统考版2024高考数学二轮专题复习专题三立体几何第2讲空间位置关系的判断

第2讲空间位置关系的判断与证明考点一考点二考点三考点四考点一点、线、面的位置关系考点一点、线、面的位置关系——真有证据，假有反例判断空间点、线、面位置关系，主要依赖四个公理、平行关系和垂直关系的有关定义及定理，具体处理时可以构建长方体或三棱锥等模型，把要考查的点、线、面融入模型中，判断会简洁明了．如要否定一个结论，只需找到一个反例就可以．例1[2023·陕西省宝鸡市高三三模]已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则下列结论错误的是(

)A．m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．m⊥α，n⊥β且α∥β，则m∥nC．m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥βD．α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n答案：D解析：对于A：若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α，若n⊂α，n⊥β，则α⊥β，若n∥α，则平面α存在直线c使得n∥c，又n⊥β，所以c⊥β，又c⊂α，所以α⊥β，故A正确；对于B：若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β则m∥n，故B正确；对于C：若m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊥β且α，β是空间两个不同的平面，则α∥β，故C正确；对于D：若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故D错误．故选D.归纳总结判断与空间位置关系有关命题真假的4种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断；(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定；(3)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断；(4)判断空间两条直线是否相交，首先判断两直线是否共面．

对点训练1.[2023·成都七中高三一模]设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则(

)A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥αC．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥nD．若m⊂α，l⊥n，n⊥α，则l∥m答案：B解析：由α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，知：对A：若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l与α相交、平行或l⊂α，故A错误；对B：若l∥m，m∥n，l⊥α，则由线面垂直的性质定理得n⊥α，故B正确；对C：若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n，故C错误；对D：若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，故D错误．故选B.2．[2022·全国乙卷]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则(

)A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D答案：A

考点二空间角的基本计算考点二空间角的基本计算——依照定义，转化角度用平移法求异面直线所成的角是指通过平移异面直线中的一条或两条，找到异面直线所成的角，并求出该角．此种方法适用于规则几何体中的异面直线所成角的求解问题．例2[2022·全国甲卷]在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(

)A．AB＝2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30°C．AC＝CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°答案：D

答案：A答案：C考点三空间中平行、垂直关系考点三空间中平行、垂直关系——思转化，用定理，得结论1．直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.2．直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.例3如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.证明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PA⊥AD，PA⊂平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形．∴BE∥AD.又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.

归纳总结平行关系及垂直关系的转化提醒

(1)证明线面平行时，忽略“直线在平面外”“直线在平面内”的条件．(2)证明面面平行时，忽略“两直线相交”“两直线在平面内”的条件．(3)证明线面垂直时，容易忽略“平面内两条相交直线”这一条件．对点训练1.如图，该几何体的三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是矩形．(1)证明：平面ABC∥平面A1B1C1；(2)若AA1＝2AC，AC⊥AB，M为CC1的中点，证明：A1M⊥平面ABM.

2．如图，已知△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，AB⊥BD.平面ABC⊥平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且CE∥BD，BD＝2CE.F为AD的中点，连接EF.(1)求证：EF∥平面ABC；(2)求证：平面AED⊥平面ABD.证明：(1)如图，取AB的中点为O，连接OC，OF，∵O，F分别为AB，AD的中点，∴OF∥BD且BD＝2OF，又∵CE∥BD且BD＝2CE，∴CE∥OF且CE＝OF，∴四边形OCEF为平行四边形，∴EF∥OC.又∵EF⊄平面ABC且OC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC.(2)∵三角形ABC为等边三角形，∴OC⊥AB，又∵平面ABC⊥平面ABD且平面ABC∩平面ABD＝AB，∴OC⊥平面ABD，∵EF∥OC，∴EF⊥平面ABD，又∵EF⊂平面AED，∴平面AED⊥平面ABD.考点四平面图形的折叠问题考点四平面图形的折叠问题——折叠前后“变”与“不变”是关键1．画好两图：翻折之前的平面图形与翻折之后形成的几何体的直观图．2．把握关系：即比较翻折前后的图形，准确把握平面图形翻折前后的线线关系，哪些平行与垂直的关系不变，哪些平行与垂直的关系发生变化，这是准确把握几何体的结构特征，进行空间线面关系逻辑推理的基础．3．准确定量