湖北省恩施市毛坝乡中学高三数学理上学期摸底试题含解析

湖北省恩施市毛坝乡中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知U={x|y=}，M={y|y=2x，x≥1}，则?UM=（）A．[1，2） B．（0，+∞） C．[2，+∞） D．（0，1]参考答案：A【考点】1F：补集及其运算．【分析】分别求出关于U，M的范围，从而求出M的补集即可．【解答】解：U={x|y=}={x|x≥1}，M={y|y=2x，x≥1}={y|y≥2}，则?UM=[1，2），故选：A．【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．2.i为虚数单位，复数z满足z（1+i）=i，则|z|=（）A. B. C.1 D.参考答案：B试题分析：由得，所以，故答案为B．考点：复数的运算．3.已知数列{an}满足an+1=an﹣an﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，Sn为数列{an}的前n项和，则S2017的值为（）A．2017n﹣m B．n﹣2017m C．m D．n参考答案：C【考点】数列递推式．【分析】an+1=an﹣an﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，可得an+6=an．即可得出．【解答】解：∵an+1=an﹣an﹣1（n≥2），a1=m，a2=n，∴a3=n﹣m，a4=﹣m，a5=﹣n，a6=m﹣n，a7=m，a8=n，…，∴an+6=an．则S2017=S336×6+1=336×（a1+a2+…+a6）+a1=336×0+m=m，故选：C．【点评】本题考查了数列递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.抛物线（）的焦点为，其准线经过双曲线（，）的左焦点，点为这两条曲线的一个交点，且，则双曲线的离心率为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C5.已知集合A=，B=则A.

B.

C.

D.参考答案：B6.若抛物线C：上一点到焦点F的距离为5，以M为圆心且过点F的圆与y轴交于A，B两点，则|AB|=（

）A．4

B．6

C．

D．8参考答案：B由于M到焦点的距离为5,故到准线的距离也是5,故,代入抛物线得,解得,不妨设,故圆心为(4,4),半径为5,圆的方程为,令,解得,故.故选B.

7.设集合A={y|y=cosx，x∈R}，B={y|y=2x，x∈A}，则A∩B=（）A． B．[1，2] C． D．[0，1]参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】求出集合A，B，根据集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={y|y=cosx}={y|﹣1≤y≤1}=[﹣1，1]，B={y|y=2x，x∈A}=[，2]则A∩B=[，1]故选：A．8.若集合，则集合的真子集个数是A．16

B．8

C．4

D．3参考答案：D集合中有两个元素，则集合A的真子集个数是．选D.9.半径为R的球O中有两个半径分别为2与2的截面圆，它们所在的平面互相垂直，且两圆的公共弦长为R，则球O表面积为（）A．64π B．100π C．36π D．24π参考答案：A【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是OO1=O2E=，AB=2AE=2=R即可．【解答】解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是OO1=O2E=，AB=2AE=2=R∴R=4．则球O表面积为4πR2=64π故选：A．

10.为了了解小学生的作业负担，三名调研员对某校三年级1至5名进行学情调查，已知这5个班在同一层楼并按班号排列。若要求每名调研员均参与调查，但不在相邻两个班调查，每个班只安排一名调研员，则不同的调查方案有A.48种

B.42种

C.36种

D.24种参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数且，函数若数列满足，且是等差数列，则参考答案：2，0略12.某几何体的三视图如图所示,则其表面积为________.参考答案：（2）（3）略13.已知集合，，若，则实数的取值范围是

．参考答案：

14.已知函数，的图像与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间是___________参考答案：解析：，由题设的周期为，∴，由得，15.如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.参考答案：试题分析：设，则由相交弦定理得，，又，所以，因为是直径，则，，在圆中，则，即，解得16.下面四个命题：①命题“?x＞0，x2﹣3x+2＜0”的否定是“?x＞0，x2﹣3x+2≥0”；②要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移个单位；③若定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则f（x）是周期函数；④已知奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1}．其中正确的是

．（填写序号）参考答案：①③17.若的最大值是3，则的值是

.参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1．（Ⅰ）求实数a，b的值；（Ⅱ）是否存在实数m，当x∈（0，1]时，函数g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）的最小值为0，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若0＜x1＜x2，求证：＜2x2．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由f（1）=1且f′（1）=0联立求得a，b的值；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的f（x）的解析式代入g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1），求其导函数，然后对m分类分析导函数的符号，得到原函数的单调性，求出最小值．特别当m＞2时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，求出g（x）的最小值小于0．则m的取值范围可求；（Ⅲ）由（II）知，m=1时，g（x）=x﹣1﹣2lnx在（0，1）上单调递减，得到x﹣1＞2lnx，由0＜x1＜x2得到0＜，代入x﹣1＞2lnx证得答案．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=ax2﹣blnx，得：，∵函数f（x）=ax2﹣blnx在点（1，f（1））处的切线为y=1，∴，解得a=1，b=2；（II）由（Ⅰ）知，f（x）=x2﹣2lnx，∴g（x）=f（x）﹣x2+m（x﹣1）=m（x﹣1）﹣2lnx，x∈（0，1]，∴，①当m≤0时，g′（x）＜0，∴g（x）在（0，1]上单调递减，∴g（x）min=g（1）=0．②当0＜m≤2时，，∴g（x）在（0，1]上单调递减，∴g（x）min=g（1）=0．③当m＞2时，g′（x）＜0在上恒成立，g′（x）＞0在上恒成立，∴g（x）在上单调递减，在上单调递增．∴，∴g（x）min≠0．综上所述，存在m满足题意，其范围为（﹣∞，2]；（III）证明：由（II）知，m=1时，g（x）=x﹣1﹣2lnx在（0，1）上单调递减，∴x∈（0，1）时，g（x）＞g（1）=0，即x﹣1＞2lnx．∵0＜x1＜x2，∴0＜，∴，∴，∵lnx2＞lnx1，∴．19.已知函数.（1）若在时，有极值，求a的值；（2）在直线上是否存在点P，使得过点P至少有两条直线与曲线相切？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.参考答案：（1）（2）不存在，详见解析【分析】（1）求得，根据函数在取得极值，即可求解；（2）不妨设点，设过点与相切的直线为，切点为，求得切线方程，根据直线过，转化为，设函数，转化为在区间上单调递增，即可求解.【详解】（1）由题意，函数，则，由在时，有极值，可得，解得.经检验，时，有极值.综上可得.（2）不妨设在直线上存在一点，设过点与相切的直线为，切点为，则切线方程为，又直线过，有，即，设，则，所以在区间上单调递增，所以至多有一个解，过点与相切的直线至多有一条，故在直线上不存在点，使得过至少有两条直线与曲线相切.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，其中解答中熟记函数的导数与函数间的关系是解答的关键，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力．20.（本小题满分12分）广州某商场根据以往某种商品的销售记录，绘制了日销售量的频率分布表（如表）和频率分布直方图（如图）．

表1分组频数频率

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．（1）求，的值.（2）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都高于100个且另1天的日销售量不高于50个的概率；（3）用表示在未来3天里日销售量高于100个的天数，求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：（1）解：，.

…………2分(2)解：设表示事件“日销售量高于100个”，表示事件“日销售量不高于50个”，

表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量高于100个且另1天销售量不高于50个”．，

，.

………5分(3)解：依题意，的可能取值为，，，，且.

……………6分，

，，，…………10分∴的分布列为01230.0640.2880.4320.216

…………11分∴.

……………12分21.已知是定义在上的奇函数，当时，，（1）求的解析式（2）解不等式参考答案：（1）当时，则，……………3又是定义在上的奇函数……5……..6(2)当时

……8当时

…………10所以，不等式解为……………1222.已知f（x）=x﹣aex（a∈R，e为自然对数的底）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）≤e2x对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）有两个不同零点x1，x2，求证：x1+x2＞2．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；作图题；证明题；导数的综合应用．【分析】（1）求导f′（x）=1﹣aex，由导数的正负确定函数的单调性；（2）f（x）≤e2x对x∈R恒成立可化为x﹣aex≤e2x对x∈R恒成立，故a≥对x∈R恒成立，令F（x）=，从而化成最值问题；（3）由题意可求出0＜a＜；则a=的两个不同根为x1，x2，做y=的图象，利用数形结合证明．【解答】解：（1）当a≤0时，易知f（x）=x﹣aex在R上是增函数，当a＞0，f′（x）=1﹣aex，故当x≤﹣lna时，f′（x）＞0，当x＞﹣lna时，f′（x）＜0；故函数f（x）在（﹣∞，﹣lna）上是增函数，在（﹣lna，+∞）上是减函数；（2）f（x）≤e2x对x∈R恒成立可化为x﹣aex≤e2x对x∈R恒成立，故a≥对x∈R恒成立，令F（x）=，则F′（x）=；则当x＜0时，F′（x）＜0，x＞0时，F′（x）＞0；故F（x）=在x=0处有最大值F（0）=﹣1；故a≥﹣1；（3）证明：∵函数f（x）有两个不同零点x1，x2，结合（1）可知，﹣lna﹣ae﹣lna＞0，解得，0＜a＜；则x1=aex1，x2=aex2；则a=的两个不同根为x1，x2，令g（x）=，则g′（x）=，知g（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；又∵当x∈（﹣∞，0]时，g（x）≤0，故不妨设x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）；对于任意a1，a2∈（0，），设a1＞a2，若g（m1）=g（m2）=a1，g（n1）=g（n2）=a2，其中0＜m1＜1＜m2，0＜n1＜1＜n2，∵g（x）在