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函数的单调性和奇偶性一.教学内容函数的单调性和奇偶性

二.重、难点重点：函数单调增、减区间的意义，应用定义判断函数的单调性，奇偶性。难点：证明函数的单调性

【典型例题】[例1]如果函数在上是减函数，求a的取值范围。解：对称轴，由得[例2]判断函数（）在R上的单调性解：设、且则当时，当时，和中必有之一不为0（∵）∴当时，在上面讨论结合（1）和（2）有∴函数在R上是减函数[例3]已知函数，在R上是增函数，求证：在R上也是增函数。证：任取，且则因为在R上是增函数所以又∵在R上是增函数∴∴在R上是增函数结论：同增异减：与增减性相同（反），函数是增（减）函数。[例4]求函数的单调区间解：首先确定义域：∴在和两个区间上分别讨论任取、且则要确定此式的正负只要确定的正负即可这样，又需判断大于1还是小于1，由于的任意性。考虑到要将分为与（1）当时，∴为减函数（2）当,时，∴为增函数同理（3）当时，为减函数（4）当时，为增函数[例5]判断下列函数是否具有奇偶性（1）（2）（3）（4）（5）注：对于定义域内的任意一个，都有成立，则称为偶函数。对于定义域内的任意一个，都有成立，则称为奇函数。解：（1）函数与定义域为R∴为奇函数（2）函数的定义域为R又∵∴为偶函数（3）函数的定义域为∴为非奇非偶函数（4）函数的定义域为，此时∴既是奇函数又是偶函数（5）由得，知定义域关于原点不对称∴既不是奇函数也不是偶函数[例6]函数在上为奇函数，且当时，，则当时，求的解析式。解：设则∴又∵在R上为奇函数∴∴当时，∴[例7]设为奇函数，且在定义域上为减函数，求满足的实数a的取值范围。解：由为奇函数知：由是减函数知：∴解得[例8]设是定义在上的增函数，且，求满足不等式的的取值范围。解：又∴化为∴解得

【模拟试题】一.选择题1.，当时递增，当时递减，则的值等于（）A.13B.1C.21D.2.若奇函数的图象过点，则必过点（）A.B.C.D.3.函数在，上都是增函数，则的取值范围（）A.B.C.D.4.在上是增函数，则的增区间是（）A.B.C.D.

二.填空题1.函数的递增区间是。2.若函数是R上的增函数，且对一切都成立，则实数a的取值范围是。3.已知，，则。4.若是奇函数，则函数，的图象关于对称。

三.解答题1.已知是偶函数，在上是增函数，那么在上是增函数，还是减函数？并加以证明。2.函数在上单调递增，求实数a的取值范围。3.定义在上的偶函数，当时，单调递减，若，求的取值范围。

【试题答案】一.1.C2.D3.D4.B

二.1.2.3.314.轴

三.1.设由于是偶函数，则，①由假设可知，且又已知在上是增函数，则②将①代入②得即故在上是减函数2.解：在上单调递增∴

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