浙江省杭州市余杭临平职业中学高三数学理模拟试卷含解析

浙江省杭州市余杭临平职业中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设函数，则下列结论正确的是A．的图像关于直线对称

B．的图像关于点对称C．的最小正周期为

D．在上为增函数参考答案：D2.下列选项中正确的是（

）A．若且，则；B．在数列中，“”是“数列为递增数列”的必要非充分条件；C．命题“所有素数都是奇数”的否定为“所有素数都是偶数”；D．若命题为真命题，则其否命题为假命题；参考答案：B略3.已知直二面角α-l–β，点A∈α，AC⊥l,C为垂足，点B∈β，BD⊥l,D为垂足.若AB=2，AC=BD=1，则CD=

（A）2

（B）

（C）

（D）1参考答案：C.1本题主要考查了二面角和线面垂直的性质和判定，难度较低。如图：因为二面角为直二面角，所以,,有勾股定理得,又，所以法2.如图，作于E，由为直二面角，得平面，进而，又，于是平面ABC，故DE为D到平面ABC的距离.在中，利用等面积法得.4.等差数列中，已知，，使得的最小正整数n为A．7

B．8

C．9

D．10参考答案：B略5.若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（

）A．-3

B．-2

C.-1

D．1参考答案：A试题分析：画出约束条件表示的可行域如图，由图知，当直线平移经过点时标函数的最小值为：，故选A.考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.6.在样本颇率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为(

)A．28 B．40 C．56 D．60参考答案：B【考点】频率分布直方图．【专题】概率与统计．【分析】设中间一组的频数为x，利用中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，建立方程，即可求x．【解答】解：设中间一组的频数为x，因为中间一个小长方形的面积等于它8个长方形的面积和的，所以其他8组的频数和为，由x+=140，解得x=40．故选B．【点评】本题主要考查频率直方图的应用，比较基础．7.函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，则y=f（x）的定义域为(

)A．[﹣1，1] B．[，1] C．[0，1] D．[﹣1，0]参考答案：A【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据复合函数的定义域之间的关系即可求出函数的定义域．【解答】解：∵函数y=f（2x﹣1）的定义域为[0，1]，∴0≤x≤1，则0≤2x≤2，即﹣1≤2x﹣1≤1，即函数y=f（x）的定义域为[﹣1，1]．故选：A．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，利用复合函数之间的关系即可求出函数的定义域．8.函数的单调递增区间（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.下列函数中，既是偶函数，又在（﹣∞，0）上单调递减的函数是（）A．y=﹣x2 B．y=2﹣|x| C． D．y=lg|x|参考答案：D【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】探究型；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性与函数的单调性即可得到结果．【解答】解：y=﹣x2，y=2﹣|x|，，y=lg|x|都是偶函数，但是y=lg|x|在（﹣∞，0）上单调递减．故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断，是基础题．10.（5分）将函数y=2sin2x图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y=f（x）的图象，则f（x）等于（） A． 2sin（x﹣） B． 2sin（x﹣） C． 2sin（4x﹣） D． 2sin（4x﹣）参考答案：D考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 直接由函数图象的平移得答案．解答： 将函数y=2sin2x图象上所有点向右平移个单位，所得图象的解析式为y=2sin（2x﹣），然后把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到y=f（x）的图象的解析式为f（x）=2sin（4x﹣）．故选：D．点评： 本题考查了y=Asin（ωx+φ）型函数图象的平移，注意变化顺序是关键，是中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若为偶函数,则实数________.参考答案：4略12.在四边形ABCD中，,,,,则的最大值为

．参考答案：8考点：解斜三角形在中，因为，所以

所以点D在以AC为直径的圆上。设AC的中点为O，当BD过O时最大。

在中，AB=7，AO=3，,

所以由余弦定理有：

又OD=R=3，所以BD的最大值为：5+3=8.

故答案为：813.在直角坐标平面，以(199,0)为圆心，199为半径的圆周上整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为________．参考答案：4个．(199，±199)，(0，0)，(398，0)解：把圆心平移至原点，不影响问题的结果．故问题即求x2+y2=1992的整数解数．显然x、y一奇一偶，设x=2m，y=2n－1．且1≤m，n≤99．则得4m2=1992－(2n－1)2=(198+2n)(200－2n)．m2=(99+n)(100－n)≡(n－1)(－n)(mod4)由于m为正整数，m2≡0，1(mod4)；(n－1)(－n)≡二者矛盾，故只有(0，±199)，(±199，0)这4解．∴共有4个．(199，±199)，(0，0)，(398，0)．14.圆心在原点上且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________________．参考答案：x2+y2=215.已知函数，在函数的定义域内任取一点，使得的概率是___________．

参考答案：

略16.过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若|AB|=8，则线段AB中点的横坐标为

．参考答案：3考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=4x，可得焦点F（1，0），若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4，不符合条件，舍去．设直线l的方程为：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立可得：y2﹣4my﹣4=0，利用根与系数的关系及其弦长公式：|AB|=，解得m．再利用中点坐标公式即可得出．解答： 解：由抛物线y2=4x，可得焦点F（1，0），若AB⊥x轴，则|AB|=2p=4，不符合条件，舍去．设直线l的方程为：my=（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为y2﹣4my﹣4=0，∴y1+y2=4m，y1y2=﹣4．∴|AB|===8，化为m2=1，解得m=±1，当m=1时，联立，化为x2﹣6x+1=0，∴x1+x2=6，因此=3．同理可得：m=﹣1时，=3．∴线段AB中点的横坐标为3．故答案为：3．点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.已知函数

则________;若，则实数的取值范围是_______________.参考答案：-5;，所以。由图象可知函数在定义域上单调递减，所以由得，，即，解得，即实数的取值范围是。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，求锐二面角A﹣A1C﹣B的大小．参考答案：考点：用空间向量求平面间的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）取A1B的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面A1BC，从而AD⊥BC，由线面垂直得AA1⊥BC．由此能证明AB⊥BC．（2）连接CD，由已知条件得∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大小．解答： （本小题满分14分）（1）证明：如右图，取A1B的中点D，连接AD，…因AA1=AB，则AD⊥A1B…由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，…得AD⊥平面A1BC，又BC?平面A1BC，所以AD⊥BC．…因为三棱柱ABC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC．又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB?侧面A1ABB1，故AB⊥BC．…（2）解：连接CD，由（1）可知AD⊥平面A1BC，则CD是AC在平面A1BC内的射影∴∠ACD即为直线AC与平面A1BC所成的角，则…在等腰直角△A1AB中，AA1=AB=2，且点D是A1B中点∴，且，∴…过点A作AE⊥A1C于点E，连DE由（1）知AD⊥平面A1BC，则AD⊥A1C，且AE∩AD=A∴∠AED即为二面角A﹣A1C﹣B的一个平面角，…且直角△A1AC中：又，∴，且二面角A﹣A1C﹣B为锐二面角∴，即二面角A﹣A1C﹣B的大小为．…点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.如图，椭圆经过

点P（1，），离心率，直线的方程

为x=4．

(l)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为问：是否存在常数,使得．若存在求的值；若不存在，说明理由．参考答案：略20.（本小题满分12分）

如图，平面平面为等边三角形，，过作平面交分别于点。（1）求证：；（2）设，求的值，使得平面与平面所成的锐角的大小。参考答案：（1）见解析；（2）

【知识点】与二面角有关的立体几何综合题．G10G11解析：（1）证明：如图以点C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz，不妨设CA=1，CB=t（t＞0），，则C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，t，0），，．由，得，，．=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量，且，故．又因为MN?平面ABC，即知MN∥平面ABC．…（6分）（2）解：，，设平面CMN的法向量，则，，可取，又=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量．由，以及θ=45°得，即2λ2+4λ﹣4=0．解得（将舍去），故．…（14分）【思路点拨】（1）以点C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz，利用向量法能证明MN∥平面ABC．（2）分别求出平面CMN的法向量和平面ABC的法向量，由此利用向量法能求出．21.(本小题满分12分)已知椭圆C:的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切。（I）求椭圆C的方程；（II）若过点M(2，0)的直线与椭圆C交于两点A和B，设P为椭圆上一点，且满足·（O为坐标原点），当时，求实数t取值范围。参考答案：(Ⅰ)由题意知，短半轴长为：，…………1分∵，∴，即，∴，

…………2分故椭圆的方程为：.

………………3分（Ⅱ）由题意知，直线的斜率存在，设直线：，……4分设，，，由得，.…………5分，解得.

…………6分.∵，∴，解得，.

………………7分∵点在椭圆上，∴，∴.

………8分∵，∴，∴，∴，∴，∴

…10分∴，∵，∴，∴或，∴实数取值范围为.

………………12分22.已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan+1对?n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．参考答案：【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和；8G：等比数列的性质．【分析】（I）设出此等差数列的公差为d，根据等差数列的前n项和公式化简S4=14得到关于首项和公差的关系式，又a1，a3，a7成等比数列，根据等比数列的性质得到关于首项和公差的另一关系式，两关系式联立即可求出首项和公差，根据首项和公差写出等差数列{an}的通项公式即可；（II）把（I）中求出的数列{an}的通项公式代入数列中，根据=﹣，列举出数列的前n项和的每一项，抵消后得到Tn的通项公式，将求出的Tn的通项公式和an+1的通项公式代入已