高中数学3.1.2函数的单调性第1课时函数的单调性及函数的平均变化率人教B版必修第一册

--#-第1课时函数的单调性及函数的平均变化率强化•培优•通关<［A 基础达标］TOC\o"1-5"\h\z•如图是函数y=f(x)的图像，则此函数的单调递减区间的个数是 ( )1 B.2C.3 D.4解析：选B.由图像，可知函数y=f(x)的单调递减区间有2个.故选B..下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( )2A.y=3—x B.y=x+11C.y=x D.y=—|x+1|1 2解析：选B.y=3—x,y=x,y=—|x+1|在(0,2)上都是减函数，只有y=x+1在(0,x2)上是增函数..若函数f(x)在R上是减函数，则下列关系式一定成立的是 ( )2A.f(a)>f(2a) B.f(a)<f(a)C.f(a2+a)<f(a) D.f(a2+1)<f(a2)解析：选D.因为f(x)是R上的减函数，且a2+1>a2,所以f(a2+1)<f(a2).故选D..函数y=|x+2|在区间［—3,0］上( )A.递减 B.递增C.先减后增 D.先增后减x+2,x》一2,解析：选C.因为y=|x+2|=* 作出y=|x+2|的图像，如图所示，易知、一x—2,xv—2.在［—3,—2)上为减函数，在［—2,0］上为增函数.b5.(2019•宣城检测)已知函数y=ax和y=—-在(0,+^)上都是减函数，则函数 f(x)x=bx+a在R上是( )减函数且f(0)<0增函数且f(0)<0减函数且f(0)>0增函数且f(0)>0

解析：选A•因为y=ax和y=—2在(0,+^)上都是减函数,x所以a<0,b<0,所以f(x)=bx+a为减函数且f(0)=a<0,故选A.6.已知函数f(x)=2X+1,x^16.已知函数f(x)=5—x,x<1,f(x)的单调递减区间解析：当x>1时，f(x)是增函数，当x<1时，f(x)是减函数，所以为(f(x)的单调递减区间答案：(—8,1)7.如果二次函数f(x)=x2—7.如果二次函数f(x)=x2—(a—1)x+2在区间；，1则实数a的取值范围解析:因为二次函数f(x)=x2—(a—1)x+5的图像的对称轴为直线x=写，又函数f(x)在区间1上是增函数，所以号W1，解得aw2.答案:(—^,2]8.已知函数f(x)在R上是减函数，A(0，—2),B(—3,2)是其图像上的两点，那么不等式一2<f(x)<2的解集为解析：因为A(0，—2),政—3,2)在函数y=f(x)的图像上，所以f(0)=—2,f(—3)=2,故一2<f(x)<2可化为f(O)<f(x)<f(—3)，又f(x)在R上是减函数，因此一3<x<0.答案：(—3,0)9.作出函数f(x)=i一x—39.作出函数f(x)=(x—2)2+3,x>1解：f(x)=—x—3解：f(x)=(x-2)2+3,x>1的图像如图所示,由图像可知，函数的单调递减区间为 (一a,1]和(1,2];单调递增区间为(2,+a).2x一1已知函数f(x)= .x+1(1)求f(x)的定义域；2x—1⑵证明函数f(x)= +1在[1,+a)上是增函数.解：(1)由题意知x+1工0,即卩XM—1.所以f(x)的定义域为(一a,—1)U(—1,+a).⑵证明：？X1,X2€[1，+a)，且X1<X2,

则f(则f(X2)-f(Xi)=2X2—1X2+12xi-1Xi+1_(2x2—1)(X1+1)—(2X1—1)(X2+1)— (X2+1)(X1+1)3(X2—xj(X2+1)(X1+1).因为X1<X2,所以X2—X1>0.又因为X1,X2€[1,+8),所以X2+1>0,X1+1>0.所以f(X2)—f(X1)>0,所以f(X2)>f(X1).2x一1所以函数f(X)=x+1在[1,+8)上是增函数.[B能力提升]函数y=,2x—3的单调递增区间是( )73 \A.(—m，—3] B.|^,+m!C.(—a,1) D.[—1，+m)3解析：选B.由2x—3》0,得X》又因为t=2x—3在(—m，+m)上单调递增，y=、•...；t’ 73 \在定义域上是增函数，所以 丫=侮二^的单调递增区间是2，+a!■—x+3a,x》0,已知函数f(x)=<2 是(一8,+^)上的减函数，则实数 a的取值范x—ax+1,x<0围是( )a.］0‘3］ B.AljC{0,3］ d*,寻解析：选A.当x<0时，函数f(x)=x2—ax+1是减函数，解得a》0,当x》0时，函数11f(x)=—x+3a是减函数，分段点0处的值应满足1》3a,解得a<3，所以0三a<3.已知定义在［1,4］上的函数f(x)是减函数，求满足不等式f(1—2a)—f(3—a)>0的实数a的取值范围.解：由题意，可得f(1—2a)>f(3—a).因为f(x)在定义域［1,4］上单调递减，

1W1—2aw4所以1W3—a<4,1—2a<3—a解得一1waw0,所以实数a的取值范围为［—1,0］.已知函数f(x)=x—a+2在(1,+s)上是增函数，求实数a的取值范围.X2解：设1<X1<X2,所以X1X2>1.因为函数f(X)在(1,+8)上是增函数，- aafaa) fa)所以f(X1)—f(X2)=X1—+—jX2—+-=(X1—X2)j1+ <0.X12 X22 ' ' X1X2a因为X1—X2<0，所以1+ >0,即a>—X1X2.X1X2因为1<X1<X2,X1X2>1，所以一X1X2<—1,所以a>—1.所以a的取值范围是［—1,+^).［C拓展探究］设f(X)=X2+1,g(X)=f(f(x)),F(x)=g(X)—入f(X).问是否存在实数 入,使F(x)在区间¥上是减函数且在区间在区间¥上是减函数且在区间解：假设存在这样的实数 入，则由f(X)=X2+1,g(X)=f(f(X)),得g(x)=(X2+1)2+1,所以F(x)=g(x)—入f(x)=x+(2—入)x+2—入.令t=X2,令t=X2,则t=X2在(—8,0)上递减,且当x