【走向高考】高三数学一轮总复习-9-3圆的方程同步练习-北师大版

3圆的方程基础巩固一、选择题1．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是()A．－1<a<1 B．0<a<1C．a>1或a<－1 D．a＝±1[答案]A[解析]因为点(1,1)在圆的内部，∴(1－a)2＋(1＋a)2<4，∴－1<a<1.2．(2012·长春模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝eq\r(2)C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4[答案]A[解析]AB的中点坐标为：(0,0)，|AB|＝eq\r([1－－1]2＋－1－12)＝2eq\r(2)，∴圆的方程为：x2＋y2＝2.3．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5 B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D．x2＋(y＋2)2＝5[答案]D[解析]由题意知所求圆的圆心坐标为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.4．(文)若圆心在x轴上，半径为eq\r(5)的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是()A．(x－eq\r(5))2＋y2＝5 B．(x＋eq\r(5))2＋y2＝5C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5[答案]D[解析]考查了圆的标准方程及点到直线的距离．设圆心为(a,0)，由题意r＝eq\r(5)＝eq\f(|a|,\r(5))，∴|a|＝5，a<0，∴a＝－5，∴方程为(x＋5)2＋y2＝5.(理)(2012·西安模拟)圆心在y轴上且通过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0[答案]B[解析]设圆心为(0，b)，半径为R，则R＝|b|，∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，∵点(3,1)在圆上，∴9＋(1－b)2＝b2，解得：b＝5，∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0.5．若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为()A．1 B．－1C.eq\f(1,2) D．2[答案]D[解析]由条件知直线kx＋2y－4＝0是线段PQ的中垂线．∴直线过圆心(－1,3)，∴k＝2.6．已知x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值为()A．9 B．14C．14－6eq\r(5) D．14＋6eq\r(5)[答案]D[解析]方程表示以(－2,1)为圆心，半径r＝3的圆，令d＝eq\r(x2＋y2)，则d为点(x，y)到(0,0)的距离，∴dmax＝eq\r(－2－02＋1－02)＋r＝eq\r(5)＋3，∴x2＋y2的最大值为(eq\r(5)＋3)2＝14＋6eq\r(5).二、填空题7．已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.[答案]－2[解析]由条件知，圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(a,2)))在直线l：x－y＋2＝0上，代入得a＝－2.8．已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则C的方程为________．[答案](x－2)2＋y2＝10[解析]本题考查了圆的方程的求法，关键是设出圆心坐标．设圆心坐标为(a,0)，则有：(a－5)2＋12＝(a－1)2＋32，解得：a＝2，半径r＝eq\r(2－52＋12)＝eq\r(10)，故圆的方程为(x－2)2＋y2＝10.三、解答题9．求过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的交点且面积最小的圆的方程．[解析](1)过直线和圆的交点的圆的方程可用圆系方程处理．(2)利用函数的思想进行思考．解法1：令过直线2x＋y＋4＝0和圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0交点的圆系方程为：x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0，即x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0.r＝eq\f(1,2)eq\r(41＋λ2＋4－λ2－41＋4λ)＝eq\f(1,2)eq\r(5λ－\f(8,5)2＋\f(16,5)).当λ＝eq\f(8,5)时，rmin＝eq\f(2,\r(5))，所求方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(13,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(6,5)))2＝eq\f(4,5).解法2：因直线和圆固定，直线被已知圆截得的弦长固定，所以圆的圆心到已知直线距离最小时所求圆的半径最小．此时圆面积最小，所以当所求圆的圆心在直线2x＋y＋4＝0上时，圆的半径最小．令动圆的方程为：x2＋y2＋2(1＋λ)x－(4－λ)y＋1＋4λ＝0，圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋λ，\f(4－λ,2)))，代入2x＋y＋4＝0，－2(1＋λ)＋eq\f(4－λ,2)＋4＝0，λ＝eq\f(8,5).代入动圆的方程得x2＋y2＋eq\f(26,5)x－eq\f(12,5)y＋eq\f(37,5)＝0.解法3：因为通过两个定点的动圆中，面积最小的是以此二定点为直径端点的圆，于是解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＋4＝0，,x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，))得交点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,5)，\f(2,5)))，B(－3,2)．利用圆的直径式方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(11,5)))(x＋3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2,5)))(y－2)＝0，化简整理得，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(13,5)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(6,5)))2＝eq\f(4,5).能力提升一、选择题1．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是()A．(4,6) B．[4,6)C．(4,6] D．[4,6][答案]A[解析]因为圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离为5，所以当半径r＝4时，圆上有1个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，当半径r＝6时，圆上有3个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1时，4<r<6.2．已知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，O为坐标原点，若eq\o(OP,\s\up15(→))·eq\o(OQ,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)，则k的值为()A．±eq\r(3) B．±1C．±eq\r(2) D．－eq\r(3)[答案]A[解析]直线y＝kx＋1过定点(0,1)，可以将直线方程代入圆的方程，求出点P，Q的坐标，根据向量数量积的坐标运算公式列出方程解决．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立两个方程得x2＋(kx＋1)2＝1，即(1＋k2)x2＋2kx＝0，解得x1＝0，x2＝－eq\f(2k,1＋k2)，则y1＝1，y2＝k(－eq\f(2k,1＋k2))＋1＝eq\f(1－k2,1＋k2)，故eq\o(OP,\s\up15(→))·eq\o(OQ,\s\up15(→))＝x1x2＋y1y2＝0×(－eq\f(2k,1＋k2))＋1×eq\f(1－k2,1＋k2)＝eq\f(1－k2,1＋k2)＝－eq\f(1,2)，即k2＝3，故k＝±eq\r(3).二、填空题3．(2012·重庆三校联考)已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且|AB|＝6，若以AB的长为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是______________________________________．[答案](x－1)2＋(y＋1)2＝9[解析]设圆心坐标为M(x，y)，则(x－1)2＋(y＋1)2＝(eq\f(|AB|,2))2，即为(x－1)2＋(y＋1)2＝9.4．(2012·江南十校联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为________．[答案](x－1)2＋(y＋1)2＝2[解析]设圆心坐标为(a，－a)，因为两条直线x－y＝0与x－y－4＝0平行，故它们之间的距离就等于直径，所以2r＝eq\f(4,\r(2))＝2eq\r(2)，且r＝eq\f(|2a－4|,\r(2))＝eq\r(2)，解得a＝1或a＝3(舍去)，故圆心为(1，－1)，圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.三、解答题5．根据下列条件，求圆的方程.(1)经过坐标原点和点P(1,1)，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上.(2)过P(4，－2)、Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4eq\r(3).[解析](1)显然，所求圆的圆心在OP的垂直平分线上，OP的垂直平分线方程为：eq\r(x2＋y2)＝eq\r(x－12＋y－12)，即x＋y－1＝0.解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0,2x＋3y＋1＝0))，得圆心C的坐标为(4，－3)．又圆的半径r＝|OC|＝5，∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.(2)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.①将P、Q点的坐标分别代入①得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4D－2E＋F＝－20，②,D－3E－F＝10③))令x＝0，由①得y2＋Ey＋F＝0.④由已知|y1－y2|＝4eq\r(3)，其中y1、y2是方程④的两根．∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.解②、③、⑤组成的方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝0，,F＝－12，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－10，,E＝－8，,F＝4.))故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0，或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.6．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2eq\r(2)的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．[解析](1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8，∵直线y＝x与圆C相切于原点O.∴O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝8,\f(b,a)＝－1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2,b＝2.))由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0.∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－42＋y2＝16，,x＋22＋y－22＝8.))解之得x＝eq\f(4,5)或x＝0(舍去)．所以存在点Q(eq\f(4,5)，eq\f(12,5))，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．7．设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求：(1)求实数b的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．[分析]本小题考查二次函数图像与性质、圆的方程的求法．[解析](1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令f