苏教版数学高二-【新学案】-选修1-1教学案-曲线上一点处的切线

打印版本高中数学3.1.2曲线上一点处的切线教学过程一、问题情境平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上的变化趋势,提出问题:如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?(点P附近的曲线的研究)提出“放大图形”的朴素方法,如下图:(图1)二、数学建构问题1观察“点P附近的曲线”,随着图形放大,你看到了怎样的现象?(图2)解曲线在点P附近看上去几乎成了一条直线;继续放大,曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l,这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线.问题2“几乎成了一条直线”,这么一条特殊的直线有明确位置吗?又为什么说是“几乎”?解点P附近可以用这条直线l代替曲线,用直线l的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势.问题3怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢?以图3为例.解随着点Q沿曲线向点P运动,直线PQ在点P附近越来越逼近曲线.概念生成动画演示,观察点Q的运动、直线PQ的运动、直线PQ斜率的变化,生成概念.(图3)(图4)Q为曲线上不同于点P的一点,这时,直线PQ称为曲线的割线;当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l就称为曲线在点P处的切线.问题4对比平均变化率这一近似刻画曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型,在这里平均变化率表现为什么?我们又用怎样的数学模型来刻画曲线上P点处的变化趋势呢?由切线的概念来求切线斜率,割线斜率无限逼近即为切线斜率.当Δx无限趋近于0时,QUOTE无限趋近于点P(x,f(x))处切线的斜率.三、数学运用【例1】用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线. (见学生用书P43)(例1图(1))(例1图(2))(1)初中平面几何中圆的切线的定义是什么?(2)图(1)中和图(2)中切线与曲线公共点的个数分别是多少?公共点的个数是否适用于一般曲线的切线的定义的讨论?你能否用函数曲线的切线举出反例?让学生亲自作图,从图形观察出问题的答案,体现数形结合思想.解(1)与圆只有一个公共点的直线称为圆的切线.(2)图(1)中1个.图(2)中2个.不适用.强调曲线上一点处切线的斜率的定义,圆上一点处的切线只是曲线上一点处切线的特殊情况.变式曲线y=x3在点(1,1)处的切线与曲线有几个交点?解2个.【例2】(教材第71页例1)已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率. (见学生用书P44)为求得在点(2,4)处的切线斜率,我们从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手.解设P(2,4),Q(2+Δx,(2+Δx)2),则割线PQ的斜率为kPQ=QUOTE=4+Δx,当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.本题教学手法可以多样化,比如作出图象加强直观,还可取Δx<0进行比较.如有条件,可利用计算机分别演示数值逼近和图形逼近的过程,使数形结合更加紧密.变式已知f(x)=x-1,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率.解设P(-1,-1),Q-1+Δx,QUOTE,则割线PQ的斜率为kPQ=QUOTE=QUOTE,当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数-1,从而曲线y=f(x)在点P(-1,-1)处的切线斜率为-1.【例3】已知曲线y=QUOTE在点(1,4)处的切线与直线l平行,且与l的距离等于QUOTE,求直线l的方程. (见学生用书P44)应用平行直线的斜率关系和距离公式.解QUOTE=QUOTE=-QUOTE.当Δx无限趋近于0时,QUOTE无限趋近于-4,所以曲线在点(1,4)处的切线的斜率为-4,故切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0.设直线l的方程为4x+y+c=0,由题得QUOTE=QUOTE,解得c1=9,c2=-25,所以直线l的方程为4x+y+9=0或4x+y-25=0.进一步让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线的步骤:(1)求差商QUOTE;(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,QUOTE趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0).变式若直线y=3x+1是曲线y=ax2的切线,求a的值.本题需注意切点既满足曲线方程,又满足切线方程.解设切点为(x,ax2),QUOTE=QUOTE=2ax+aΔx.当Δx无限趋近于0时,QUOTE无限趋近于2ax,所以曲线在切点处的切线的斜率为2ax.由QUOTE可求得a=-QUOTE.【例4】试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.本题应设出切点(x0,QUOTE),求出相应的切线方程,再根据此方程过点P(3,5),利用待定系数法求出x0.解设所求切线的切点坐标为(x0,QUOTE),QUOTE=QUOTE=2x0+Δx,当Δx无限趋近于0时,QUOTE无限趋近于2x0,所以曲线在切点处的切线的斜率为2x0,则所求切线方程可表示为y-QUOTE=2x0(x-x0),因为切线过点P(3,5),所以5-QUOTE=2x0(3-x0),解得x0=1或5,即所求的切线有两条,方程分别是y=2x-1和y=10x-25.学生解答本题时会误以为点P(3,5)是切点,导致过点P(3,5)处的切线斜率为6.变式求曲线y=x3的过点(-1,-1)的切线方程.解设所求切线的切点坐标为(x0,QUOTE),QUOTE=QUOTE=3QUOTE+3x0Δx+Δx2,当Δx无限趋近于0时,QUOTE无限趋近于3QUOTE,所以曲线在切点处的切线的斜率为3QUOTE,则所求切线方程可表示为y-QUOTE=3QUOTE(x-x0),因为切线过点(-1,-1),所以-1-QUOTE=3QUOTE(-1-x0),解得x0=-1或QUOTE,即所求的切线有两条,方程分别是y=3x+2和y=QUOTEx-QUOTE.学生解答本题时会误以为点(-1,-1)一定是切点,没有讨论点(-1,-1)是切点和不是切点两种情况.四、课堂练习1.在下列曲线中,可以用割线逼近切线的方法作出点P处的切线的有②④.(填序号)

(第1题)2.求曲线y=QUOTE在点(1,QUOTE)处的切线的斜率.解设P(1,QUOTE),Q(1+Δx,QUOTE),则割线PQ的斜率为kPQ=QUOTE=QUOTE.当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数QUOTE,从而曲线y=f(x)在点(1,QUOTE)处的切线斜率为QUOTE.3.已知抛物线y=ax2+bx-7过点(1,1),且过点(1,1)的抛物线的切线方程为y=4x-3,求a,b的