高考专题复习-二项式定理(解析版)

第2讲二项式定理1．二项式定理二项式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(r,n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)二项展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，它表示第r＋1项二项式系数二项展开式中各项的系数Ceq\o\al(r,n)(r∈{0,1,2，…，n})2．二项式系数的性质(1)Ceq\o\al(0,n)＝1，Ceq\o\al(n,n)＝1.Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n).(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).(3)当n是偶数时，项的二项式系数最大；当n是奇数时，与项的二项式系数相等且最大．(4)(a＋b)n展开式的二项式系数和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.【套路修炼】考向一通项公式的运用【例1】（1）(2x＋eq\r(x))5的展开式中，x3的系数是________．(用数字填写答案)（2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))3展开式中的常数项为。（3））(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为。（4）展开式中x2的系数为。【答案】（1）10（2）-20（3）30（4）-1280【解析】（1）Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)(2x)5－r·(eq\r(x))r＝25－rCeq\o\al(r,5)·，令5－eq\f(r,2)＝3，得r＝4，∴T5＝10x3，∴x3的系数为10（2）∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)－2))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))6，∴Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))r＝Ceq\o\al(r,6)(－1)rx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，∴常数项为Ceq\o\al(3,6)(－1)3＝－20.（3）法一：利用二项展开式的通项公式求解．(x2＋x＋y)5＝(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝Ceq\o\al(2,5)(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Ceq\o\al(1,3)x4·x＝Ceq\o\al(1,3)x5.所以x5y2的系数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,3)＝30.法二：利用组合知识求解．(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,1)＝30.（4）根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出项，第二个括号里出项，或者第一个括号里出，第二个括号里出，具体为：化简得到-1280x2【套路总结】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：【套路总结】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.【举一反三】1．展开式中项的系数是（）A．270 B．180 C．90 D．45【答案】A【解析】∵，∴展开式中项的系数为270，故选：A．2．在的展开式中，的系数是224，则的系数是（）A．14 B．28 C．56 D．112【答案】A【解析】因为在的展开式中，，令则，∴，再令，则为第6项．∴则的系数是14．故选：A3．在的展开式中，含项的系数为A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，含项的系数为.故选：B4．的展开式中的系数是（）A．27 B．-27 C．26 D．-26【答案】B【解析】展开式中的系数中的与展开式中项相乘，但展开式中没有项中的与展开式中项相乘，所以的系数是，故选B项.考向二二项式系数、系数【例2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【解析】根据所给的等式求得常数项，令，则在所给的等式中，令，可得：①令，则②用①②再除以可得用①②再除以可得在中，令，可得【套路总结】(1)【套路总结】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝eq\f(f1＋f－1,2)，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝eq\f(f1－f－1,2).【举一反三】1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为()A．－40 B．－20C．20 D．40【答案】D【解析】令x＝1得(1＋a)(2－1)5＝1＋a＝2，所以a＝1.因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5展开式中的常数项即为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5展开式中eq\f(1,x)的系数与x的系数的和.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5展开式的通项为Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(2x)5－k·(－1)k·x－k＝Ceq\o\al(k,5)25－kx5－2k·(－1)k.令5－2k＝1，得2k＝4，即k＝2，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5展开式中x的系数为Ceq\o\al(2,5)25－2(－1)2＝80.令5－2k＝－1，得2k＝6，即k＝3，因此eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5展开式中eq\f(1,x)的系数为Ceq\o\al(3,5)25－3·(－1)3＝－40.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))5展开式中的常数项为80－40＝40.2．若x4(x＋4)8＝a0＋a1(x＋3)＋a2(x＋3)2＋…＋a12(x＋3)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)＝（）.A．4 B．8 C．12 D．11【答案】D【解析】当x＝﹣2时，x+3＝1．等式化为：（﹣2）4•28＝a0+a1+a2+…+a12．∴a0+a1+a2+…+a12＝…①当x＝﹣4时，x+3＝﹣1．等式化为：（﹣4）4•08＝0＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a12…②上述①②两等式相相减有：a1+a3+…+a11＝（+0）＝，log2（a1+a3+…+a11）＝．故答案为：D．3．已知二项式展开式中含项的系数为，则实数的值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】二项式展开式中含项，根据二项式的展式的公式得到，令.此时的系数为故答案为：A.4．已知的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，则等于A． B．C． D．【答案】C【解析】二项式的各项系数的和为，二项式的各项二项式系数的和为，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为，所以，，故选C。考向三二项式定理单调性【例3】若(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为()A．200 B．110 C．210 D．150【答案】C【解析】由题意，n＝10，令30﹣5r＝0，∴r＝6∴展开式中的常数项为T7＝＝210故选C.【举一反三】1．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为（）A．10 B．42 C．50 D．182【答案】A【解析】因为的展开式中第4项的二项式系数为，且最大所以n=6所以多项式二项式的展开通项式为所以当k=4时，当k=3时，所以展开式中常数项为故选：A.2．若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是第（）项A．4B．3C．2D．1【答案】B【解析】展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴最大，n=10；∴展开式的通项公式为令，解得r=2，即展开式中的常数项是第3项．故选：B3．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中所有有理项的系数之和.【答案】（1）（2）-【解析】（1）由二项式定理得展开式中第项为，所以前三项的系数的绝对值分别为1，，，由题意可得，整理得，解得或（舍去），则展开式中二项式系数最大的项是第五项，（2）因为，若该项为有理项，则是整数，又因为，所以或或，所以所有有理项的系数之和为考向四整除【例4】(1)若S＝Ceq\o\al(1,27)＋Ceq\o\al(2,27)＋…＋Ceq\o\al(27,27)，求S除以9的余数．【答案】7【解析】S＝Ceq\o\al(1,27)＋Ceq\o\al(2,27)＋…＋Ceq\o\al(27,27)＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝Ceq\o\al(0,9)×99－Ceq\o\al(1,9)×98＋…＋Ceq\o\al(8,9)×9－Ceq\o\al(9,9)－1＝9(Ceq\o\al(0,9)×98－Ceq\o\al(1,9)×97＋…＋Ceq\o\al(8,9))－2.∵Ceq\o\al(0,9)×98－Ceq\o\al(1,9)×97＋…＋Ceq\o\al(8,9)是正整数，∴S被9除的余数为7.【举一反三】1．设n∈N+,则7+72+…+7n除以9的余数为()A．0B．2C．7D．0或7【答案】D【解析】79,当为偶数时,余数为0,当为奇数时,余数为7，故选D.2．可以整除（其中）的是（）A．9B．10C．11D．12【答案】C【解析】.故能整除（其中）的是11.故选C.3．除以的余数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，即除以100的余数为41，故选B.4．237除以17，所得余数是（）A．－1B．－2C．15D．16【答案】C【解析】在上述展开式中不能被17整除，即余数为15，故选:C考向五求近似值【例5】_____（小数点后保留三位小数）．【答案】【解析】【套路总结】1.利用二项式定理进行近似计算：当【套路总结】1.利用二项式定理进行近似计算：当n不很大，|x|比较小时，（1＋x）n≈1＋nx.2.利用二项式定理证明整除问题或求余数问题：在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式数展开后的每一项都有除式的因式，要注意变形的技巧.【举一反三】1.求1.025的近似值．(精确到两位小数)【答案】1.10【解析】1.025＝(1＋0.02)5＝1＋Ceq\o\al(1,5)×0.02＋Ceq\o\al(2,5)×0.022＋…＋Ceq\o\al(5,5)×0.025≈1＋5×0.02＝1.10.【套路运用】1．设，若与的二项展开式中的常数项相等，则（）A．4 B．-4 C．2 D．-2【答案】A【解析】的展开式的通项公式为，令得到，故该展开式中的常数项为.的展开式的通项公式为，令得到，故该展开式中的常数项为.因常数项相等，故，解得，故选A.2．已知二项式的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为A．20 B．C．40 D．【答案】B【解析】由题意得：，即n=6，则该展开式的通项为，令6−2r=0，得r=3，所以该展开式中的常数项为.故选B．3．若(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋an(1－x)n，则a0－a1＋a2－…＋(－1)nan等于A．(3n－1)B．(3n－2)C．(3n－2)D．(3n－1)【答案】D【解析】在展开式中，令x＝2得3＋32＋33＋…＋3n＝a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan，即a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan＝．故选D.4．若的展开式中的系数为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意二项式的展开式为，展开式的为，所以，解得，故选D.5．已知f(x)＝|x＋2|＋|x－4|的最小值为n，则二项式展开式中x2项的系数为()A．11B．20C．15D．16【答案】C【解析】∵f（x）=|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，故函数的最小值为6，再根据函数的最小值为n，∴n=6．则二项式（x﹣）n=（x﹣）6展开式中的通项公式为Tr+1=•（﹣1）r•x6﹣2r，令6﹣2r=2，求得r=2，∴展开式中x2项的系为=15，故选：C．6．记，则（）A．81 B．365 C．481 D．728【答案】B【解析】令x=0得1=，令x=-2得，所以.故选：B7．，则A． B． C．64 D．65【答案】B【解析】，令，可得，再令，，，故选：B．8．已知的展开式中常数项为-40，则的值为（）A．2 B．-2 C．±2 D．4【答案】C【解析】的展开式的通项为x5﹣2r．取5﹣2r＝﹣1，得r＝3，取5﹣2r＝0，得r（舍）．∴的展开式中常数项为，得a＝±2．故选：C．9．的展开式中，的系数为（）A．-10 B．-5C．5 D．0【答案】B【解析】要求的系数，则的展开式中项与相乘，项与-1相乘，的展开式中项为，与相乘得到，的展开式中项为，与-1相乘得到，所以的系数为.故选B.10．的展开式的常数项是（）A．-3 B．-2 C．2 D．3【答案】D【解析】，∴展开式的常数项.故选:D.11．多项式的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的系数是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵的展开式中各项系数和为3，令x=1,∴（1+a）＝3，解得a＝2．∴＝（+），的展开式中常数项为，含的项的系数为．∴（+）的展开式中项的系数是2×（﹣12）+1×（﹣160）＝﹣184故选：A12．若展开式中含项的系数为21，则实数的值为（）A．3 B．-3 C．2 D．-2【答案】A【解析】展开式的通项公式为所以令，此时含的项的系数为，又令，舍去，所以含项的系数为，所以，得.故选A.13．被49除所得的余数是A．B．C．D．【答案】B【解析】由题可得，=是正整数）=是正整数）.所以被49整除，所以余数为0.故选B．14．若为正奇数，则被9除所得的余数是()A．0B．2C．7D．8【答案】C【解析】原式，为正奇数，，则余数为7，故选C.15．若二项式的展开式中的系数为，则展开式中除常数项外其余各项系数之和为____________．【答案】【解析】由题意，二项式的展开式的通项公式为，令，得，所以展开式中的系数为，解得．令，得，所以展开式中的常数项为．令，得展开式中所有项系数之和为，所以展开式中除常数项外其余各项系数之和为．16．已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中的二项式系数为_______.【答案】10【解析】令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5．∴的．令，则∴展开式中的二项式系数为故答案为：10．17．设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则___．【答案】7【解析】展开式中二项式系数的最大值为，展开式中二项式系数的最大值为，因为所以即：解得：18．已知的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则多项式展开式中的常数项为______．【答案】【解析】由的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以．多项式的通项公式：，其中．考虑展开式中的常数项和含的项：（1）令，则，（2）令，则，故常数项为．故答案为：35．19．在的展开式中，二项式系数之和为，所有项的系数之和为，若，则__________．【答案】4【解析】，，故.20．的展开式中的系数是______.（用数字作答）.【答案】120【解析】由二项式定理可知的系数是：的展开式中的系数是120.21．若的展开式中所有项的系数和为96，则展开式中含项的系数是___【答案】20【解析】当时，的展开式中所有项的系数和为，解得；展开式的通项公式，可得展开式中含项：；即展开式中含项的系数为.故答案为.22．展开式中的系数为________________【答案】15【解析】因为二项式展开式的通项为，分别令可得，因为是正整数，所以，所以时，；时，，因此展开式中的系数为.故答案为1523．在的展开式中，常数项为_____．【答案】-40【解析】∵（x﹣2）＝（x6+6x4+15x2+20+15•6•）（x﹣2），∴常数项是20•（﹣2）＝﹣40，故答案为：﹣40．24．在的展开式中，含的项的系数是__________．【答案】-9【解析】表示三个相乘，所以展开式中含的项有两种情况：（1）从三个选取一个然后取，再从剩余的两个中分别选取，所得结果为；（2）从三个选取两个分别取，再从剩余的一个中选取，所得结果为．综上可得展开式中含的项为．故答案为：．25．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝__________．【答案】12【解析】由于512012+a＝（52﹣1）2012+a除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，故由题意可得a能被13整除，再由0≤a＜13，可得a＝12，故答案为12．26．已知，记，则的展开式中各项系数和为__________．【答案】【解析】根据定积分的计算，可得，令，则，即的展开式中各项系数和为.27．_____（小数点后保留三位小数）．【答案】【解析】28．已知能被25整除，则最小值A=_____________________【答案】4【解析】由，当时，，此时，当时，；