列函数是否具有奇偶性(1)(2)(3)(4)(5)注:对于定义域内的任意一个,都有成立,则称为偶函数。对于定义域内的任意一个,都有成立,则称为奇函数。解:(1)函数与定义域为R∴为奇函数(2)函数的定义域为R又∵∴为偶函数(3)函数的定义域为∴为非奇非偶函数(4)函数的定义域为,此时∴既是奇函数又是偶函数(5)由得,知定义域关于原点不对称∴既不是奇函数也不是偶函数[例6]函数在上为奇函数,且当时,,则当时,求的解析式。解:设则∴又∵在R上为奇函数∴∴当时,∴[例7]设为奇函数,且在定义域上为减函数,求满足的实数a的取值范围。解:由为奇函数知:由是减函数知:∴解得[例8]设是定义在上的增函数,且,求满足不等式的的取值范围。解:又∴化为∴解得
【模拟试题】一.选择题1.,当时递增,当时递减,则的值等于()A.13B.1C.21D.2.若奇函数的图象过点,则必过点()A.B.C.D.3.函数在,上都是增函数,则的取值范围()A.B.C.D.4.在上是增函数,则的增区间是()A.B.C.D.
二.填空题1.函数的递增区间是。2.若函数是R上的增函数,且对一切都成立,则实数a的取值范围是。3.已知,,则。4.若是奇函数,则函数,的图象关于对称。
三.解答题1.已知是偶函数,在上是增函数,那么在上是增函数,还是减函数?并加以证明。2.函数在上单调递增,求实数a的取值范围。3.定义在上的偶函数,当时,单调递减,若,求的取值范围。
【试题答案】一.1.C2.D3.D4.B
二.1.2.3.314.轴
三.1.设由于是偶函数,则,①由假设可知,且又已知在上是增函数,则②将①代入②得即故在上是减函数2.解:在上单调递增∴
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