质点运动学典型例题2

求解风吹气球时气球的运动情况一气球以速率从地面上升，由于风的影响，气球的水平速度按增大，其中b是正的常量，y是从地面算起的高度，x轴取水平向右的方向。试计算：气球的运动学方程；气球水平飘移的距离与高度的关系；气球沿轨道运动的切向加速度和轨道的曲率与高度的关系。解：（1）取平面直角坐标系x0y，如图一，令t=0时气球位于坐标原点（地面），已知，显然，有（1）而对上式积分，得到（2）故气球的运动学方程为：.(2)由（1）和（2）式消去t，得到气球的轨道方程，即气球的水平飘移距离与高度的关系（3）气球的运动速率气球的切向加速度而由和可得由，求得小船船头恒指向某固定点的过河情况一条笔直的河流宽度为d，河水以恒定速度流动，小船从河岸的A点出发，为了到达对岸的O点，相对于河水以恒定的速率V（V>u）运动，不论小船驶向何处，它的运动方向总是指向O点，如图一，已知试求：小船的运动轨迹。若O点刚好在A点的对面（即），结果又如何？解：选定极坐标系，原点为O点，极轴为。在任一时刻t，小船的位置为（），小船速度的径向分量和横向分量两式相除，得到分离变量，积分后，得到既这就是用极坐标表示的小船的轨迹方程。若O点刚好在A点的对面，则，代入，得求解小环对地的运动情况一细杆绕端点O在平面内匀角速旋转，角速度为，杆上一小环（可看作质点）相对杆作匀速运动，速度为u.设时小环位于杆的端点O，求：小环的运动轨迹及小环在任意时刻的速度和加速度。解：本题采用极坐标系较为方便。取t=0时细杆的位置为极轴，此时小环位于端点O.任意时刻t，小环的位置.这就是小环在极坐标系中的运动学方程。消去t，便得小环的轨迹方程：式中为常量，与成正比，小环的轨迹为阿基米德螺线，如图一。在任意时刻，小环的径向速度横向速度速度的大小速度的方向指向阿基米德线的切线方向。小环的径向速度的大小不变，横向速度随r的增大而增大。任意时刻，小环的加速度， 和为径向和横向的单位矢量，则既径向加速度横向加速度.加速度的大小为尽管质点的径向速度大小不变，但径向加速度并不为零，这是横向速度方向的变化引起的。即使u=0,小环停在半径上某一位置处，这一项还是有的，这就是向心加速度。横向加速度一半是径向速度的方向改变引起的，另一半则是由半径增大造成横向速度增大引起的，因为这里横向加速度是由径向速度和横向速度共同造成的。运用假设法判定静摩擦力和滑动摩擦力在桌上有质量为=1kg的板，板与桌面之间的摩擦因数0.5.板上有放有质量=2kg的物体，板与物体之间的摩擦因数，如图一。今以水平力F=19.6N将板从物体下抽出。问：板与物体的加速度各为多少？解：当用力F拉动木板时，板上物体的运动有两种可能性，一是物体相对于板为静止，另一是物体的加速度小于板的加速度，即物体的运动滞后于板的运动，板将从物体下抽出。现分两种情况分别讨论。物体的运动滞后于板的运动的情况物体和板的受力情况如图二所示。注意桌面给予板的摩擦力以及板与物体间的摩擦力均为滑动摩擦力。设板的加速度为，物体的加速度为。列出板和物体的运动方程：对板：，又因为联立方程组，得代入数值，得在本题的条件下，这显然是不合理的。物体与板相对静止，物体与板一起运动的情况物体与板的受力图如图三所示。这里桌面给予板的摩擦力为滑动摩擦力，而物体与板间的摩擦力为静摩擦力。板与物体的加速度相同，设为a，列出板与物体的运动方程：又因为联立解方程，得到代入数值，得到，所求得的静摩擦力小于最大静摩擦力（），所以是可能实现的。由第一种情况的讨论可知，只有才能将板从物体下抽出，根据以上计算结果，可得或者代入数值，得到飞车走壁一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。设演员和摩托车的总质量为M，直壁半径为R，演员骑摩托车在直壁上以速率V做匀速圆周螺旋运动，每绕一周上升的距离为h，如图一所示，求：直壁对演员和摩托车的作用力。解：演员受到两个力的作用。一是重力G，另一个是直壁的作用力N.把N分解为沿直壁向上的和指向圆周运动中心的，如图二所示。同样，把演员的速度V分解为竖直向上的和绕筒壁做圆周运动的水平速度，于是展开螺旋面成斜面，如图三所示，V沿斜面向上。且有代入，得到故圆筒壁对杂技演员的作用力大小为方向与壁成角，求解小船转向的情况一质量为M的机动船，在进入河道弯道前Q点处关闭发动机，以速度在静水中行驶，设水的阻力与船速成正比。（1）若Q点至弯道处P点的距离为，求船行至P点时的速度；（2）若船行至P点时开动发动机，给船以的转向力，与速度方向的夹角为，如图一所示，求：船在该点的切向加速度以及航道的曲率半径。解：（1）在PQ的河流直道行驶中，船仅受水的阻力，k为比例系数，负号表示与速度的方向相