广东省佛山市沙滘中学高三数学理摸底试卷含解析

广东省佛山市沙滘中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列说法正确的是（

）A．命题“若，则”的否命题是“若，则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“若，则”的逆否命题是真命题D．“”是“”的充分不必要条件参考答案：C略2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，根据图中数据计算体积．【解答】解：由三视图得到几何体为半个圆锥与四棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为，四棱锥的底面是边长为2的正方形，高为，所以几何体的体积为：=；故选C．3.已知中，BC=3，AC=4，AB=5点P是三边上的任意一点，m=,则m的最小值是

A.-25

B.

C.

D.0参考答案：【答案解析】B

解析：由已知得是以C为直角顶点的直角三角形，所以以C为原点，CA所在直线为x轴，建立直角坐标系，则A(4，0),B(0，3),设P(x,y),则，所以（1）当点P在线段CA上移动时，y=0,,所以此时，当x=2时m有最小值-4；（2）当点P在线段CB上移动时,，所以此时，当y=时m有最小值；（3）当点P在线段AB上移动时,且，所以此时，当x=2时m有最小值.故选B.

【思路点拨】根据题意建立直角坐标系，利用数量积的坐标运算，把问题转化为函数最值求解.4.过球面上三点A、B、C的截面和球心的距离是球半径的一半，且AB＝6，BC＝8，AC＝10，则球的表面积是（）A．B．C．D．参考答案：答案：D5.已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A

6.数列是公差不为零的等差数列，并且是等比数列的相邻三项.若b2=5，

则bn=A．5·

B．5·

C．3·

D．3·参考答案：D

7.定义在R上的函数，若关于的方程恰有5个不同的实数解，则=（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略8.已知甲袋中有1个黄球和1个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球．现随机地从甲袋中取出1个球放入乙袋中,再从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出的球是红球的概率为A．

B．

C．

D．参考答案：B9.抛物线的准线方程是

（A）．

(B)．

(C)．

（D）．参考答案：D10.设复数（i是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（

）A．(－3,4)

B．(5,4)

C．(－3,2)

D．(3,4)参考答案：A，所以复数对应的点为，故选A.

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.以(0,m)间的整数N)为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以间的整数N)为分子，以为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；……，依次类推以间的整数N)为分子，以为分母组成不属于A1，A2，…，

的分数集合An，其所有元素和为an；则=________．参考答案：【知识点】数列求和

D4C

解析：由题意＝++…+＝++…+++…+++…+=++…+-(++…+)＝++…+-a1a3＝++…+-a2-a1an＝++…+-an-1…-a2-a1所以=++…+=·[1+2+…+(mn-1)]＝【思路点拨】根据数列的特点，求出数列的所有项的和.12.若x，y满足约束条件，则的最大值为__________．参考答案：8【分析】根据约束条件作出可行域,化目标函数为,由此可得当直线在轴截距最大时,取最大值，结合图像即可得出结果.【详解】由约束条件作出可行域如下：又目标函数可化，因此，当直线在轴截距最大时,取最大值，由图像可得，当直线过点A时，截距最大，由易得，此时.故答案为8【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，通常需要由约束条件作出可行域，分析目标函数的几何意义，结合图像即可求解，属于常考题型.13.=__________参考答案：略14.在中，若，则

．参考答案：由余弦定理得，即整理得，解得。15.在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是__________参考答案：416.设某抛物线的准线与直线之间的距离为3，则该抛物线的方程为

.参考答案：或考点：抛物线的标准方程与准线．17.投掷一枚质地均匀的正方体骰子两次，第一次出现向上的点数为a，第二次出现向上的点数为b，直线的方程为，直线的方程为x－2y－2＝0，则直线与直线有交点的概率为

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，.（1）当时，求函数f(x)的单调区间和极值；（2）若对于任意，都有成立，求实数k的取值范围；（3）若，且，证明：.参考答案：（1），①时，因为，所以，函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值；②当时，令，解得，当时，；当，.所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，在区间上的极小值为，无极大值.（2）由题意，，即问题转化为对于恒成立，即对于恒成立，令，则，令，，则，所以在区间上单调递增，故，故，所以在区间上单调递增，函数.要使对于恒成立，只要，所以，即实数的取值范围为.（3）证法1：因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且.不妨设，则，要证，只要证，即证.因为在区间上单调递增，所以，又，即证，构造函数，即，.，因为，所以，，即，所以函数在区间上单调递增，故，而，故，所以，即，所以成立.证法2：要证成立，只要证：.因为，且，所以，即，，即，，同理，从而，要证，只要证，令不妨设，则，即证，即证，即证对恒成立，设，，所以在单调递增，，得证，所以.19.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是棱BC的中点，Q在棱CD上．且DQ=λDC，若二面角P﹣C1Q﹣C的余弦值为，求实数λ的值．参考答案：解：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0）；A1（0，0，4），B1（4，0，4），C1（4，4，4），D1（0，4，4），P（4，2，0），Q（4λ，4，0）．（2分）设平面C1PQ法向量为，而，，所以，可得一个法向量=（1，﹣2（λ﹣1），（λ﹣1）），（6分）设面C1PQ的一个法向量为，则，（8分）即：，又因为点Q在棱CD上，所以．（10分）考点： 与二面角有关的立体几何综合题．专题： 计算题．分析： 以A点为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为4，分别求出平面C1PQ法向量和面C1PQ的一个法向量，然后求出两法向量的夹角，建立等量关系，即可求出参数λ的值．解答： 解：以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，设正方体的棱长为4，则各点的坐标分别为A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0）；A1（0，0，4），B1（4，0，4），C1（4，4，4），D1（0，4，4），P（4，2，0），Q（4λ，4，0）．（2分）设平面C1PQ法向量为，而，，所以，可得一个法向量=（1，﹣2（λ﹣1），（λ﹣1）），（6分）设面C1PQ的一个法向量为，则，（8分）即：，又因为点Q在棱CD上，所以．（10分）点评： 本题主要考查了二面角的度量，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键20.近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016年双11期间，某网络购物平台推销了A，B，C三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了A，B，C三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对A，B，C三件商品抢购成功的概率分别为a，b，，已知三件商品都被抢购成功的概率为，至少有一件商品被抢购成功的概率为．（1）求a，b的值；（2）若购物平台准备对抢购成功的A，B，C三件商品进行优惠减免，A商品抢购成功减免2百元，B商品抢购成功减免4比百元，C商品抢购成功减免6百元．求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由题意利用相互独立及其对立事件的概率计算公式可得．（Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X（单位：百元），则X的值可以为0，2，4，6，8，10，12．再利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得，因为a＞b，解得．

…（4分）（Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X（单位：百元），则X的值可以为0，2，4，6，8，10，12．

…而；；；；；；．

…（9分）所以X的分布列为：X024681012P于是有…（12分）【点评】本题考查了相互独立及其对立事件的概率计算公式、分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.（本小题满分分）

已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，且，为中点．（Ⅰ）证明：//平面；（Ⅱ）证明：平面平面；（Ⅲ）求二面角的正弦值．参考答案：解：（Ⅰ）证明：连结BD交AC于点O，连结EO．

……1分O为BD中点，E为PD中点，∴EO//P

B．

……2分EO平面AEC，PB平面AEC，

……3分∴PB//平面AE

C．

（Ⅱ）证明：PA⊥平面ABC

D．平面ABCD，∴．

……4分又在正方形ABCD中且，

……5分∴CD平面PA

D．

……6分又平面PCD，∴平面平面．

……7分（Ⅲ）如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．

………8分由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0,0,0）,B（2,0,0）,C（2,2,0）,D（0,2,0）,P（0,0,2）,E（0,1,1）．

……………9分PA平面ABCD，∴是平面ABCD的法向量，=（0,0,2）．设平面AEC的法向量为,,则

即

∴

∴

令,则．

………………11分∴,

…12分二面角的正弦值为

…13分22.已知平面内两点A（0，﹣a），B（0，a）（a＞0），有一动点P在平面内，且直线PA与直线PB的斜率分别为k1，k2，令k1?k2=m，其中m≠0．（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）已知N点在圆x2+y2=a2上，设m∈（﹣1，