高数级数习题课

高数级数理论部分练习10．5．28一．填空1．级数SKIPIF1<0的和为。2．把函数SKIPIF1<0展开成SKIPIF1<0的幂级数到：SKIPIF1<0。3．级数SKIPIF1<0的和为。4．设SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为周期的周期函数，在SKIPIF1<0上的表达式为SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0处SKIPIF1<0的傅里叶级数收敛于。5．幂级数SKIPIF1<0的收敛区间为。6．若幂级数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时收敛，则幂级数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时是否绝对收敛？7．若SKIPIF1<0，则级数SKIPIF1<0收敛，对么？（）8．若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是以SKIPIF1<0为周期的按段光滑函数，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<09．SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0=时收敛。10．级数SKIPIF1<0的部分和数列SKIPIF1<0有界，则级数SKIPIF1<0收敛。（）11．若级数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都发散，则SKIPIF1<0也发散。（）12．若级数SKIPIF1<0发散，则SKIPIF1<0。（）13．若级数SKIPIF1<0收敛，那么它的更序级数一定收敛。（）14．若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上收敛于SKIPIF1<0且每个SKIPIF1<0都在SKIPIF1<0上连续，则SKIPIF1<0也在SKIPIF1<0上连续。（）二．选择题1．下列级数中收敛的是（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0。2．若级数SKIPIF1<0收敛，则下列级数中（）收敛。（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<0。3．设SKIPIF1<0，则下列级数中和不是1的为（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<04．将函数SKIPIF1<0展开成SKIPIF1<0的幂级数得到（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<05．下列级数条件收敛的是（）（A）SKIPIF1<0（B）SKIPIF1<0（C）SKIPIF1<0（D）SKIPIF1<06．SKIPIF1<0（）A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、可收敛也可能发散7．SKIPIF1<0的收敛域为（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<08．下列级数中条件收敛的是（）A、SKIPIF1<0B、SKIPIF1<0C、SKIPIF1<0D、SKIPIF1<09．若级数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都发散，则（）A、SKIPIF1<0必发散；B、SKIPIF1<0发散；C、SKIPIF1<0必发散D以上说法都不对10．SKIPIF1<0是级数SKIPIF1<0收敛的。必要条件；B、充分条件；C、充要条件；D、既非充分又非必要。11．下列命题正确的是．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0都发散，则SKIPIF1<0也发散．若SKIPIF1<0收敛，而SKIPIF1<0发散，则SKIPIF1<0必发散．若SKIPIF1<0SKIPIF1<0…SKIPIF1<0且SKIPIF1<0绝对收敛，则SKIPIF1<0必收敛．级数SKIPIF1<0收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界．12．下列命题正确的是．(A)绝对收敛级数的更序级数一定收敛．(B)若SKIPIF1<0为条件收敛级数，则SKIPIF1<0一定发散．(C)若SKIPIF1<0发散，则SKIPIF1<0．(D)若SKIPIF1<0收敛，则SKIPIF1<0也收敛．三．计算与证明1．求幂级数SKIPIF1<0的收敛区间及和函数。2．讨论SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时的敛散性。3．设SKIPIF1<0的傅里叶级数为SKIPIF1<0，求系数SKIPIF1<0。4．求幂级数SKIPIF1<0的收敛区间与收敛半径。5．求幂级数SKIPIF1<0的收敛区间和收敛半径。6判别级数SKIPIF1<0敛散性。7．求幂级数SKIPIF1<0的收敛区间与和函数。8．求幂级数SKIPIF1<0的收敛区间及和函数。9．求级数SKIPIF1<0的收敛域，并求出它的和函数，由此求出SKIPIF1<0的和。10．将SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上展开成余弦级数，并求出它的和函数。11．确定级数SKIPIF1<0的收敛域，并求和函数。12．求级数SKIPIF1<0在其收敛域SKIPIF1<0中的和函数。13．求级数SKIPIF1<0的收敛半径及和函数14.求SKIPIF1<0的和函数。15．将函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上展开为正弦级数、余弦级数。16．求幂级数SKIPIF1<0的和函数。参考答案填空1．SKIPIF1<02.SKIPIF1<03、04、35、SKIPIF1<06、绝对收敛7．×8．SKIPIF1<09、SKIPIF1<0；10．×；11×12×13√14×二．选择1、C2、B3、C4、B5、A6.B；7．B；8.B；9、C；10、A；11．B12．A三．计算与证明1.SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，级数成为SKIPIF1<0发散，所以收敛区间为SKIPIF1<0。SKIPIF1<0。2.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,所以级数发散。当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以级数发散。当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时收敛，所以SKIPIF1<0时SKIPIF1<0收敛。3.SKIPIF1<0SKIPIF1<0。4.SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时级数收敛，所以收敛区间为SKIPIF1<0。收敛半径为SKIPIF1<0。5.SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0收敛，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0发散，所以收敛区间为SKIPIF1<0，收敛半径为SKIPIF1<0。6.因为SKIPIF1<0，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0收敛，所以SKIPIF1<0收敛。7.SKIPIF1<0，收敛区间为SKIPIF1<0。SKIPIF1<0。8.SKIPIF1<0，而当SKIPIF1<0时，级数SKIPIF1<0都收敛，所以收敛区间为SKIPIF1<0。令SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，当x=0时，和函数为0；当x=1时，和函数为1。9．SKIPIF1<0∴收敛域为SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<010．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0~SKIPIF1<011、SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0收敛域为：SKIPIF1<0SKIPIF1<012.SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0 SKIPIF1<0=SKIPIF1<013.公比SKIPIF1<0，一般项SKIPIF1<0SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0……10分SKIPIF1<014.SKIPIF1<0SKIPIF1<0从而收敛域为SKIPIF1<0设SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0