安徽省阜阳市第八中学高三数学理模拟试题含解析

安徽省阜阳市第八中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车的准时到站的概率为,则他在3天乘车中,此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为(

)A．

B．

C．

D．

参考答案：2.若实数x,y满足，则x+2y的最小值和最大值分别为（

）A．2，6

B．2，5

C．3，6

D．3，5参考答案：答案:A3.给出下列四个命题：①命题p：∈R，sinx≤1，则：∈R，sinx＜1．②当a≥1时，不等式｜x－4｜＋｜x－3｜＜a的解集为非空．③当x＞0时，有lnx＋≥2．④设复数z满足（1－i）z＝2i，则z＝1－i．其中真命题的个数是A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：A4.在正项等比数列中，，则的值是

A.

B.

C.

D.参考答案：A略5.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，，则AC=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】正弦定理．【分析】结合已知，根据正弦定理，可求AC【解答】解：根据正弦定理，，则故选B6.偶函数满足，且在时，，则关于的方程，在上解的个数是（

）A．1

B.2

C.3

D.4

参考答案：【知识点】函数的周期性；奇偶函数图象的对称性．B4【答案解析】解析：解：∵∴∴原函数的周期T=2又∵是偶函数，∴.又∵x∈[0，1]时，，函数的周期为2，∴原函数的对称轴是x=1，且f（-x）=f（x+2）．方程

根的个数，即为函数y1=f（x）的图象（蓝色部分）与的图象（红色部分）交点的个数．由以上条件，可画出y1=f（x），的图象：又因为当x=1时，y1＞y2，∴在（0，1）内有一个交点．∴结合图象可知，在[0，4]上y1=f（x），共有4个交点．∴在[0，4]上，原方程有4个根．

故选D．【思路点拨】根据已知条件推导函数f（x）的周期，再利用函数与方程思想把问题转化，画出函数的图象，即可求解．7.已知函数y＝ax－2＋3(a>0且a≠1)的图像恒过定点P，点P在幂函数y＝f(x)的图像上，则A.－2

B.－1

C.1

D.2参考答案：A8.（），则的值为（

）A．

B．

C．,

D．参考答案：D略9.已知集合，，则（）A、 B、

C、

D、参考答案：D略10.为了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－１８岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是（

）

A．20

B．30

C．40

D．50

参考答案：答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若满足约束条件：；则的取值范围为参考答案：的取值范围为约束条件对应边际及内的区域：则12.已知||=2，||=3，，的夹角为60°，则|2﹣|=．参考答案：【考点】向量的模．【分析】利用两个向量的数量积的定义求出的值，由==求得结果．【解答】解：∵已知，，、的夹角为60°，∴=2×3cos60°=3，∴====，故答案为．13.已知是坐标原点，点，若为平面区域上的一个动点，则的最小值是

.

参考答案：1略14.已知O为坐标原点，，平面上动点N满足，动点N的轨迹为曲线C，设圆M的半径为1，圆心M在直线上，若圆M与曲线C有且仅有一个公共点，则圆心M横坐标的值为

．参考答案：

0或15.已知，则的值是

。参考答案：答案:247

16.定义在R上的奇函数满足，且在

，则

▲

.参考答案：略17.极坐标系中，圆的圆心到直线的距离是_______________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）已知点D是平面ABC内一点，且四边形ABCD为平行四边形，在直线AA1上是否存在点P，使DP∥平面AB1C？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质．【分析】（1）取AC中点O，连结AO，BO，摔倒导出BO⊥面A1ACC1，AO⊥面ABC，由此能求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．（2）点P与A1重合时，连结AD，CD，A1D，推导出四边形A1B1CD是平行四边形，从而A1D∥B1C，由此得到DP∥平面AB1C．【解答】解：（1）取AC中点O，连结AO，BO，∵在各棱长均为2的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面A1ACC1⊥底面ABC．∴BO⊥面A1ACC1，∴BO⊥AO，A1C=A1A，∴AO⊥AC，∴AO⊥面ABC，∴AO=BO==，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC?AO===3．（2）点P与A1重合时，DP∥平面AB1C．证明如下：连结AD，CD，A1D，∵四边形ABCD为平行四边形，∴A1B2ABCD，∴四边形A1B1CD是平行四边形，∴A1D∥B1C，∵B1C?平面AB1C，A1D?平面AB1C，∴A1D∥平面AB1C，∴DP∥平面AB1C．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查满足线面平行的点的位置的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．19.如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF1||F1F2|=c2=，故c=1．从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，

y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0．当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C（0，y0）由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得?=﹣1，而|y1|=|x1+1|=，故y0=，故圆C的半径|CP1|==．综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=．20.如图，在三棱锥P﹣ABC中，直线PA⊥平面ABC，且∠ABC=90°，又点Q，M，N分别是线段PB，AB，BC的中点，且点K是线段MN上的动点．（Ⅰ）证明：直线QK∥平面PAC；（Ⅱ）若PA=AB=BC=8，且二面角Q﹣AK﹣M的平面角的余弦值为，试求MK的长度．参考答案：【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（Ⅰ）连结QM，通过证明平面QMN∥平面PAC，利用平面与平面平行的性质定理证明QK∥平面PAC．（Ⅱ）方法1：过M作MH⊥AK于H，连QH，则∠QHM即为二面角Q﹣AK﹣M的平面角，设MK=x，利用，求解MK的长度．方法2：以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系，求出平面AQK的一个法向量，平面AKM的一个法向量，利用向量的数量积结合二面角的大小，求解MK的长度．【解答】解：（Ⅰ）连结QM，∵点Q，M，N分别是线段PB，AB，BC的中点∴QM∥PA且MN∥AC，从而QM∥平面PAC且MN∥平面PAC又∵MN∩QM=M，∴平面QMN∥平面PAC

而QK?平面QMN∴QK∥平面PAC

…（7分）（Ⅱ）方法1：过M作MH⊥AK于H，连QH，则∠QHM即为二面角Q﹣AK﹣M的平面角，设MK=x，且PA=PB=PC=8则，又QM=4，且，∴=，解得，∴MK的长度为．

…（15分）方法2：以B为原点，以BC、BA所在直线为x轴y轴建空间直角坐标系，则A（0，8，0），M（0，4，0），N（4，0，0），P（0，8，8），Q（0，4，4），设K（a，b，0），则a+b=4，=（0，﹣4，4），…（9分）记，则，取y=z=a则x=4+a，则，…（11分）又平面AKM的一个法向量，设二面角Q﹣AK﹣M的平面角为θ则|cosθ|=，解得a=1，∴MK的长度为．

…（15分）【点评】本题考查面面平行，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握面面平行、二面角的求法，属于中档题．21.已知关于x的不等式（其中a＞0）．（1）当a=3时，求不等式的解集；（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（2）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】解：（1）a=3时，|x﹣1|﹣|2x﹣1|＞﹣1，∴或或，解得：﹣1＜x＜1，故不等式的解集是（﹣1，1）；（2）f（x）=，∴f（x）∈（﹣∞，]，∴f（x）的最大值是，∵不等式有解，∴＞a，解得：a＞．22.已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|（1）若a=2，求函数f（x）的最小值；（2）如果关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（1）当a=2时，f（x）=|x﹣2|+|x+1|≥|（x﹣2）﹣（x+1）|=3，当（x﹣2）（x+1）≤0时，取等号，由此f（x）的最小值是3．（2）关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，只需|a+1|＜2，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1