高三数学选修2-3(B版)-《离散型随机变量的数学期望》导学案

1/12.3.1离散型随机变量的数学期望【学习要求】1．通过实例理解离散型随机变量数学期望的概念，能计算简单离散型随机变量的数学期望。2．理解离散型随机变量数学期望的性质。3．掌握两点分布、二项分布的数学期望。4．会利用离散型随机变量的数学期望，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题。【学法指导】离散型随机变量的数学期望是离散型随机变量取值的平均水平，可以利用离散型随机变量的分布列求得数学期望。利用随机变量的数学期望可以帮助我们对实际问题做出决策。【知识要点】1．离散型随机变量的数学期望或期望若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝为随机变量X的数学期望或期望，它反映了离散型随机变量取值的。2．离散型随机变量的数学期望的性质如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是(离散型)随机变量，且P(X＝xi)＝，i＝1，2，3，…，n，E(Y)＝＝。3．两点分布与二项分布的数学期望 （1）如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝(p为成功概率)。（2）如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝。【问题探究】探究点一离散型随机变量的数学期望公式及性质问题1某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？问题2离散型随机变量的均值有什么作用？问题3若一组数据xi(i＝1,2，…，n)的平均数为eq\x\to(x)，那么另一组数据axi＋b(a、b是常数且i＝1,2，…，n)的平均数为aeq\x\to(x)＋b。那么离散型随机变量Y＝aX＋b是否也具有类似性质？如何证明？例1已知随机变量X的分布列如下：X－2－1012Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)meq\f(1,20)（1）求m的值；（2）求E(X)；（3）若Y＝2X－3，求E(Y)。小结对于aX＋b型的随机变量，可利用数学期望的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便。跟踪训练1已知随机变量X的分布列为X123Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，求a的值。探究点二超几何分布的数学期望例2在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品。从这10件产品中任取3件，求取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望。小结随机变量的数学期望是一个常数，它不依赖于样本的抽取，只要找清随机变量及相应的概率即可计算。跟踪训练2在本例中，求取出的3件产品中二等品件数ξ的数学期望。探究点三二项分布的数学期望问题1若随机变量X～B(n，p)，怎样证明E(X)＝np？问题2若随机变量X服从两点分布，怎样计算E(X)？例3某运动员投篮命中率为p＝0.6。（1）求投篮1次时命中次数ξ的数学期望；（2）求重复5次投篮时，命中次数η的数学期望。小结(1)如果随机变量X服从两点分布，则其数学期望E(X)＝p(p为成功概率)。(2)如果随机变量X服从二项分布即X～B(n，p)，则E(X)＝np。以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程。跟踪训练3甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为eq\f(1,2)，乙每次击中目标的概率为eq\f(2,3)。记甲击中目标的次数为ξ，乙击中目标的次数为η。（1）求ξ的分布列；（2）求ξ和η的数学期望。【当堂检测】1．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为（）A．0.6 B．1 C．3.5 D．22．若随机变量ξ～B(n,0.6)，且E(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值是（）A．2×0.44 B．2×0.45C．3×0.44 D．3×0.643．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,300)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))300－k(k＝0，1，2，…，300)，则E(X)＝________。4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)。现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号。（1）求ξ的分布列，数学期望；（2）若η＝aξ＋4，E(η)＝1，求a的值。【课堂小结】1．求离散型随机变量数学期望的步骤：（1）确定离散型随机变量X的取值；（2）