新教材同步备课2024春高中数学第6章第4课时余弦定理正弦定理应用举例课

第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理、正弦定理第4课时余弦定理、正弦定理应用举例学习任务1．能将实际问题转化为解三角形问题．(数学建模)2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题．(数学运算)必备知识·情境导学探新知01在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事．明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想．问题：月亮离我们地球有多远呢？科学家们是怎样测出来的呢？知识点基线

(1)定义在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做_____．(2)性质在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越___．基线高思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)基线选择不同，同一个量的测量结果可能不同． (

)(2)两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解． (

)√√关键能力·合作探究释疑难02类型1测量距离问题类型2测量高度问题类型3角度问题类型1测量距离问题【例1】

(源自人教B版教材)如图所示，A，B是某沼泽地上不便到达的两点，C，D是可到达的两点．已知A，B，C，D

四点都在水平面上，而且已经测得∠ACB＝45°，∠BCD＝30°，∠CDA＝45°，∠BDA＝15°，CD＝100m，求AB的长．

反思领悟

求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．[跟进训练]1．为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度为______m．6060

[由题意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC为等腰三角形．河宽即AB边上的高，这与AC边上的高相等，过B作BD⊥AC于D，∴河宽BD＝120·sin30°＝60(m)．]类型2测量高度问题【例2】如图所示，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王沿与河岸平行的方向向前走了1200m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，求电视塔CD的高度．

反思领悟

测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．[跟进训练]2．如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从点A测得点M的仰角∠MAN＝60°，点C的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从点C测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100m，则山高MN＝______m．150

类型3角度问题【例3】如图，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里的B处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ度的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C处追上乙船．问用多少小时追上乙船，并求sinθ的值．(结果保留根号，无需求近似值)

反思领悟

解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步．(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题．[跟进训练]3．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6nmile，渔船乙以5nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sinα的值．

学习效果·课堂评估夯基础0312341．某次测量中，A在B的北偏东55°，则B在A的(

)A．北偏西35°

B．北偏东55°C．南偏西35° D．南偏西55°√D

[如图所示．]

1234√

1234√

1234

241234(2)灯塔C与D处之间的距离为______海里．

回顾本节知识，自主完成以下问题：测量距离问题有哪些类型？如何求解？[提示]

当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型：类型简图计算方法A，B间不可达也不可视类型简图计算方法B，C与点A可视但不可达C，D与点A，B均可视不可达测得CD＝a及∠BDC，∠ACD，∠BCD，∠ADC的度数．在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB阅读材料·拓展数学大视野04

你能证明这个公式吗？“三斜求积