(完整版)平面向量题型归纳总结

平面向量题型归纳一．向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】1．向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：或。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？〔向量可以平移〕。例：A〔1,2〕，B〔4,2〕，那么把向量按向量＝〔－1,3〕平移后得到的向量是：向量的大小〔或长度〕，记作：或。3．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；4．单位向量：单位向量：长度为1的向量。假设是单位向量，那么。(与共线的单位向量是)；5．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；6．平行向量〔也叫共线向量〕：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！〔因为有)；④三点共线共线；BDCABDCAA.B.C.D.7．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－、。例：以下命题：〔1〕假设，那么。〔2〕假设，那么。〔6〕假设，那么。〔3〕假设，那么是平行四边形。〔4〕假设是平行四边形，那么。其中正确的选项是_______题型1、根本概念1：给出以下命题：=1\*GB3①假设||＝||，那么=；=2\*GB3②向量可以比拟大小；=3\*GB3③方向不相同的两个向量一定不平行；④假设=，=，那么=；⑤假设//，//，那么//；=6\*GB3⑥；=7\*GB3⑦；其中正确的序号是。2、根本概念判断正误：〔1〕共线向量就是在同一条直线上的向量。〔2〕假设两个向量不相等，那么它们的终点不可能是同一点。〔3〕与向量共线的单位向量是唯一的。〔4〕四边形ABCD是平行四边形的条件是。〔5〕假设，那么A、B、C、D四点构成平行四边形。〔6〕因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。〔7〕假设与共线，与共线，那么与共线。〔8〕假设，那么。〔9〕假设，那么。〔10〕假设与不共线，那么与都不是零向量。〔11〕假设，那么。〔12〕假设，那么。二、向量加减运算8.三角形法那么：；；〔指向被减数〕：以为临边的平行四边形的两条对角线分别为，。1、化简。2、,,那么的最大值和最小值分别为、。3、在平行四边形中，假设，那么必有()A.B.C.是矩形D.是正方形1、计算：〔1〕〔2〕1、向量，如以下图，请做出向量和。在中，是的中点，请用向量表示。在平行四边形中，，求。1、，那么。练习：假设物体受三个力,,,那么合力的坐标为。2、，，那么点的坐标是。3、.，，求，，。,向量与相等，求的值。5、是坐标原点，，且，求的坐标。平面向量的根本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。1、是平面内的一组基底，判断以下每组向量是否能构成一组基底：B.C.D.练习：以下各组向量中，可以作为基底的是〔〕(A)(B)(C)(D)2、.，能与构成基底的是〔〕A.B.C.D.3、知向量e1、e2不共线，实数(3x-4y)e1＋(2x-3y)e2=6e1+3e2,那么x－y的值等于4、设是两个不共线的向量，，假设A、B、D三点共线，求k的值.5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，两点A(3,1),B(-1,3),假设点C(x,y)满足=α+β，其中α,β∈R且α+β=1，那么x,y所满足的关系式为〔〕A．3x+2y-11=0B．(x-1)2+(y-2)2=5C．2x-y=0D．x+2y-5=0四．平面向量的数量积：1．两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。例1、分别是的边上的中线,且,那么可用向量表示为_____例2、中，点在边上，且，，那么的值是平面向量的数量积：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积〔或内积或点积〕，记作：，即＝。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。3．向量的运算律：1．交换律：，，；2．结合律：，；3．分配律：，。题型8：有关向量数量积的判断1：判断以下各命题正确与否：〔1〕；〔2〕假设，那么当且仅当时成立；〔3〕；〔4〕对任意向量都成立；〔5〕假设，那么；〔6〕对任意向量，有。(7)m〔〕=m+m其中正确的序号是。2、以下命题中：①；②；③；④假设，那么或；⑤假设那么；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正确的选项是______题型9、求单位向量【与平行的单位向量：】平行的单位向量是平行的单位向量是题型10、数量积与夹角公式：；向量的模：假设，那么，，1、△ABC中，，，，那么_________2、，与的夹角为，那么等于____3、，且与的夹角为，求〔1〕，〔2〕，〔3〕，〔4〕。4、是两个非零向量，且，那么的夹角为____5、，求与的夹角。6、，，，求。7、非零向量满足，那么的夹角为8：中,,那么与的夹角为9：向量与向量的夹角为120°，假设向量=+，且⊥，那么的值为10：||＝1||＝2，|＋|＝2，那么与2-的夹角余弦值为．11：向量｜｜=，｜｜=2，和的夹角为，当向量+与+的夹角为锐角时，求的取值范围。题型11、求向量的模的问题如向量的模：假设，那么，，1、零向量2、向量满足3、向量，4、向量的最大值为5、设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，(A)8(B)4(C)2(D)16、设向量，满足及，求的值练习：向量满足求7、设向量，满足8、向量、满足，，那么|－|的最大值是最小值是。题型12、结合三角函数求向量坐标是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标。是原点，点在第一象限，，，求的坐标。五、平行与垂直知识点：；题型13：向量共线问题1、平面向量，平面向量假设∥，那么实数2、设向量假设向量与向量共线，那么3、向量假设平行，那么实数的值是〔〕A．-2 B．0 C．1 D．2练习：设，那么k＝_____时，A,B,C共线5、不共线，，如果∥，那么k=,与的方向关系是练习：，，，且，那么x＝______6、向量∥，那么题型14、向量的垂直问题1、向量，那么实数的值为2、向量练习：=〔1，2〕，=〔-3，2〕假设k+2与2-4垂直，求实数k的值3、单位向量4、练习：∥，5、以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，那么点B的坐标是________题型15、在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。1、，，且，那么向量在向量上的投影为______2、，是单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影为。练习：，的夹角，那么向量在向量上的投影为题型16、三点共线问题，，，求证：三点共线。，求证：三点共线。练习：，那么一定共线的三点是。，，假设点在直线上，求的值。，，，，是否存在常数，使成立？5：是平面内不共线两向量，，假设三点共线，那么=6：★设O是直线外一定点，A、B、C在直线上，且,那么=7：设，是两个不共线向量，假设与起点相同，t∈R，t=时，，t，(＋)三向量的终点在一条直线上。8：如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，假设eq\o(AB,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝neq\o(AN,\s\up6(→))，那么m＋n的值为__________________．9:在△OAB的边OA，OB上分别取点M，N，使|eq\o(OM,\s\up6(→))|∶|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝1∶3，|eq\o(ON,\s\up6(→))|∶|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1∶4，设线段AN与BM交于点P，记eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，用a，b表示向量eq\o(OP,\s\up6(→)).练习：如图，在△OAB中，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，AD与BC交于点M，设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a、b表示eq\o(OM,\s\up6(→))；(2)在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设eq\o(OE,\s\up6(→))＝peq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OF,\s\up6(→))＝qeq\o(OB,\s\up6(→))，求证：eq\f(1,7p)＋eq\f(3,7q)＝1.六、线段的定比分点：1．定比分点的概念：设点P是直线PP上异于P、P的任意一点，假设存在一个实数，使，那么叫做点P分有向线段所成的比，P点叫做有向线段的以定比为的定比分点；2．的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段PP上时>0；当P点在线段PP的延长线上时<－1；当P点在线段PP的延长线上时；例1、假设点分所成的比为，那么分所成的比为_______3．线段的定比分点公式：设、，分有向线段所成的比为，那么，特别地，当＝1时，就得到线段PP的中点公式。题型17、定比分点2、假设M〔-3，-2〕，N〔6，-1〕，且，那么点P的坐标为_______3、，直线与线段交于，且，那么等于七、平移公式：如果点按向量平移至，那么；曲线按向量平移得曲线.注意：〔1〕函数按向量平移与平常“左加右减〞有何联系？〔2〕向量平移具有坐标不变性，题型18、平移1、按向量把平移到，那么按向量把点平移到点______2、函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是，那么＝________八、向量中一些常用的结论：〔1〕一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；〔2〕，特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比拟类似).〔3〕在中，①假设，那么其重心的坐标为。如1、假设⊿ABC的三边的中点分别为〔2，1〕、〔-3，4〕、〔-1，-1〕，那么⊿ABC的重心的坐标为_______②为的重心，特别地为的重心；③为的垂心；④向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；⑤的内心；〔3〕假设P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，那么，特别地为的中点；〔4〕向量中三终点共线存在实数使得且.如2、平面直角坐标系中，为坐标原点，两点,,假设点满足,其中且,那么点的轨迹是_______题型19、判断多边形的形状，，且,那么四边形的形状是。，，，，证明四边形是梯形。，，，求证：是直角三角形。4、在△ABC中，假设，那么△的形状为 〔〕A．等腰三角形B．等边三角形 C．等腰直角三角形D．直角三角形5、在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直角三角形。6、平面四边形中，，，，，且，判断四边形的形状．题型20：三角形四心1、的三个顶点A、B、C及所在平面内的一点P，假设那么点P是ABC的〔〕重心B．垂心C．内心D．外心2.点是三角形所在平面上一点，假设,那么是三角形的〔〕内心〔B〕外心〔C〕重心〔D〕垂心3、点是三角形所在平面上一点，假设，那么是三角形的〔〕内心〔B〕外心〔C〕重心〔D〕垂心练习、O，N，P在所在平面内，且，且，那么点O，N，P依次是的〔〕〔A〕重心外心垂心〔B〕重心外心内心〔C〕外心重心垂心〔D〕外心重心内心★在平面内有ABC和点O，假设，那么点O是ABC的重心B．垂心C．内心D．外心5、点是平面上一个定点，、、是平面内不共线三点，动点满足,，那么动点一定通过的〔〕〔A〕内心〔B〕外心〔C〕重心〔D〕垂心6、点是平面上一个定