江西省赣州市方太中学高三数学理期末试卷含解析

江西省赣州市方太中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，若，则函数的零点个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：D略2.函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是 ()A．(－2，－1)

B．(－1,0)C．(0,1)

D．(1,2)参考答案：B3.设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg参考答案：D由回归方程为=0.85x-85.71知随的增大而增大，所以y与x具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知，所以回归直线过样本点的中心（，），利用回归方程可以预测估计总体，所以D不正确.4.已知是虚数单位，，则A.

B.

C.

D.参考答案：C5.如图，设D是图中连长为2的正方形区域，E是函数y＝x3的图象与x轴及x＝±1围成的阴影区域，向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为（

）参考答案：6.定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意x1，x2∈0，＋∞)，且x1≠x2都有>0，则()A．f(3)<f(－2)<f(1)B．f(1)<f(－2)<f(3)C．f(－2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(－2)参考答案：B7.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(

)A．-40

B．-20

C．20

D．40参考答案：D8.α，β表示不重合的两个平面，m，l表示不重合的两条直线．若α∩β=m，l?α，l?β，则“l∥m”是“l∥α且l∥β”的（）A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合线面平行的性质进行判断即可．【解答】解：充分性：∵α∩β=m，∴m?α，m?β，∵l∥m，l?α，l?β，∴l∥α，l∥β，必要性：过l作平面γ交β于直线n，∵l∥β，∴l∥n，若n与m重合，则l∥m，若n与m不重合，则n?α，∵l∥α，∴n∥α，∵n?β，α∩β=m，∴n∥m，故l∥m，故“l∥m”是“l∥α且l∥β”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，根据空间直线和平面平行的位置关系是解决本题的关键．9.已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角．若，，则的值为(

)

A．

B．

C．8

D．6参考答案：D略10.设且则的最小值为（）A.

B.+1

C.+2

D.+3参考答案：D试题分析：，当且仅当时等号成立，所以最小值为考点：不等式性质二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面向量a，b的夹角为60°，a＝(，1)，|b|＝1，则|a＋2b|＝__________.参考答案：略12.给出下列四个命题：①若函数在区间上为减函数，则②函数的定义域是③当且时，有④圆上任意一点关于直线的对称点M’也在该圆上。所有正确命题的题号为_____________.参考答案：答案：（1）（4）13.已知集合，对于数列中.①若三项数列满足，则这样的数列有________．个②若各项非零数列和新数列满足首项，（），且末项，记数列的前项和为，则的最大值为________．参考答案：①

②略14.“，”的否定是

．参考答案：使15.已知数列{an}满足，，则当时，an=．参考答案：解：数列满足，

，，则，，，，由此可得当时，．故答案为：．16.设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为

．参考答案：17.已知角的终边经过点，则__________；_________．参考答案：，.试题分析：由任意角的三角函数的定义可知，，.考点：1.任意角的三角函数定义；2.三角恒等变形.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知．（1）若函数的最小值为3，求实数a的值；（2）若时，函数的最大值为k，且．求的最小值．参考答案：（1）6（2）2【分析】（1）将f(x)和f(2x)代入F(x)，去绝对值得出分段函数，找出取得最小值的点，即可求出a；（2）将a=2代入函数，由绝对值不等式可得k的值，再根据均值不等式可求得的最小值。【详解】解：（1），，函数当时，函数的最小值为，．（2）当时，，，，所以因为，所以当，即，时，最小值为2【点睛】本题考查分段函数，绝对值不等式和均值不等式（a>0，b>0），是常见题型。19.已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．（Ⅲ）求证：（其中n∈N*，e是自然对数的底数）．参考答案：考点：不等式的证明；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）把a=﹣代入函数f（x），再对其进行求导利用导数研究函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，将问题转化为当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，只要求出ax2+ln（x+1）﹣x的最小值即可，令新的函数，利用导数研究其最值问题；（Ⅲ）由题设（Ⅱ）可知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用此不等式对所要证明的不等式进行放缩，从而进行证明；解答：解：（Ⅰ）当时，（x＞﹣1），（x＞﹣1），由f'（x）＞0解得﹣1＜x＜1，由f'（x）＜0，解得x＞1．故函数f（x）的单调递增区间为（﹣1，1），单调递减区间为（1，+∞）．（4分）（Ⅱ）因函数f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，则当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）﹣x≤0恒成立，设g（x）=ax2+ln（x+1）﹣x（x≥0），只需g（x）max≤0即可．（5分）由=，（ⅰ）当a=0时，，当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．（6分）（ⅱ）当a＞0时，由，因x∈[0，+∞），所以，①若，即时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）在[0，+∞）上无最大值（或：当x→+∞时，g（x）→+∞），此时不满足条件；②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．（8分）（ⅲ）当a＜0时，由，∵x∈[0，+∞），∴2ax+（2a﹣1）＜0，∴g'（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，故g（x）≤g（0）=0成立．综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，0]．（10分）（Ⅲ）据（Ⅱ）知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立（或另证ln（x+1）≤x在区间（﹣1，+∞）上恒成立），（11分）又，∵===，∴．（14分）点评：此题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值问题，解题过程中多次用到了转化的思想，第二题实质还是函数的恒成立问题，第三问不等式的证明仍然离不开前面两问所证明的不等式，利用它们进行放缩证明，本题难度比较大，是一道综合题；20.（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，PA⊥PC，PB=2．（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；（2）若，求三棱锥P﹣ABC的体积．

参考答案：（1）取AC的中点O，连接BO，PO.因为ABC是边长为2的正三角形，所以BO⊥AC，BO=.因为PA⊥PC，所以PO=.因为PB=2，所以OP2+OB2=PB2，所以PO⊥OB.因为AC，OP为相交直线，所以BO⊥平面PAC.又OB?平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC．.................................................6分（2）因为PA=PC，PA⊥PC，AC=2，所以.由（1）知BO⊥平面PAC.所以.

.................................................12分21.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB