人教版高数必修四第8讲：平面向量数量积(学生版)-东直门仉长娜

PAGEPAGE1平面向量的基本概念与线性运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1掌握平面向量数量积的概念、几何意义、性质、运算律及坐标表示.2平面向量数量积的应用.一、平面向量数量积的物理背景及定义：以物理学中的做功为背景引入问题：观察讨论做功的公式中左右两端的量分别是什么量？什么影响了功的大小？如何精确的给出数学中的定义？力做的功：W=|F||s|cos，是F与s的夹角1、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的范围0≤≤180CC2、平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cos叫与的数量积，记作，即有=||||cos，（０≤θ≤π）并规定与任何向量的数量积为03、两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，是与同向的单位向量①==||cos②=0③=||2或④cos=⑤||≤||||4、向量数量积满足的运算率：①；②；③向量数量积的坐标运算1.已知两个向量，,则_=___________________.2.设，则.______________________3.平面内两点间的距离公式如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么._____________4.向量垂直的判定两个非零向量，，则______________.5.两向量夹角的余弦cos=_________________（）.6.向量在轴上的正射影：作图定义：||cos叫做向量在所在轴上的正射影正射影也是一个数量，不是向量；当为锐角时正射影为正值；当为钝角时正射影为负值；当为直角时正射影为0；当=0时正射影为||；当=180时正射影为||类型一、平面向量数量积的运算：例题1已知下列命题:①;②;③;④其中正确命题序号是_____.例题2已知;(2);(3)的夹角为,分别求.练习:已知,求类型二、夹角问题：例题3(2005年北京)若,且,则向量与向量的夹角为()A.B.C.D.练习：1、已知,求向量与向量的夹角.2、已知,夹角为,则.3、已知是两个非零向量,同时满足,求的夹角.类型三、向量模的问题：例题4已知向量满足,且的夹角为,求.练习：1、(2005年湖北)已知向量,若不超过5,则的取值范围()A.B.C.D.2、(2006年福建)已知的夹角为,,,则等于()A5B.4C.3D.1类型四、平面向量数量积的综合应用：例题5(2006年全国卷)已知向量.若;(2)求的最大值.例题6已知向量,且满足,求证;(2)将与的数量积表示为关于的函数;求函数的最小值及取得最小值时向量与向量的夹角.一、选择题1．若a·c＝b·c(c≠0)，则()A．a＝bB．a≠bC．|a|＝|b|D．a在c方向上的正射影的数量与b在c方向上的正射影的数量必相等2．若|a|＝4，|b|＝3，a·b＝－6，则a与b的夹角等于()A．150° B．120°C．60° D．30°3．若|a|＝4，|b|＝2，a和b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为()A．2 B．eq\r(3)C．2eq\r(3) D．44．|m|＝2，m·n＝8，<m，n>＝60°，则|n|＝()A．5 B．6C．7 D．85．向量a的模为10，它与x轴的夹角为150°，则它在x轴上的投影为()A．－5eq\r(3) B．5C．－5 D．5eq\r(3)6．若向量a、b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b·b＋a·b等于()A．3 B．4C．5 D．6二、填空题7．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝eq\r(3)，则向量a和向量b的数量积a·b＝____.8．若|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为135°，则a在b方向上的投影为________．三、解答题9．已知正六边形P1P2P3P4P5P6的边长为2，求下列向量的数量积．(1)eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P3,\s\up6(→))；(2)eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P4,\s\up6(→))；(3)eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P5,\s\up6(→))；(4)eq\o(P1P2,\s\up6(→))·eq\o(P1P6,\s\up6(→)).__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．已知a＝(2,1)、b＝(1，－2)，则向量a与b的夹角为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)2．已知点A(1,2)、B(2,3)、C(－2,5)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))等于()A．－1 B．0C．1 D．23．已知A、B、C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A(1,2)、B(4,1)、C(0，－1)，则△ABC的形状为()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．以上均不正确4．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为()A．－eq\f(1,7) B．eq\f(1,7)C．－eq\f(1,6) D．eq\f(1,6)5．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，则|b|＝()A．eq\r(5) B．eq\r(10)C．5 D．256．(2014·重庆理，4)已知向量a＝(k,3)、b＝(1,4)、c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝()A．－eq\f(9,2) B．0C．3 D．eq\f(15,2)二、填空题7．(2014·安徽宿州市朱仙庄煤矿中学高一月考)已知向量a＝(－4,3)、b＝(－3,4)，b在a方向上的投影是________．8．设向量a＝(1,2m)，b＝(m＋1,1)，c＝(2，m)，若(a＋c)⊥b，则|a|＝________.三、解答题9．已知A(2,3)、B(5,1)、C(9,7)、D(6,9)四点，试判断四边形ABCD的形状．能力提升一、选择题1．(2014·山东文，7)已知向量a＝(1，eq\r(3))、b＝(3，m)，若向量a、b的夹角为eq\f(π,6)，则实数m＝()A．2eq\r(3) B．eq\r(3)C．0 D．－eq\r(3)2．已知m＝(1,0)、n＝(1,1)，且m＋kn恰好与m垂直，则实数k的值为()A．1 B．－1C．1或－1 D．以上都不对3．若向量a＝(1,2)、b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于()A．－eq\f(π,4) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4) D．eq\f(3π,4)4．已知a＝(2,4)，则与a垂直的单位向量的坐标是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)，\f(\r(5),5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)，－\f(\r(5),5)))二、填空题5．(2014·湖北理，11)设向量a＝(3,3)、b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a－λb)，则实数λ＝________.6．(2014·四川文，14)平面向量a＝(1,2)