高等数学同济第七版第2章习题解答

教材习题同步解析习题2-11.设物体绕定轴旋转，在时间间隔内转过角度，从而转角是的函数:.如果旋转是匀速的，那么称为该物体旋转的角速度.如果旋转是非匀速的，应怎样确定该物体在时刻的角速度？解在时间间隔内的平均角速度.在时刻的角速度.2.当物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却.若物体的温度与时间的函数关系为，应怎样确定该物体在时刻的冷却速度？解在时间间隔内平均冷却速度.在时刻的冷却速度:.3.设某工厂生产件产品的成本为(元)，函数称为成本函数，成本函数的导数在经济学中称为边际成本.试求（1）当生产100件产品时的边际成本；（2）生产第101件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义.解（1），(元/件)；（2）(元)，(元)，(元)，即生产第101件产品的成本为79.9元.边际成本的实际意义是近似表达产量达到单位时再增加一个单位产品所需的成本.4.设，试按定义求QUOTE.解5.证明.证明.6.下列各题中均假定存在，按照导数定义观察下列极限，指出表示什么：（1）；（2），其中（3）.解（1）.（2）由于，故.（3）.以下两题中，选择给出的四个结论中一个正确的结论：7.设,则在处的（）.(A)左、右导数都存在;(B)左导数存在，右导数不存在;(C)左导数不存在，右导数存在;(D)左、右导数都不存在.解,.故该函数在处左导数存在，右导数不存在,因此应选(B).8.设可导,,则是在处可导的().(A)充分必要条件;(B)充分条件但非必要条件;(C)必要条件但非充分条件;(D)既非充分条件又非必要条件.解,.当时,,反之当时，，因此应选(A).9求下列函数的导数:(1)yx4(2)(3)yx16(4);(5)(6);(7).解(1)y(x4)4x4x3(2)(3)y(x16)16x16116x06(4),.(5)(6),.(7)，.11.如果为偶函数，且存在，证明.证为偶函数，故有.因为.所以.12求曲线ysinx在具有下列横坐标的各点处切线的斜率x解因为ycosx所以斜率分别为13.求曲线上点处的切线方程和法线方程.解，故曲线在点处的切线方程为，即.在点处的法线方程为，即.14求曲线yex在点(01)处的切线方程解yexy|x01故在(01)处的切线方程为y11(x0)即yx115在抛物线yx2上取横坐标为x11及x23的两点作过这两点的割线问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线？解y2x割线斜率为令2x4得x2因此抛物线yx2上点(24)处的切线平行于这条割线16.讨论下列函数在处的连续性与可导性：（1）；（2）.解（1），故在处连续.又，，所以.故在处不可导.（2）,故函数在处连续.又，故函数在处可导.17.设函数.为了使函数在处连续且可导,应取什么值？解要函数在处连续，应有，即.要使函数在处可导，应有.而，.故.18.已知,求及,又是否存在？解，.由于，故不存在.19.已知,求.解，.由于，故.因此.20.证明：双曲线上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于.证设为双曲线上任一点，曲线在该点处的切线斜率:，切线方程为或，由此可得所构成的三角形的面积为:.习题2-21推导余切函数及余割函数的导数公式;解2.求下列函数的导数：(1)(2)y5x32x3ex(3)y2tanxsecx1(4)ysinxcosx(5)yx2lnx(6)y3excosx(7)(8)；(9)；(10).解(1)(2)y(5x32x3ex)15x22xln23ex(3)y(2tanxsecx1)2sec2xsecxtanxsecx(2secxtanx)(4)y(sinxcosx)(sinx)cosxsinx(cosx)cosxcosxsinx(sinx)cos2x(5)y(x2lnx)2xlnxx2x(2lnx1)(6)y(3excosx)3excosx3ex(sinx)3ex(cosxsinx)(7)(8).(9).(10).3.求下列函数在给定点处的导数：(1)ysinxcosx求和(2)，求;(3)求f(0)和f(2)解(1)ycosxsinx(2),.(3)4.以初速v0竖直上抛的物体其上升高度s与时间t的关系是:求(1)该物体的速度v(t)(2)该物体达到最高点的时刻解(1)v(t)s(t)v0gt(2)令v(t)0即v0gt0得这就是物体达到最高点的时刻5.求曲线上横坐标为的点处切线方程和法线方程.解，，，因此曲线在点处的切线方程为，即.法线方程为，即.6.求下列函数的导数：(1)；（2)；(3)；(4)yln(1x2)(5)ysin2x(6)；(7)ytan(x2)(8)；(9)y(arcsinx)2(10).解（1）.（2）.（3）.（4）（5）y2sinx(sinx)2sinxcosxsin2x（6）.（7）ysec2(x2)(x2)2xsec2(x2)（8）.（9）y（10）.7.求下列函数的导数：（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）.解（1）.（2）（3）..（4）（5）.（6）（7）（8）（9）.8.求下列函数的导数：（1）；（2）（3）；（4）；（5）；（6）（7）（8）；（9）（10）解（1）.（2）（3）.（4）.（5）（6）（7）（8）.(9)(10)9.设函数和可导，且，试求函数的导数.解.10.设可导，求下列函数的导数：（1）；（2）.解（1）.（2）.11.求下列函数的导数：(1)yex(x22x3)(2)；(3)(4)(5)(6)；(7)；(8);(9)(10)解(1)yex(x22x3)ex(2x2)ex(x24x5)(2).(3)(4)(5)(6).(7).(8).（9）(10)*12求下列函数的导数(1)ych(shx)(2)yshxechx(3)yth(lnx)(4)ysh3xch2x(5)yth(1x2)(6)yarsh(x21)(7)yarch(e2x)(8)yarctan(thx)(9)(10)解(1)ysh(shx)(shx)sh(shx)chx(2)ychxechxshxechxshxechx(chxsh2x)(3)(4)y3sh2xchx2chxshxshxchx(3shx2)(5)(6)(7)(8)(9)(10)13.设函数和均在点的某一邻域内有定义，在点处可导，,在点处连续，试讨论在点处的可导性.解由在点处可导，且，则有.由在点处连续，则有，故.即在点处可导，其导数为.14.设函数满足下列条件：（1），对一切；（2），而.试证明在上处处可导，且.证.习题2-31.求下列函数的二阶导数：(1)；(2)ye2x1(3)yxcosx(4)；(5)(6)yln(1x2)(7)ytanx(8)(9)；(10)11)(12).解(1)，.(2)ye2x122e2x1y2e2x124e2x1(3)ycosxxsinxysinxsinxxcosx2sinxxcosx(4)，.(5)(6)(7)ysec2xy2secx(secx)2secxsecxtanx2sec2xtanx，.(10)(11)(12),.2设f(x)(x10)6f(2)?解f(x)6(x10)5f(x)30(x10)4f(x)120(x10)3f(2)120(210)32073603.设存在，求下列函数的二阶导数：（1）；（2）.解(1),.(2),.4.试从导出：(1);(2).解(1)(2).5已知物体的运动规律为sAsint(A、是常数)求物体运动的加速度并验证解就是物体运动的加速度8验证函数yC1exC2ex(C1，C2是常数)满足关系式y2y0解yC1exC2exyC1exC2exy2y(C1exC2ex)(C1exC2ex)09验证函数yexsinx满足关系式y2y2y0解yexsinxexcosxex(sinxcosx)yex(sinxcosx)ex(cosxsinx)2excosxy2y2y2excosx2ex(sinxcosx)2exsinx010.求下列函数所指定的阶的导数：(1),求；(2),求.解(1)利用莱布尼茨公式,其中..(2)设,,则(k=1,2,…50)，,,(k=3,4,…50).代入莱布尼兹公式，得==.*11.求下列函数的阶导数的一般表达式：（1）(都是常数)；（2）；（3）；（4）.解（1），，…….(2),.(3),,.(4),.设,则,故.*12.求函数在处的阶导数.解设,,则,,,.由莱布尼茨公式,得，.习题2-41.求由下列方程所确定的隐函数的导数:(1)y22xy90(2);(3);(4)y1xey解(1)在方程两端分别对求导,得2yy2y2xy0所以，其中是由方程y22xy90所确定的隐函数.(2)在方程两端分别对求导,得 , 所以,其中是由方程所确定的隐函数.(3)在方程两端分别对求导,得,所以,其中是由方程所确定的隐函数.(4)在方程两端分别对求导,得yeyxeyy所以，其中是由方程y1xey所确定的隐函数.2.求曲线在点处的切线和法线方程.解由导数的几何意义知,所求切线的斜率为：.将曲线方程两端分别对求导,得,从而,.于是所求的切线方程为,即.法线方程为,即.3.求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数:(1)x2y21(2)b2x2a2y2a2b2(3);(4).解(1)方程两边分别对求导，得2x2yy0y在上式两边再对求导，得(2)方程两边分别对求导，得2b2x2a2yy0(3)应用隐函数的求导方法,得，于是，.(4)应用隐函数的求导方法,得,于是,.4.用对数求导法求下列函数的导数:(1)(2);(3);(4).解(1)两边取对数得lnyxlnxxln(1x)，两边分别对求导，得于是(2)将等式两端取对数,得.上式两端分别对求导数,并注意到,得,于是.(3)将等式两端取对数,得上式两端分别对求导,得,于是.(4)两边取对数得上式两端分别对求导,得于是5求下列参数方程所确定的函数的导数(1)(2)解(1)(2)6已知求当时的值解当时7.写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:(1),在处.解(1),.对应点,曲线在点处的切线方程为,即.法线方程为,即.8.求下列参数方程所确定的函数的二阶导数:(1);(2);(3);(4)设存在且不为零.解(1)(2)(3),.(4),.*9求下列参数方程所确定的函数的三阶导数:(1)(2).解(1)(2),,.10.落在平静水面上的石头,产生同心波纹.若最外一圈波半径的增大率总是,问在末扰动水面面积的增大率为多少?解设最外一圈波的半径为,圆的面积.在两端分别对求导,得.当时,,,代入上式得图2-2图2-211.注水入深、上顶直径的正圆锥形容器中,其速率为.当水深为时，其表面上升的速率为多少？解如图2-2所示,设在时刻容器中的水深为,水的容积为,,即,,,即.故.6185图2-312.溶液自深、顶直径的正圆锥形漏斗中漏入一直径为的圆柱形筒中6185图2-3时漏斗中盛满了溶液.已知当溶液在漏斗中深为时,其表面下降的速率为.问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少？解如图2-3所示,设在时t漏斗中的水深为,圆柱形筒中水深为.建立与之间的关系:.又,即.故即.上式两端分别对求导,得.当时，,此时.习题2-51.已知,计算在处当分别等于时的及.解.于是,;,;,.2设函数yf(x)的图形如图2-4所示试在图(a)、(b)、(c)、(d)中分别标出在点x0的dy、y及ydy并说明其正负图图2-4解(a)y0dy0ydy0(b)y0dy0ydy0(c)y0dy0ydy0(d)y0dy0ydy03.求下列函数的微分:(1)(2);(3)(4);(5)yx2e2x(6);(7);(8)ytan2(12x2)(9)(10)sAsin(t)(A是常数)解(1)因为所以(2).(3)因为所以(4).(5)yyx(x2e2x)x(2xe2x2x2e2x)x2x(1x)e2xx.(6).(7).(8)y[tan2(12x2)]2tan(12x2)[tan(12x2)]2tan(12x2)sec2(12x2)(12x2)2tan(12x2)sec2(12x2)4xx8xtan(12x2)sec2(12x2)x(9)(10)y[Asin(t)]Acos(t)(t)Acos(t)x4将适当的函数填入下列括号内,使等式成立(1)()2x(2)()3xx(3)()costt(4)()sinxx(5)()(6)()e2xx(7)()(8)()sec23xx解(1)(2xC)2x(2)()3xx(3)(sintC)costt(4)()sinxx(5)(ln(1x)C)(6)d()dx(7)()(8)()sec23xx图2-55如图2-5图2-5的长为s跨度为2l电缆的最低点O与杆顶连线AB的距离为f则电缆长可按下面公式计算当f变化了f时电缆长的变化约为多少？解αR图2-66设扇形的圆心角60半径R100cm(如图2-6)如果R不变,减少30问扇形面积大约改变了多少？又如果不变R增加αR图2-6解(1)扇形面积将60R100代入上式得(cm2)(2)将60R100R1代入上式得(cm2)7.计算下列三角函数值的近似值:(1).解(1)由,及取得.8计算下列反三角函数值的近似值(1)arcsin0.5002(2)arccos04995解(1)已知f(xx)f(x)f(x)x当f(x)arcsinx时有所以3047(2)已知f(xx)f(x)f(x)x当f(x)arccosx时有所以6029.当较小时,证明下列近似公式:(2).并计算的近似值.解(2).所以.10.计算下列各根式的近似值:(1)(2).解(1)设则当|x|较小时有(2).*11计算球体体积时要求精确度在2%以内问这时测量直径D的相对误差不能超过多少？解球的体积为因为计算球体体积时要求精度在2%以内所以其相对误差不超过2%即要求所以也就是测量直径的相对误差不能超过*12.某工厂生产如图2-7所示的扇形板,半径,要求中心角为.产品检验时,一般用测量弦长的办法来间接测量中心角.如果测量弦长时的误差,问由此而引起的中心αlR图αlR图2-7解如图2-7,由得故.当时,.将,代入上式得(弧度).总习题二1在“充分”、“必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内(1)f(x)在点x0可导是f(x)在点x0连续的____________条件f(x)在点x0连续是f(x)在点x0可导的____________条件(2)f(x)在点x0的左导数f(x0)及右导数f(x0)都存在且相等是f(x)在点x0可导的_______条件(3)f(x)在点x0可导是f(x)在点x0可微的_________条件解(1)充分必要(2)充分必要(3)充分必要2.设,则.解.3.选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论:设在的某个邻域内有定义,则在处可导的一个充分条件是().(A)存在;(B)存在;(C)存在;(D)存在.解由存在,仅可知存在.故不能选(A).取,显然,.但在处不可导,故不能选择(B)(C).而存在,按导数定义知存在,故选择(D).4.设有一根细棒,取棒的一端作为原点,棒上任意点的坐标为,于是分布在区间上细棒的质量是的函数.应怎样确定细棒在点处的线密度(对于均匀细棒来说,单位长度细棒的质量叫做这细棒的线密度)？解在区间上的平均密度为.在点处的线密度为：.5.根据导数的定义,求的导数.解由导数的定义知,当,.6.求下列函数的及,又是否存在:(1);(2).解(1),.由,知.(2),.由,知不存在.7.讨论函数,在处的连续性与可导性.解因为,所以在处连续.因为不存在,故在处不可导.8.求下列函数的导数:(1);(2);(3);(4);(5).解(1).(2).(3).(4).(5)先在等式两端分别取对数,得,再在所得等式两端分别对求导,得,于是.9.求下列函数的二阶导数:(1);(2);解(1)...(2)..*10.求下列函数的阶导数:(1);(2).解(1),,…,.(2)由知.11.设函数由方程所确定,求.解把方程两端分别对求导,得（1）将代入，得.再将代入(1)式得.在(1)式两边分别对再求导,可得.将代入上式,得.12.求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数及二阶导数:(1);(2).解(1),.(2)注意到，,.13.求曲线在相应的点处的切线方程及法线方程.解,.对应的点为,故曲线在点处的切线方程为,即.法线方程为,即.14.已知是周期为的连续函数,它在的某个邻域内满足关系式,且在处可导,求曲线在点处的切线方程.解由连续,令关系式两端,取极限得,.又.而.故.由于,于是,.因此,曲线在点即处的切线方程为,即.图2-815.当正在高度图2-8飞机开始向机场跑道下降时,如图2-8所示,从飞机到机场的水平地面距离为.假设飞机下降的路径为三次函数的图形,其中,.试确定飞机的降落路径.解建立坐标系如图2-8所示.根据题意,可知，.为使飞机平稳降落,还需要满足，.解得.故飞机的降落路径为.16.甲船以的速率向东行驶,乙船以的速率向南行驶.在中午十二点整,乙船位于甲船之北处.问下午一点整两船相离的速率为多少？解设从中午十二点整起,经过小时,甲船与乙船的距离为,故速率.当时(即下午一点整)两船相离的速率为.17.利用函数的微分代替函数的增量求的近似值.解利用,取,得.18.已知单摆的振动周期,其中