高中物理竞赛-话题12：物体平衡条件的问题

PAGEPAGE1话题12：物体平衡条件的问题一、共点力的平衡个力、、同时作用在物体上，若各力的作用线相交于一点，则称为共点力，如图所示。作用在刚体上的力可沿作用线前、后滑移而不改变其力学效应。当刚体受共点力作用时，可把这些力沿各自的作用线滑移，使都交于一点，于是刚体在共点力作用下处于平衡状态的条件是：合力为零。

用分量式表示：

例1、半径为的刚性球固定在水平桌面上，有一质量为的圆环状均匀弹性细绳圈，原长为,，绳圈的弹性系数为。将圈从球的正上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，最后停留在平衡位置。考虑重力，不计摩擦。①设平衡时绳圈长，,求值。②若，求绳圈的平衡位置。分析：设平衡时绳圈位于球面上相应于角的纬线上。在绳圈上任取一小元段，长为，质量为，今将这元段作为隔离体，侧视图和俯视图分别由图示和表示。

元段受到三个力作用：重力方向竖直向下；球面的支力方向沿半径指向球外；两端张力，张力的合力为位于绳圈平面内，指向绳圈中心。这三个力都在经线所在平面内，如图示所示。将它们沿经线的切向和法向分解，则切向力决定绳圈沿球面的运动。

解：由力图知：合张力沿经线切向分力为：重力沿径线切向分力为：

当绳圈在球面上平衡时，即切向合力为零。

由以上三式得

式中,,由题设：,。把这些数据代入式得。于是。若时，，而。此时式变成

,即,平方后得。在的范围内，上式无解，即此时在球面上不存在平衡位置。这时由于值太小，绳圈在重力作用下，套过球体落在桌面上。例2、四个相同的球静止在光滑的球形碗内，它们的中心同在一水平面内，今以另一相同的球放以四球之上。若碗的半径大于球的半径倍时，则四球将互相分离。试求值。分析：设每个球的质量为，半径为，下面四个球的相互作用力为，如图示所示。又设球形碗的半径为，为球形碗的球心，过下面四球的球心联成的正方形的一条对角线作铅直剖面。如图所示。当系统平衡时，每个球所受的合力为零。由于所有的接触都是光滑的，所以作用在每一个球上的力必通过该球球心。

上面的一个球在平衡时，其重力与下面四个球对它的支持力相平衡。由于分布是对称的，它们之间的相互作用力，大小相等以表示，方向均与铅垂线成角。下面四个球，由于分布的对称性，每个球受另外两个球的合作用力是一个水平力，方向垂直于碗的轴线。除水平力外，还有重力mg，碗对球的支力，上球的压力，这四个力都通过该球球心，并位于同一平面内，如图所示。解：以球为隔离体，把它所受的力分解为水平分量和垂直分量。

以上球为隔离体

联立以上三式解出：。

当下面四球之间的相互作用为零，即，得。如时，下面四球将互相分离。又

由图形看出。

代入式得。此时下面的四个球互相分离，。例3、个半径均为的光滑球静止于一个水平放置的半球形碗内，该球球心恰在同一水平面上，现将相同的第个球放在前述球之上，而此系统仍能维持平衡，求碗的半径为多少？解、设碗半径为，五球球心在棱长为的正四棱锥顶点，下四球与碗切于，下四球接触而无挤压，球在碗中方位如图乙，上球对每个下球压力设为，.碗对下球支持力设为，方向与竖直方向成角，则有，得，由丙图所示几何关系有，得，增大，平衡被破坏，减小，五球方位不变，但下四球间有挤压，及至最小时，下四球恰切于碗边，如丁图所示，此时球受力不是三个力，而是五个力。，综上可得，碗半径应为。例4、四个半径相同的均质球放在光滑的水平面上，堆成锥形，下面三个球用细绳捆住，绳子与这三个球的球心共面。已知各球均重，要使下面三球接触且它们之间恰好无弹力，试求绳子的张力。解、连接四球体的球心，得如图所示的正四面形（三维图），并可求得以下面三个球中的其中一个球为研究对象，作出竖直平面受力分析图（竖直平面图）如图，可得上球对下球的压力的水平分量作出水平平面受力分析图（水平平面图）如图，有二、共面力的平衡

作用在刚体上的所有力都位于同一平面，这些力就叫做共面力。设共面力所在的平面是平面，刚体在平面力作用下平衡的条件是：合力为零和对任一点所有力矩之和为零，即

例5、有个完全相同的刚性长薄片，其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量忽略不。将此个薄片架在一只水平的碗上，使每个薄片一端的小突起恰好落在碗口上，另一端小突起位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图表所示。若将一质量为的质点放置在薄片上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起的距离。求：薄片中点所受的（由另一薄片的小突起所施的）压力。分析：设对中点所施的压力为，方向向下；将为隔离体，以为支点，可看出所受的压力为；同理将为隔离体，以为支点可得所受的压力考虑薄片，以为支点得所受的压力是。解：考虑薄片，以为支点的力矩平衡方程，

解出：。例6．三个完全相同的圆柱体，如图叠放在水平桌面上，将柱放上去之前，、两柱体之间接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦因数为，柱体与柱体之间的摩擦因数为，若系统处于平衡，与必须满足什么条件？分析和解：这是一个物体系的平衡问题，因为、、之间相互制约着而有单个物体在力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。设每个圆柱的重力均为，首先隔离球，受力分析如图所示，由可得再隔离球，受力分析如图所示，由得由得由得由以上四式可得，而，，例7、有一半径为的圆柱体静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触现有另一质量与相同，半径为的较细圆柱体，用手扶着圆柱体，将放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．已知圆柱体与地面的动摩擦因数为，两圆柱体之间的动摩擦因数为.若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱体与墙面间的动摩擦因数和圆柱体的半径的值各应满足什么条件？解．圆柱体、的受力情况如图所示．圆柱体倾向于向左移动，对墙面没有压力，平衡是靠各接触点的摩擦力维持的．现设系统处于平衡状态，列出两圆柱体所受力和力矩的平衡方程．圆柱体：圆柱体：由于，由得又因，联立，可得首先讨论圆柱体B与墙面的接触点，接触点不发生滑动的条件为：由式可得，所以再讨论圆柱体A与地面的接触点的情形，圆柱体A在地面上不发生滑动的条件是：由图可知：由三式以及可以求得：即只有当时，圆柱体在地面上才能不滑动．最后讨论两圆柱的接触点，接触点不发生滑动的条件为：由两式以及可解得显然，在平衡时，的上限为，故可得到应满足的条件为：所以，圆柱体与墙面接触点不发生滑动的条件为，圆柱体与地面接触点不发生滑动的条件为，两圆柱体接触不发生滑动的条件为，圆柱体的半径的值各应满足的条件为.例8、一锁链由个相同的链环组成，每两个链环间的接触是光滑的，锁链两端分别在一不光滑的水平铁丝上滑动，它们的摩擦系数μ。证明：当锁链在铁丝上相对静止时，末个链环与铅垂线交角为.分析：如图所示，由于对称性，锁链两端与铁丝接触点，的垂直作用力，是每个链环的质量。铁丝对锁链端点的摩擦力。

解：设链环的长为，重心在其中心，取右端第一个链环为隔离体，当它平衡时对通过点垂直于纸面的轴的合力矩为零以、之值代入，即可解得：。三、物体在力系作用下的平衡物体在力系作用下的平衡问题中常常有摩擦力，而摩擦力与弹力的合力凡与接触面法线方向的夹角不能大于摩擦角，这是判断物体不发生滑动的条件．在解题中经常用到摩擦角的概念．例9、如图所示，有两根不可伸长的柔软的轻绳，长度分别为和，它们的下端在点相连接并悬挂一质量为的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环、相连，圆环套在圆形水平横杆上．、可在横杆上滑动，它们与横杆间的动摩擦因数分别为和，且。试求和在各种取值情况下，此系统处于静态平衡时两环之间的距离。分析和解：本题解题的关键是首先根据物体的平衡条件，分析小环的受力情况得出小环的平衡条件，由图可知定义，为摩擦角，在得出摩擦角的概念以后，再由平衡条件成为展开讨论则解此题就方便多了。即由情况：绳松弛的情况，不论、为何值，一定平衡。情况：二绳均张紧的情况（图）环不滑动的条件为：，即于是有又由图知所以，若要端不滑动，必须满足根据对称性，只要将上式中的下角标、对调，即可得出端不滑动时，必须满足的条件为：如果系统平衡，两式必须同时满足。从式可以看出，可能取任意正值和零，当时，只能取最小值，此时，拉直但无张力。从式可以看出的取值满足否则无解，时，取最小值。综上所述，的取值范围为：情况：松弛，、为任意非负数。情况：张紧[两式右边较小的]，为任意非负数，。四、一般物体平衡条件的问题一般物体平衡条件的问题主要又分为刚体定轴转动平衡问题和没有固定转动轴的刚体转动平衡问题，这类问题要按一般物体平衡条件来处理，要么既要考虑力的平衡，又要考虑力矩平衡来求解；要么就要考虑以哪点为转动轴或哪点先动的问题。例10、质量分别为和的两个小球用长度为的轻质硬杆连接，并按图所示位置那样处于平衡状态．杆与棱边之间的摩擦因数为，小球与竖直墙壁之间的摩擦力可以不计．为使图示的平衡状态不被破坏，参数、、、、和应满足什么条件？分析和解：本题是一道典型的刚体定轴转动平衡问题，解题时对整体进行受力分析，但物体的平衡不是共点力的平衡，处理时必须用正交分解法，同时还要考虑力矩的平衡，受力分析如图，根据力的平衡条件可列出：根据力矩平衡条件可写出：杆不滑动的条件为。由得，即用除得杆不向右翻倒的条件为。由和可得出由此可得将中的代人得由于，再考虑不等式，可得为了在不等式中能同时满足最后两个不等号，就必须满足条件：由此可得平衡条件为：，如果，就不可能出现平衡．例11、如图，匀质杆长，搁在半径为的圆柱上，各接触面之间的摩擦因数均为，求平衡时杆与地面的夹角应满足的关系．分析和解：本题也是一个一般物体的平衡问题与上题的区别在于没有固定转动轴，所以这个问题的难点在于系统内有三个接触点，三个点上的力都是静摩擦力，不知道哪个点最先发生移动．我们先列出各物体的平衡方程：设杆和圆柱的重力分别为和。对杆对柱以上七个方程中只有六个有效，由式可知，,又因为,所以一定是处比处容易移动,再来比较处和处.如果是处先移动,必有,代入式,可得,将此结果代入式,即有在这种情况下,如要,必须有杆要能搁在柱上，当然要因此在时,.如果是处先移动，必有，代入式，可有满足式的即为平衡时的，这时要求，须有综上所述当时，。当时，应满足。例12、如图所示，长为的均匀木杆,重量为，系在两根长均为的细绳的两端，并悬挂于点，在、两端各挂一重量分别为、的两物，求杆处于平衡时，绳与竖直方向的夹角．解：以整体为研究对象，并以为转动轴，其受力情况如图所示，设与竖直线夹角为，与竖直线夹角为，因为为等边三角形，为边的中点，所以，，即，，，，，以为转动轴，则由刚体的平衡条件可知，即展开后整理得：所以，处于平衡时，绳与竖直方向的夹角为例13、一长为的均匀薄板与一圆筒按图所示放置，平衡时，板与地面成角，圆筒与薄板相接触于板的中心．板与圆筒的重量相同均为．若板和圆筒与墙壁之间无摩擦，求地面对板下端施加的支持力和静摩擦力．解：如图所示，圆筒所受三个力沿水平和竖直方向平衡的分量式为，板所受五个力沿水平和竖直方向平衡的分量式为板所受各力对圆筒和板的交点为转动轴的力矩平衡方程为根据牛顿第三定律，有联立以上各式，可解得地面对板的支持力和静摩擦力分别为，例14、如图所示，两把相同的均匀梯子和，由端的铰链连起来，组成人字形