高中数学北师大版必修2一课三测：2.2.3.1-直线与圆的位置关系-

PAGE2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系填一填1.直线与圆有三种位置关系位置关系交点个数相交有两个公共点相切只有一个公共点相离没有公共点2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离判断方法几何法：设圆心到直线的距离d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d<rd＝rd>r判断方法代数法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0判一判1.直线与圆最多有两个公共点．(√)2．过一点作圆的切线有一条．(×)3．如果一条直线被圆截得的弦长最大，则该直线过圆心．(√)4．直线ax＋y＝1与圆x2＋(y－1)2＝1的位置关系与a有关．(×)5．若A，B是圆O外两点，则直线AB与圆O相离．(×)6．若C为圆O内一点，则过点C的直线与圆O相交．(√)7．若直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝a相切，则a等于4.(×)8．若直线与圆相交，则圆心到直线的距离小于该圆的半径．(√)想一想1.判断直线与圆的位置关系应注意的问题是什么？提示：(1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系．(2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征尽可能简化运算．2．直线与圆的位置关系的判定有哪两种方法？提示：(1)代数法：通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即Δ>0，则相交；若有两组相同的实数解，即Δ＝0，则相切；若无实数解，即Δ<0，则相离．(2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断：当d<r时，直线与圆相交；当d＝r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离．3．过一点的圆的切线方程的求法？提示：(1)点(x0，y0)在圆上．①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－eq\f(1,k)，由点斜式可得切线方程．②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.(2)点(x0，y0)在圆外．①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解．4．求弦长常用的方法有哪些？提示：圆的性质利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l,2)))2解题交点坐标若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长弦长公式设直线l：y＝kx＋b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])思考感悟：练一练1.圆(x－1)2＋(y－1)2＝1与直线y＝x的位置关系是()A．相离B．相切C．相交且直线过圆心D．相交但直线不过圆心答案：C2．设A，B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则|AB|＝()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2答案：D3．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，eq\r(3))处的切线方程为()A．x＋eq\r(3)y－2＝0B．x＋eq\r(3)y－4＝0C．x－eq\r(3)y＋4＝0D．x－eq\r(3)y＋2＝0答案：D4．若经过P(－1,0)的直线与圆x2＋y2＋4x－2y＋3＝0相切，则该直线在y轴上的截距是________．答案：15．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝________.答案：2eq\r(3)知识点一直线与圆位置关系的判断1.已知点P(x0，y0)，圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，直线l：x0x＋y0y＝r2，有以下几个结论：①若点P在圆O上，则直线l与圆O相切②若点P在圆O外，则直线l与圆O相离③若点P在圆O内，则直线l与圆O相交④无论点P在何处，直线l与圆O恒相切．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：根据点到直线的距离公式有d＝eq\f(r2,\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)))，若点P在圆O上，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝r2，d＝r，相切；若点P在圆O外，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)>r2，d<r，相交；若点P在圆O内，则xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)<r2，d>r，相离，故只有①正确．故选A.答案：A2．若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是()A．点在圆上B．点在圆内C．点在圆外D．不能确定解析：由题意，圆心(0,0)到直线l的距离d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1，所以有eq\r(a2＋b2)>1，即点P(a，b)在圆C外．答案：C知识点二直线与圆相切问题3.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴相切，则该圆的标准方程是()A．(x－3)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,3)))2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋(y－1)2＝1解析：设圆心为(a,1)，由已知得d＝eq\f(|4a－3|,5)＝1，由a>0，所以a＝2.故选B.答案：B4．已知圆O：x2＋y2＝4.(1)过点P(eq\r(2)，eq\r(2))作圆O的切线，求切线l的方程；(2)过点Q(2,4)作圆O的切线，求切线l的方程．解析：(1)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝eq\r(2)，不合题意．当直线l的斜率存在时，设切线方程为y－eq\r(2)＝k(x－eq\r(2))即kx－y－eq\r(2)k＋eq\r(2)＝0，由题意得，圆心到该切线的距离d＝eq\f(|－\r(2)k＋\r(2)|,\r(1＋k2))＝2，得k＝－1.故所求的切线方程为x＋y－2eq\r(2)＝0.(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0.由题意得d＝eq\f(|4－2k|,\r(k2＋1))＝2，得k＝eq\f(3,4).所以直线l的方程为y－4＝eq\f(3,4)(x－2)即3x－4y＋10＝0.综上得，所求的切线方程为x＝2或3x－4y＋10＝0.知识点三直线被圆截得的弦长问题5.过点P(0,1)与圆x2＋y2－2x－3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是()A．x＝0B．y＝1C．x＋y－1＝0D．x－y＋1＝0解析：被圆截得的最长弦是直径，于是所求直线过圆心(1,0)及点P(0,1)，故直线方程是x＋y－1＝0.答案：C6．直线x－y＋3＝0被圆(x＋2)2＋(y－2)2＝2截得的弦长等于()A.eq\f(\r(6),2)B.eq\r(3)C．2eq\r(3)D.eq\r(6)解析：圆心(－2,2)到直线x－y＋3＝0的距离d＝eq\f(\r(2),2)，圆的半径r＝eq\r(2)，解直角三角形得，半弦长为eq\f(\r(6),2)，所以弦长等于eq\r(6).答案：D综合知识直线与圆的位置关系7.已知圆x2＋y2＝8，定点P(4,0)，过点P的直线的斜率在什么范围内取值时，这条直线与已知圆：(1)相交；(2)相切；(3)相离．并写出过点P的切线方程．解析：设过点P的直线的斜率为k(由已知k存在)，则方程为y＝k(x－4)．方法一由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－4，,x2＋y2＝8，))消去y，得x2＋k2(x－4)2＝8，即(k2＋1)x2－8k2x＋16k2－8＝0，Δ＝(－8k2)2－4(1＋k2)(16k2－8)＝32(1－k2)．(1)令Δ>0，即32(1－k2)>0，得－1<k<1.所以当k的取值范围为(－1,1)时，直线与圆相交．(2)令Δ＝0，即32(1－k2)＝0，得k＝±1.所以当k＝±1时直线与圆相切，切线方程为x－y－4＝0或x＋y－4＝0.(3)令Δ<0，即32(1－k2)<0，得k>1或k<－1.所以当k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，直线与圆相离．方法二设圆心到直线的距离为d，则d＝eq\f(|k·0－0－4k|,\r(1＋k2))＝eq\f(4|k|,\r(1＋k2)).(1)当d<r，即eq\f(4|k|,\r(1＋k2))<eq\r(8)，所以k2<1，即－1<k<1.所以，当k的取值范围为(－1,1)时，直线与圆相交．(2)d＝r，即eq\f(4|k|,\r(1＋k2))＝eq\r(8)，所以k2＝1，即k＝±1.所以，当k＝±1时，直线与圆相切，切线方程为x－y－4＝0或x＋y－4＝0.(3)d>r，即eq\f(4|k|,\r(1＋k2))>eq\r(8)，所以k2>1，即k>1或k<－1.所以，当k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，直线与圆相离．8．设有一条光线从P(－2,4eq\r(3))射出，并且经x轴上一点Q(2,0)反射．(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l1，l2)；(2)设动直线l：x＝my－2eq\r(3)，当点M(0，－6)到l的距离最大时，求l，l1，l2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内，并且与三角形的三边相切的圆)的方程．解析：(1)因为kPQ＝－eq\r(3)，所以l1：y＝－eq\r(3)(x－2)，因为l1，l2关于x轴对称，所以l2：y＝eq\r(3)(x－2)．(2)因为l恒过点N(－2eq\r(3)，0)，当MN⊥l时，M到l的距离最大，因为kMN＝－eq\r(3)，所以m＝eq\r(3)，所以l的方程为x＝eq\r(3)y－2eq\r(3)，设所求方程为(x－2)2＋(y－t)2＝r2，所以r＝eq\f(|t|,2)＝eq\f(|\r(3)t－2\r(3)－2|,2)，得t＝2，所以所求方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1.基础达标一、选择题1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是()A．相切B．相交但不过圆心C．过圆心D．相离解析：由于圆心(0,0)不满足直线方程，所以直线不过圆心，又圆心到直线的距离d＝eq\f(|1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<1，所以直线与圆相交，但不过圆心，故选B.答案：B2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为()A.eq\r(3)B．2C.eq\r(6)D．2eq\r(3)解析：直线方程为eq\r(3)x－y＝0，圆的圆心为(0,2)，半径为2，因为圆心到直线的距离为d＝eq\f(|－2|,2)＝1，所以所截弦长为2eq\r(22－12)＝2eq\r(3)，故选D.答案：D3．过原点且与圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0相切的直线方程是()A．y＝eq\f(3,4)xB．y＝eq\f(3,4)x或y＝0C．y＝eq\f(3,4)x或x＝0D．y＝eq\f(4,3)x或x＝0解析：设切线方程为kx－y＝0，由圆心(2，－1)到直线的距离等于半径2，得k＝eq\f(3,4)，因此一条切线方程为y＝eq\f(3,4)x；画图可知，y轴是符合条件的切线，方程为x＝0，故选C.答案：C4．已知直线l：y＝eq\r(3)x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B两点，若|AB|＝2eq\r(2)，则实数m的值等于()A．－7或－1B．1或7C．－1或7D．－7或1解析：圆心(0,3)到直线l的距离d＝eq\f(|0－3＋m|,\r(3＋1))＝eq\f(|m－3|,2)，故eq\f(m－32,4)＋2＝6，解得：m＝－1或m＝7，故选C.答案：C5．曲线y＝1＋eq\r(4－x2)与直线kx－y－2k＋4＝0有两个交点时，实数k取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,12)))解析：曲线y＝1＋eq\r(4－x2)，因为x∈[－2,2]，y＝1＋eq\r(4－x2)≥1，所以x2＋(y－1)2＝4，表示圆心为M(0,1)，半径r＝2的圆的上半部分．直线y＝k(x－2)＋4表示过定点P(2,4)的直线，当直线与圆相切时，由圆心到直线kx－y＋4－2k＝0的距离d＝eq\f(|3－2k|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(5,12).当直线经过点B(－2,1)时，直线PB的斜率为k＝eq\f(3,4).所以要使直线与曲线有两个不同的公共点，则必有eq\f(5,12)<k≤eq\f(3,4).即实数k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,12)，\f(3,4))).答案：A6．若PQ是圆x2＋y2＝9的弦，PQ的中点是A(1,2)，则直线PQ的方程是()A．x＋2y－3＝0B．x＋2y－5＝0C．2x－y＋4＝0D．2x－y＝0解析：设圆的圆心是O，由题意知，直线PQ过点A(1,2)，且和直线OA垂直，故其方程为y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，整理得x＋2y－5＝0.故选B.答案：B7．若直线ax＋by－3＝0和圆x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则ab的值为()A．－3B．－2C．2D．3解析：圆的标准方程为(x＋2)2＋y2＝5，直线与圆相切，则圆心到直线距离为eq\r(5)，所以eq\f(|－2a－3|,\r(a2＋b2))＝eq\r(5)，整理得a2－12a＋5b2－9＝0且直线过P(－1,2)，代入得2b－a－3＝0，两式联立，得a＝1，b＝2，所以ab＝2，故选C.答案：C二、填空题8．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________．解析：由题意可得，圆心为(2，－1)，r＝2，圆心到直线的距离d＝eq\f(|2－2－3|,\r(12＋22))＝eq\f(3,5)eq\r(5)，所以弦长为2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(4－\f(9,5))＝eq\f(2,5)eq\r(55).答案：eq\f(2,5)eq\r(55)9．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为eq\r(2)，则直线l的斜率为________．解析：由条件易知直线l的斜率必存在，设为k.圆心(1,1)到直线y＋2＝k(x＋1)的距离为eq\f(|2k－3|,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(2),2)，解得k＝1或k＝eq\f(17,7)，即所求直线的斜率为1或eq\f(17,7).答案：1或eq\f(17,7)10．已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，过A(－1,0)的直线l与圆C相交于P，Q两点．若|PQ|＝2eq\r(3)，则直线l的方程为________________．解析：当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由|PQ|＝2eq\r(3)，则圆心C(0,3)到直线l的距离d＝eq\f(|－k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4,3)，此时直线l的方程为y＝eq\f(4,3)(x＋1)．故所求直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.答案：x＝－1或4x－3y＋4＝011．若直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，则a的值为________．解析：圆x2＋(y－a)2＝1的圆心坐标为(0，a)，半径为1，又直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，所以圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝r，即eq\f(|a|,\r(2))＝1，解得a＝±eq\r(2).答案：±eq\r(2)12．已知从圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，则当|PM|取最小值时点P的坐标为________．解析：如图所示，圆心C(－1,2)，半径r＝eq\r(2).因为|PM|＝|PO|，所以|PO|2＋r2＝|PC|2(C为圆心，r为圆的半径)，所以xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＋2＝(x1＋1)2＋(y1－2)2，即2x1－4y1＋3＝0.要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．当直线PO垂直于直线2x－4y＋3＝0时，即直线PO的方程为2x＋y＝0时，|PM|最小，此时P点即为两直线的交点，得P点坐标eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,10)，\f(3,5))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,10)，\f(3,5)))三、解答题13．已知直线l：y＝x＋m，m∈R.若以点M(2,0)为圆心的圆与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．解析：方法一依题意，点P的坐标为(0，m)．因为MP⊥l，所以eq\f(0－m,2－0)×1＝－1，解得m＝2，即点P的坐标为(0,2)．从而圆的半径长r＝|MP|＝eq\r(2－02＋0－22)＝2eq\r(2).故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.方法二设所求圆的半径长为r，则圆的方程可设为(x－2)2＋y2＝r2.依题意，所求圆与直线l：x－y＋m＝0相切于点P(0，m)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＋m2＝r2，,\f(|2－0＋m|,\r(2))＝r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,r＝2\r(2)，))所以所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.14．已知圆的方程为x2＋y2＝8，圆内有一点P(－1,2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB的长；(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程．解析：(1)方法一(几何法)如图所示，过点O作OC⊥AB.由已知条件得直线AB的斜率为k＝tan135°＝－1，所以直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.因为圆心为(0,0)，所以|OC|＝eq\f(|－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).因为r＝2eq\r(2)，所以|BC|＝eq\r(8－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(30),2)，所以|AB|＝2|BC|＝eq\r(30).方法二(代数法)当α＝135°时，直接AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8，得2x2－2x－7＝0.所以x1＋x2＝1，x1x2＝－eq\f(7,2)，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋1[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(30).(2)如图，当弦AB被点P平分时，OP⊥AB，因为kOP＝－2，所以kAB＝eq\f(1,2)，所以直线AB的方程为y－2＝eq\f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋5＝0.能力提升15.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈(1)证明：不论m取什么值，直线l与圆C恒交于两点；(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．解析：(1)直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0(m∈R)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))∴直线l恒过点M(3,1)．又M到圆心C(1,2)的距离为eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)<5，∴点M(3,1)在圆内，∴不论m取什么值，直线l与圆C恒交于两点．(2)∵过点M(3,1)的所有弦中，弦心距d≤eq\r(5)，弦心距、半弦长和半径长r构成直角三角形，∴当d＝eq\r(5)时，半弦长的最小值为eq\r(52－\r(5)2)＝2e