高中数学-第三章-函数的概念与性质-3.2-函数的基本性质-3.2.1-第2课时-函数的最大(小)值

wordword/word第三章3.23.2.1第2课时A组·素养自测一、选择题1．函数y＝eq\f(1,x－1)的单调减区间是(A)A．(－∞，1)，(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)C．{x∈R|x≠1} D．R[解析]单调区间不能写成单调集合，也不能超出定义域，故C，D不对，B表述不当．2．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0，,－x2，x<0))的单调递增区间为(A)A．(－∞，0)，[0，＋∞) B．(－∞，0)C．[0，＋∞) D．(－∞，＋∞)[解析]分段函数求单调区间可借助图象来求，图象不熟悉就借助定义分段求．3．若函数f(x)＝|x＋2|在[－4,0]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]作出函数f(x)＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2－2≤x≤0,－x－2－4≤x<－2))的图象如图所示，由图象可知M＝f(x)max＝f(0)＝f(－4)＝2，m＝f(x)min＝f(－2)＝0，所以M＋m＝2.故选B．4．若函数y＝2ax－b在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(C)A．1 B．－1C．1或－1 D．0[解析]当a>0时，最大值为4a－b，最小值为2a－b，差为2a，∴a＝1；当a≤0时，最大值为2a－b，最小值为4a－b，差为－2a，∴a＝－1.5．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(C)A．－1 B．0C．1 D．2[解析]f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4＝－(x－2)2＋4＋a，∴函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2，∴f(x)在[0,1]上单调递增．又∵f(x)min＝f(0)＝a＝－2，∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.6．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝eq\f(a,x＋1)在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值X围是(D)A．(－1,0)∪(0,1) B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1) D．(0,1][解析]f(x)＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴a≤1.∵g(x)＝eq\f(a,x＋1)在区间[1,2]上为减函数，∴a>0，∴0<a≤1.二、填空题7．函数f(x)＝x－eq\f(2,x)在[1,2]上的最大值是__1__.[解析]函数f(x)＝x－eq\f(2,x)在[1,2]上是增函数，∴当x＝2时，f(x)取最大值f(2)＝2－1＝1.8．函数y＝x2－2x－1的值域是__[－2，＋∞)__.[解析]因为二次函数图象开口向上，所以它的最小值为eq\f(4×1×－1－－22,4)＝－2.故值域为[－2，＋∞)．9．已知函数f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则f(2)__≤__f(x2－4x＋6)．(填“≥”“≤”或“＝”)[解析]∵x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，且f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，∴f(2)≤f(x2－4x＋6)．三、解答题10．已知函数f(x)＝eq\f(x,x－1).(1)求f(x)的定义域和值域；(2)判断函数f(x)在区间(2,5)上的单调性，并用定义来证明所得结论．[解析](1)f(x)＝eq\f(x,x－1)＝eq\f(x－1＋1,x－1)＝1＋eq\f(1,x－1)，定义域为{x|x≠1}，值域为{y|y≠1}．(2)由函数解析式可知该函数在(2,5)上是减函数，下面证明此结论．证明：任取x1，x2∈(2,5)，设x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(x1,x1－1)－eq\f(x2,x2－1)＝eq\f(x2－x1,x1－1x2－1).因为2<x1<x2<5，所以x2－x1>0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)>f(x2)．故函数在(2,5)上为减函数．11．已知函数f(x)＝x＋eq\f(1,2x)＋2，其中x∈[1，＋∞)．(1)试判断它的单调性；(2)试求它的最小值．[解析](1)f(x)在[1，＋∞)上单调递增，理由如下：设1≤x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋(eq\f(1,2x1)－eq\f(1,2x2))＝(x1－x2)(1－eq\f(1,2x1x2))＝(x1－x2)eq\f(2x1x2－1,2x1x2)，∵1≤x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，∴2x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0.即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知，f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴当x＝1时，f(x)有最小值eq\f(7,2).B组·素养提升一、选择题1．下列函数在[1,4]上最大值为3的是(A)A．y＝eq\f(1,x)＋2 B．y＝3x－2C．y＝x2 D．y＝1－x[解析]B、C在[1,4]上均为增函数，A、D在[1,4]上均为减函数，代入端点值，即可求得最值，故选A．2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(B)A．45.606万元 B．45.6万元C．45.56万元 D．45.51万元[解析]设在甲地销售量为a辆，则在乙地销售量为15－a辆，设利润为y万元，则y＝5.06a－0.15a2＋2(15－a)(0≤a≤15且a∈N)，则y＝－0.15a2＋3.06a＋30，可求ymax＝45.6万元．3．(多选题)已知f(x)＝eq\r(x)－eq\r(1－x)，则(AD)A．定义域为[0,1]B．f(x)max＝eq\r(2)，f(x)无最小值C．f(x)min＝1,f(x)无最大值D．f(x)max＝1,f(x)min＝－1[解析]要使f(x)有意义，应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0,1－x≥0))，∴0≤x≤1，显然f(x)在[0,1]上单调递增，所f(x)max＝1，f(x)min＝－1.故选AD．4．(多选题)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，关于f(x)的最大(小)值有如下结论，其中正确的是(BCD)A．f(x)在区间[－1,0]上的最小值为1B．f(x)在区间[－1,2]上既有最小值，又有最大值C．f(x)在区间[2,3]上有最小值，最大值5D．当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为f(a)，当a>1时，f(x)在区间[0，a]上的最小值为1[解析]函数f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝1.在选项A中，因为f(x)在区间[－1,0]上单调递减，所以f(x)在区间[－1,0]上的最小值为f(0)＝2，A错误；在选项B中，因为f(x)在区间[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，所以f(x)在区间[－1,2]上的最小值为f(1)＝1，又因为f(－1)＝5，f(2)＝2，f(－1)>f(2)，所以f(x)在区间[－1,2]上的最大值为f(－1)＝5，B正确；在选项C中，因为f(x)在区间[2,3]上单调递增，所以f(x)在区间[2,3]上的最小值为f(2)＝2，最大值为f(3)＝5，C正确；在选项D中，当0<a<1时，f(x)在区间[0，a]上是减函数，f(x)的最小值为f(a)，当a>1时，由图象知f(x)在区间[0，a]上的最小值为1，D正确．二、填空题5．已知函数f(x)＝2x－3，当x≥1时，恒有f(x)≥m成立，则实数m的取值X围是__(－∞，－1]__.[解析]∵f(x)＝2x－3在[1，＋∞)上单调递增，∴f(x)≥f(1)＝－1.∵m≤f(x)恒成立，∴m≤－1.6．已知函数f(x)在区间[－1,1]上是单调函数且f(0)<f(1)，则满足f(x)<f(eq\f(1,2))的实数x的取值X围为__eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))__.[解析]由题意知函数f(x)在区间[－1,1]上是单调增函数，所以不等式f(x)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x≤1，,x<\f(1,2)，))即－1≤x<eq\f(1,2).7．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值X围是__1＜a≤3__.[解析]画f(x)＝x2－6x＋8的图象，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，3]，∴1＜a≤3.三、解答题8.已知函数f(x)＝|x|(x＋1)，试画出函数f(x)的图象，并根据图象解决下列两个问题．(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在区间[－1，eq\f(1,2)]的最大值．[解析]f(x)＝|x|(x＋1)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2－xx≤0,x2＋xx＞0))的图象如图所示．(1)f(x)在(－∞，－eq\f(1,2)]和[0，＋∞)上是增函数，在[－eq\f(1,2)，0]上是减函数，因此f(x)的单调增区间为(－∞，－eq\f(1,2)]，[0，＋∞)，单调减区间[－eq\f(1,2)，0]．(2)∵f(－eq\f(1,2))＝eq\f(1,4)，f(eq\f(1,2))＝eq\f(3,4)，∴f(x)在区间[－1，eq\f(1,2)]的最大值为eq\f(3,4).9．(2019·海淀区联考)已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函数f(x)的最小值．[解析]f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2，x∈[－1,1]．当a≥1时，函数f(x)的图象如图(1)中实线所示，函数f(x)在区间[－1,1]上是减函数，最小值为f(1)＝3