考研数学一(随机事件和概率)模拟试卷5(题后含答案及解析)

考研数学一（随机事件和概率）模拟试卷5(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设A，B，C三个事件两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是()A．A与BC独立。B．AB与A∪C独立。C．AB与AC独立。D．A∪B与A∪C独立。正确答案：A解析：A，B，C相互独立A，B，C两两独立且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。由题设条件已知A，B，C两两独立，因此A，B，C相互独立P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。对于选项(A)，因为已知B与C相互独立，所以A与BC独立P(ABC)=P(A)P(BC)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。故选(A)。知识模块：随机事件和概率2．假设事件A和B满足P(B∣A)=1，则()A．A是必然事件。B．AB。C．AB。D．P(AB)=0。正确答案：D解析：由P(AB)=P(B∣A)P(A)及P(B∣A)=1可知P(AB)=P(A)，从而有P(A)=P(A)一P(AB)=0。故选(D)。知识模块：随机事件和概率3．以A表示事件“甲产品为合格品，乙产品为不合格品”，则其对立事件为()A．甲产品为不合格品，乙产品为合格品。B．甲、乙两产品均为合格品。C．甲产品为不合格品或乙产品为合格品。D．甲、乙两产品均为不合格品。正确答案：C解析：以B表示事件“甲产品为合格品”，以C表示事件“乙产品为合格品”，则A=B，得∪C，而∪C表示事件“甲产品为不合格品或乙产品为合格品”。故选(C)。知识模块：随机事件和概率4．在容量为11的盒子中放入10个螺母，其中含有i个铜螺母，i=0，1，2，…，10，今向盒中放入一个铜螺母，然后随机从盒中取出一个螺母，则这个螺母为铜螺母的概率是()A．6/11。B．5/10。C．5/11。D．4/11。正确答案：A解析：设Ai=“盒中原有i个铜螺母”，i=0，1，…，10，现共有i+1个铜螺母，则此时取出的是铜螺母的概率是，设B=“取出的是铜螺母”，则P(B)=。故选(A)。知识模块：随机事件和概率5．设A，B为两个事件且P(AB)=0，则()A．A与B互斥。B．AB是不可能事件。C．AB未必是不可能事件。D．P(A)=0或P(B)=0。正确答案：C解析：本题主要考查不可能事件、互不相容事件以及零概率事件的概念。三者关系应该是，事件A与B互不相容即AJE}是不可能事件，则必有P(AB)=0，但反之不然，如任何一个连续型随机变量取任何实数值的概率均为零，但并非一定是不可能事件。故选(C)。除事件的独立性外，一般情况下，由事件的概率不能推断事件的特征，如由P(A)=1不能推断事件A是必然事件。另外，一般情况下，P(AB)≠P(A)P(B)，故选项(D)不正确。知识模块：随机事件和概率6．连续抛掷一枚硬币，第k次(k≤n)正面向上在第n次抛掷时出现的概率为()A．B．C．D．正确答案：D解析：此为独立重复试验中的伯努利概型。总共抛掷n次，其中有k次出现正面，余下的为n—k次反面，且第n次必是正面向上，前n一1次中有n—k次反面，k一1次正面。根据伯努利概型概率公式，有故选(D)。知识模块：随机事件和概率7．盒中有6个正品4个次品，从中任取两件产品，则至少有一个次品的概率为()A．2/3。B．3/5。C．2/5。D．1/3。正确答案：A解析：设事件A为至少有一个次品，则为两件产品都是正品，于是所以P(A)=1一故选(A)。涉及知识点：随机事件和概率8．将一枚匀称的硬币独立地掷三次，记事件A=“正、反面都出现”，B=“正面最多出现一次”，C=“反面最多出现一次”，则下列结论中不正确的是()A．A与B独立。B．B与C独立。C．A与C独立。D．B∪C与A独立。正确答案：B解析：试验的样本空间有23=8个样本点，即Ω={(正，正，正)，(正，反，反)，…，(反，反，反)}，显然B与C为对立事件，且由古典型概率公式有P(A)=，P(B)=P(C)=，P(AB)=P(AC)=，P(BC)=P()=0，P(B∪C)=P(Ω)=1。由于P(A)P(B)=，且P(AB)=，即P(AB)=P(A)P(B)，因此A与B独立。类似地，A与C也独立，又因必然事件与任何事件都独立，因此B∪C与A也独立。用排除法，故选(B)。知识模块：随机事件和概率9．设AB，P(B)＞0，则()A．P(A)＜P(A∣B)。B．P(A)≤P(A∣B)。C．P(A)＞P(A∣B)。D．P(A)≥P(A∣B)。正确答案：B解析：因为AB，所以P(A)=P(AB)=P(B)P(A∣B)≤P(A∣B)。故选(B)。知识模块：随机事件和概率10．设A，B为随机事件，P(A)＞0，则P(B∣A)=1不等价于()A．P(A—B)=0。B．P(B—A)=0。C．P(AB)=P(A}。D．P(A∪B)=P(B)。正确答案：B解析：P(B∣A)=P(AB)=P(A)，而P(B一A)=P(B)一P(AB)。故选(B)。容易验证其余三个选项与已知条件是等价的，即有下述结论。选项(A)P(A—B)=P(A)一P(AB)=0P(AB)=P(A)。选项(C)P(AB)=P(A)P(B∣A)=1。选项(D)P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)=P(B)P(A)=P(AB)。知识模块：随机事件和概率填空题11．设每次独立试验出现A及，且每次试验中概率不变，设P(A)=p，且三次试验中A至少出现一次的概率为，则P=___________。正确答案：解析：由已知得三次试验中A至少出现一次的逆(对立)事件概率为P=C30P0(1－p)3=1一，解得p=。知识模块：随机事件和概率12．假设实验室器皿中产生A类细菌与B类细菌的机会相等，且每个细菌的产生是相互独立的，若某次试验产生了n个细菌，则其中至少有一个A类细菌的概率是___________。正确答案：1一()n解析：n个细菌全部为B类细菌的概率P1为P1=()n，则至少有一个A类细菌的概率P2为P2=1一()n。知识模块：随机事件和概率13．从0，1，2，…，9十个数字中任选三个不同的数字，三个数字中不含0或5的概率为___________。正确答案：解析：设A=“三个数字不含0或5”，则=“三个数字既含0又含5”。方法一：1－。方法二：令B0=“三个数字中不含0”，B5=“三个数字中不含5”，则P(B0)=，P(B5)=，P(B0B5)=，于是P(A)=P(B0∪B5)=P(B0)+P(B5)一P(B0B5)=。知识模块：随机事件和概率14．设工厂A和工厂B的产品次品率分别为1％和2％，现从由A和B的产品分别占60％和40％的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A工厂的概率是___________。正确答案：解析：本题主要考察事件的设定和贝叶斯概率公式，题中有一个完备事件组：工厂A和工厂B的产品。设A={工厂A的产品}，B={工厂B的产品}，C={产品为次品}。则由已知P(A)=0．6，P(B)=0．4，P(C∣A)=0．01，P(C∣B)=0．02。由贝叶斯公式得P(A∣C)=知识模块：随机事件和概率15．袋中有4个白球，6个红球，先从中任取出4个，然后再从剩下的6个球中任取一个，则它为白球的概率是___________。正确答案：解析：先取出的4个球是按照概率取的，故剩下的6个球中白球和红球的比例仍为4：6，故从中取出白球的概率P=。知识模块：随机事件和概率16．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为___________。正确答案：解析：设A表示“两件均为不合格品”，B表示“两件中至少有一件是不合格品”，由于AB，因此P(A)=P(AB),从而P(A∣B)=知识模块：随机事件和概率17．某人向同一目标独立重复射击，每次击中目标的概率为p，则此人第5次射击恰好是第3次命中目标的概率为___________。正确答案：6p3(1一p)2解析：P{第5次射击恰好是第3次命中}=P{第5次击中目标且前4次恰好击中2次}=P{第5次击中目标}.P{前4次恰好击中2次}=P.C42p2(1一p)2=6p3(1一p)2。知识模块：随机事件和概率18．设事件A，B满足AB=，则P(A∪B)=___________，P(AB)=___________。正确答案：1；0解析：由条件AB=可得，AB=，即Ω=(A∪B)∪()=A∪B∪AB=A∪B,则P(A∪B)=1。另一方面AB==Ω一(A∪B)=，所以P(AB)=0。知识模块：随机事件和概率19．设事件A，B恰有一个发生的概率为0．3，且P(A)+P(B)=0．5，则A与B至少有一个发生的概率为___________。正确答案：0.4解析：由事件A，B恰有一个发生的概率为0．3可知，P()=0．3，即P(A)一P(AB)+P(B)一P(AB)=0．3。又由P(A)+P(B)=0．5，可得P(AB)=0．1，从而P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0．4，即A与B至少有一个发生的概率为0．4。知识模块：随机事件和概率20．在区间(0，1)中随机地取两个数，则两数之和小于的概率为___________。正确答案：解析：设A表示两数之和小于，x，y分别表示随机取出的两个数，则0＜x＜1，0＜y＜1，从而Ω={(x，y)∣0＜x＜1，0＜y＜1}，A={(x,y)∣x+y＜}，则由几何型概率知(如图1—10)P(A)=。知识模块：随机事件和概率解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。盒中放有10个乒乓球，其中3个是旧的，第一次比赛时从中任取两个来用(比赛后就成旧的)，比赛后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取两个。21．求第二次取出的球都是新球的概率；正确答案：以B表示事件“第二次取出的球都是新球”，Ai(i=0，1，2)表示事件“第一次比赛时用了i个新球”，则P(Ai)=,P(B∣Ai)=由全概率公式，有P(B)=P(Ai)P(B∣Ai)=。涉及知识点：随机事件和概率22．已知第二次取出的球都是新球，求第一次取出的球都是新球的概率。正确答案：由贝叶斯公式，有P(A2∣B)=涉及知识点：随机事件和概率在回答有a，b，c，d四个选项的选择题时，由于题目较难，全班只有5％的学生能解答出答案，假设能解答出答案的学生回答正确的概率为99％，不能解答出答案的学生随机猜测答案。求：23．学生回答正确的概率；正确答案：以B表示事件“学生回答正确”，A表示事件“学生能解答出答案”，则表示事件“学生不能解答出答案”，则由题设条件，得P(A)=0．05，P()=0．95，P(B∣A)=0．99，P(B∣)==0．25。由全概率公式，得P(B)=P(B∣A)P(A)+P(B∣)P()=0．99×0．05+0．25×0．95=0．287。涉及知识点：随机事件和概率24．在学生回答不正确的情况下，他(她)是猜答案的概率。正确答案：由P(B∣A)=0．99及P(B∣)=0．25得，P(∣A)=0．01，P()=0．75，因此由贝叶斯公式，得≈0．9993。涉及知识点：随机事件和概率25．某班有50名同学，其中正、副班长各1名，现从中任意选派5名同学参加假期社会实践活动，试求正、副班长至少有一个被选派上的概率。正确答案：设A表示事件“正、副班长至少有一个被选上”，方法一：样本空间含有总样本点为C505个，事件A包含的事件数为C21C484+C22C483个，故P(A)=方法二：因为包含的总事件数为C485，于是P(A)=1—涉及知识点：随机事件和概率26．设两两相互独立的三个事件A，B，C满足ABC=，P(A)=P(B)=．P(C)＜，并且P(A+B+C)=，求事件A的概率。正确答案：由公式得P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(BC)一P(CA)+P(ABC)，而由题设条件，有ABC=P(ABC)=0，A，B，C两两独立，且P(A+B+C)=。若设P(A)=P(B)=P(C)=x，则有=3x一3x2(x＜)，故有P(A)=x=。涉及知识点：随机事件和概率27．一本m页的书，共有r个错字，且每个错字等可能地出现在每一页上，试求在给定的一页上至少有两个错字的概率。正确答案：设A表示事件“给定的一页上至少有两个错字”，Pr(k)表示给定的一页上有k个错字的概率，则Pr(k)=,k=0，1，…，r。于是可得P(A)=1一P()=1一Pr(0)一Pr(1)=1一。涉及知识点：随机事件和概率28．一架长机和两架僚机一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地非有无线电导航不可，而只有长机具有此项设备，一旦到达目的地各机独立地进行轰炸，且炸毁目标的概率均为0．3，在到达目的地之前，须经过高射炮区，此时任一飞机被击落的概率为0．2，求目标被击毁的概率。正确答案：设Bi表示事件“三架飞机中有i架通过高射炮区，且i≥1时必有长机通过”，i=0，1，2，3，A表示事件“目标被击毁”，则P(B0)=0．23=0．008，P(B1)=0．8×0．2×0．2=0．032，P(B2i)=0．8×0．8×0．2+0．8×0．2×0．8=0．256，P(B2)=0．8×0．8×0．8=0．512，P(A∣B0)=0，P(A∣B1)=0．3，P(A∣B2)=0．3+0．3—0．3×0．3=0．51，P(A∣B3)=3×0．3—3×0．32+0．33=0．657。故由全概率公式得P(A)=P(Bi)P(A∣Bi)=0．008×0+0．032×0．3+0．256×0．51+0．512×0．657=0．4765。涉及知识点：随机事件和概率甲、乙两人对同一目标进行射击，命中率分别为0．6，0．5。试在下列两种情形下，分别求“已知目标被命中，则甲射中”的概率：29．在甲、乙两人中随机地挑选一人，由他(她)射击一次；正确答案：设A1={选中甲}，A2={选中乙}，B={命中目标}。由贝叶斯公式，得P(A1∣B)=涉及知识点：随机事件和概率30．甲、乙两人独立地各射击一次。正确答案：设A={甲射中}，B={乙射中}，且A，B相互独立，则所求概率为P(A∣A∪B)=涉及知识点：随机事件和概率