计算几何与计算机图形学

20/23计算几何与计算机图形学第一部分计算几何的基础算法与数据结构 2第二部分多边形与凸包的几何特性分析 4第三部分三角形剖分与德劳内三角剖分 7第四部分几何查询与点位置问题 10第五部分三维计算几何的基本概念与算法 12第六部分隐藏曲面算法与光线追踪 15第七部分曲面建模与细分技术 17第八部分基于几何计算的计算机动画 20

第一部分计算几何的基础算法与数据结构关键词关键要点【Delaunay三角剖分】：

1.对一组点进行三角剖分，使得每个点都在其临近点的圆内。

2.在计算机图形学中，用于生成三角网格表面，使表面平滑、连续。

3.可使用增量法和扫面线法等算法有效构建。

【凸包】：

计算几何的基础算法与数据结构

引言

计算几何是计算机科学的一个分支，涉及用算法和数据结构来处理几何形状。它是计算机图形学和计算机辅助设计等领域的基石。计算几何的基础算法和数据结构提供了高效地表示、操作和分析几何形状的方法。

基本数据结构

点：一个具有坐标的二元或三元元组。

线段：连接两个点的路径。

多边形：由一系列连接的线段形成的闭合路径。

凸包：一个包含所有给定点的凸多边形，其中凸多边形没有内角大于180度。

三角剖分：将多边形分解成一系列不重叠的三角形。

基本算法

凸包算法：计算给定点的凸包。常见的算法包括Graham扫描和Jarvis算法。

三角剖分算法：将多边形分解成一系列不重叠的三角形。常见的算法包括Delaunay三角剖分和耳切剖分。

最近邻搜索：在给定点集或多边形中找到最近的点。常见的算法包括kd树和kd树搜索。

范围查询：查找给定矩形区域内所有点。常见的算法包括kd树搜索和范围树。

高级数据结构

kd树：一种二叉树数据结构，用于高效地存储和搜索多维数据。

范围树：一种数据结构，用于高效地执行范围查询。

Voronoi图：将平面划分为一系列区域，每个区域包含到给定点集中的特定点最近的点。

Delaunay三角剖分：一种特殊的三角剖分，其中每个三角形的圆外接圆不包含任何其他点。

应用

计算机图形学：

*渲染和建模

*可视化和动画

*碰撞检测和响应

计算机辅助设计(CAD)：

*几何建模

*特征提取

*装配和仿真

其他应用：

*机器人导航

*地图绘制

*分子模拟

结论

计算几何的基础算法和数据结构为表示、操作和分析几何形状提供了高效的方法。它们在计算机图形学、CAD和其他领域有着广泛的应用。通过了解这些算法和数据结构，我们可以开发出更强大、更有效的几何处理解决方案。第二部分多边形与凸包的几何特性分析关键词关键要点多边形的几何特性

1.凸多边形：所有内角均小于180度，且没有内点同时属于多边形边界和多边形内部。

2.凹多边形：至少有一个内角大于等于180度，且存在内点同时属于多边形边界和多边形内部。

3.简单多边形：边界没有自交，且多边形内部没有孔洞。

4.星形多边形：边界至少有一个凹入部分，其内部具有一个或多个孔洞。

5.凸包：包含给定点集的所有凸多边形中面积最小的那个。

6.凸包算法：计算给定点集凸包的算法，如Graham扫描算法和Jarvis算法。

凸包的几何特性

1.极值点：位于凸包边界上的点，包括顶点、凹点和凸点。

2.极值方向：从一个极值点到另一个极值点的向量，凸包边界的切线与该向量平行。

3.凸包周长和面积：凸包的周长等于其边界上所有线段的长度，其面积等于边界线段围成的多边形面积。

4.支撑点：凸包内部的点与凸包边界仅有一个公共点相连，该公共点称为支撑点。

5.直径：凸包中两点之间的最大距离，由两条平行的支撑线确定。

6.凸包分解：通过将凸包分割成较小的凸多边形来分解凸包，以进行更复杂的操作，如三角剖分。多边形与凸包的几何特性分析

1.多边形相关概念

*多边形：由多条线段首尾相连形成的封闭几何图形。

*顶点：多边形线段的交点。

*边：多边形连续的线段。

*内角：多边形相邻两边形成的角度。

*外角：多边形相邻一边与相邻边的延长线形成的角度。

*对角线：多边形不相邻两顶点之间的线段。

*周长：多边形所有边的长度之和。

*面积：多边形内部分的面积。

2.凸包相关概念

*凸包：给定一组点，其凸包是由这些点中凸多边形所有顶点构成的多边形。

*凸多边形：所有内角均小于180°的多边形。

*凸壳：凸包的边界。

*直径：凸包中两点间距离最大的线段。

3.多边形的几何特性

*内角和定理：多边形所有内角之和等于(n-2)×180°，其中n为多边形的顶点数。

*外角和定理：多边形所有外角之和等于360°。

*对角线数：多边形对角线数等于½(n(n-3))，其中n为多边形的顶点数。

*平面分割：多边形可以通过对角线将平面分割成n-2个三角形区域。

4.凸包的几何特性

*凸包存在性：给定一组点，其凸包始终存在。

*凸包极值点：凸包的顶点是数据集在特定方向上的极值点。

*贾维斯算法：一种计算凸包的有效算法，复杂度为O(nh)，其中n为点集大小，h为凸包凸壳的长度。

*安德鲁算法：另一种计算凸包的快速算法，复杂度为O(nlogh)。

5.多边形与凸包的应用

*图像处理：目标识别、图像分割、特征提取。

*计算机图形学：场景建模、碰撞检测、视图裁剪。

*运动规划：机器人路径规划、避障算法。

*地理信息系统：边界识别、区域划分、空间分析。

6.结论

多边形和凸包是计算几何和计算机图形学中重要的几何对象。理解其几何特性对于设计高效算法、进行数据分析和解决实际问题至关重要。通过研究多边形和凸包的几何特性，我们可以开发创新的解决方案，满足现实世界中的各种挑战。第三部分三角形剖分与德劳内三角剖分关键词关键要点三角形剖分

1.定义和性质：三角形剖分是指将多边形分割成一系列不重叠的三角形，满足以下性质：

-每个三角形的顶点都是多边形的顶点；

-任意两个三角形公边的交点要么是多边形的顶点，要么为空集。

2.构造算法：常见的三角形剖分算法包括：

-耳机算法：通过迭代地移除“耳机”，直到剖分完成。

-Delaunay三角剖分：将多边形内的点集划分为一组三角形，使得任何三角形的圆内不包含其他点。

3.应用：三角形剖分广泛应用于计算机图形学中，例如：

-多边形网格生成；

-有限元分析；

-路径规划。

Delaunay三角剖分

1.性质：Delaunay三角剖分具有以下性质：

-任何三角形的圆内不包含多边形中的其他点；

-对于任何两个相邻三角形，其公共边的中点与连接两个中心点的线段垂直。

2.构造算法：常用的Delaunay三角剖分算法包括：

-增量算法：通过逐个插入点到多边形中构造剖分。

-Bowyer-Watson算法：通过交换不满足Delaunay条件的边来迭代逼近Delaunay剖分。

3.应用：Delaunay三角剖分在计算机图形学中具有广泛的应用，例如：

-Voronoi图生成；

-自然邻居插值；

-凸包近似。三角形剖分

三角形剖分是一种将一个集合中的点分解为互不相交三角形的方法。其目标是创建具有特定性质的剖分，例如均匀分布、最小面积或最小周长。三角形剖分广泛应用于计算机图形学、有限元分析、计算机辅助设计和地理信息系统等领域。

#Delaunay三角剖分

Delaunay三角剖分是一种特殊的三角形剖分，它具有以下性质：

*最大化最小内角：对于任何三角形，其最小内角比剖分中任何其他三角形的最小内角都要大。

*空圆性质：对于任何三角形，其外接圆不包含任何剖分中的其他点。

Delaunay三角剖分被认为是点集最优三角形剖分，因为它具有许多有用的性质，例如：

*均匀分布：Delaunay三角形近似均匀分布，避免了大或小三角形的出现。

*最小化凸包：Delaunay三角形剖分的凸包面积比任何其他三角形剖分的凸包面积都要小。

*最短路径：在Delaunay三角形剖分中，两个点之间的最短路径通常由连接它们的三角形的边组成。

计算三角形剖分和Delaunay三角剖分

有许多算法可以计算三角形剖分和Delaunay三角剖分，每种算法都有其独特的优点和缺点。最常用的算法之一是Delaunay三角剖分的增量算法。

#增量Delaunay三角剖分算法

增量Delaunay三角剖分算法是一种迭代算法，它以一个空三角形剖分开始，并逐步添加点并更新剖分以保持Delaunay性质。算法步骤如下：

1.初始化一个空三角形剖分。

2.对于每个点，执行以下步骤：

*找到剖分中与新点最接近的三角形。

*将新点插入三角形，创建新的三角形。

*更新受新三角形影响的所有相邻三角形，以保持Delaunay性质。

增量Delaunay三角剖分算法的复杂度为O(nlogn)，其中n是点集中的点数。

三角形剖分和Delaunay三角剖分在计算机图形学中的应用

三角形剖分和Delaunay三角剖分在计算机图形学中有着广泛的应用，包括：

*表面网格：三角形剖分用于创建三维物体的表面网格，以便进行渲染和动画。

*有限元分析：Delaunay三角剖分用于创建用于有限元分析的网格，以求解力学、热力学和流体动力学等问题。

*地形建模：三角形剖分用于创建数字高程模型（DEM），以表示地形。

*路径规划：Delaunay三角剖分用于计算两个点之间的最短路径，这在机器人和游戏开发中很有用。

三角形剖分和Delaunay三角剖分是计算机图形学中必不可少的工具，它们提供了一种高效且可靠的方式来组织和处理几何数据。第四部分几何查询与点位置问题几何查询与点位置问题

在计算几何和计算机图形学中，几何查询和点位置问题是两个密切相关的研究领域，它们涉及确定几何对象（如点、线、多边形或多面体）之间的空间关系。

几何查询

几何查询是指给定一组几何对象，确定这些对象之间是否存在特定关系。常见的几何查询包括：

*点是否在多边形内部？

*线段是否与圆相交？

*多边形是否凸？

*多面体是否与球相交？

点位置问题

点位置问题是几何查询的特殊情况，涉及确定给定点相对于一组几何对象的相对位置。常见的点位置问题包括：

*点是否在凸多边形内部、外部或边界上？

*点是否位于线段上方、下方或在线段上？

*点是否在平面分隔线的一侧或另一侧？

解决方法

解决几何查询和点位置问题的经典方法有多种：

*扫面法：使用扫描线或扫描平面来依次检查点的位置。

*分而治之：将给定的几何对象递归地划分为更小的部分。

*Voronoi图：为每个点构建一个包含所有距离该点最近的点的区域。

*三角剖分：将给定的多边形或多面体划分为三角形或四面体。

*空间划分树：将给定的空间划分成一系列嵌套的子空间。

应用

几何查询和点位置问题在计算机图形学和许多其他领域都有广泛的应用，包括：

*计算机辅助设计（CAD）：确定对象之间的空间关系以进行建模和装配。

*运动规划：计算机器人或其他对象的运动轨迹，避免与障碍物碰撞。

*地理信息系统（GIS）：分析地理数据，例如土地利用和人口分布。

*游戏开发：检测碰撞、创建逼真的场景和进行人工智能决策。

*图形用户界面（GUI）：确定鼠标光标的位置和用户交互。

研究进展

几何查询和点位置问题领域在不断发展，研究人员正在探索新方法来提高算法的效率和鲁棒性。当前的研究重点包括：

*近似算法：找到几何查询的快速近似解，即使对于复杂对象也是如此。

*动态数据结构：维护和查询不断变化的几何对象集。

*基于GPU的算法：利用图形处理单元（GPU）的并行处理功能来加速几何查询。

*拓扑数据分析：利用拓扑方法分析几何数据的形状和连接特性。

结论

几何查询和点位置问题是计算几何和计算机图形学中的基本问题，它们在广泛的应用中发挥着至关重要的作用。随着算法和数据结构的不断改进，几何查询和点位置问题领域有望继续在这些领域发挥重要作用。第五部分三维计算几何的基本概念与算法关键词关键要点多面体表示

-凸包表示：将多面体表示为一组凸多面体的并，其中每个凸多面体用其顶点和边表示。

-边界表示：使用有向边或面组来表示多面体的边界，反映其拓扑结构。

-体素表示：将多面体分解为一系列更小的单元（体素），并记录每个体素与多面体相交的情况。

多面体操作

-布尔运算：计算两个多面体的并集、交集和差集，形成新的多面体。

-切割运算：使用平面或其他几何对象将多面体分割成多个较小的多面体。

-平滑运算：应用平滑算法来减少多面体的弯曲和不规则性，使其更加光滑。

多面体分解

-三角剖分：将多面体分解为一组三角形面，以进行更简单的处理和渲染。

-四边形剖分：将多面体分解为一组四边形面，以提高渲染效率。

-体素化：将多面体分解为一系列较小的体素，以支持体积渲染和其他基于体素的运算。

空间搜索

-空间分区：将空间分解为一系列较小的单元，以快速定位物体的子集。

-层次化搜索：使用层次结构来缩小搜索空间并加快查询速度。

-近似算法：使用快速但近似的方法来搜索空间，在可接受的精度范围内加快查询。

运动规划

-机器人导航：计算机器人从起点到终点的路径，同时避开障碍物和限制。

-碰撞检测：确定两个或多个物体之间是否发生碰撞，以及在发生碰撞时碰撞点的计算。

-路径优化：找到从起点到终点最短、最平滑或最有效率的路径。

计算机图形学中的应用

-渲染：使用多面体和空间搜索算法来构建场景、光线追踪和产生逼真的图像。

-动画：使用运动规划算法来模拟角色和对象的运动，创建动态和交互式的场景。

-游戏开发：使用多面体操作、空间搜索和碰撞检测算法来创建逼真的游戏环境和游戏角色。三维计算几何的基本概念与算法

1.基本概念

*点和向量：三维空间中的点由三个坐标表示，向量是两个点之间的差值。

*平面和线：平面由一个法向量和一个点或三点定义，线段由两个端点定义。

*多边形和多面体：多边形是平面上由线段连接的闭合图形，多面体是三维空间中由多边形面连接的闭合对象。

*凸包：凸包是包含给定点集的所有其他点的最小凸多面体。

*Delaunay三角剖分：Delaunay三角剖分是平面或三维空间中的点集的三角剖分，使得任何三角形的圆内都不包含其他点。

2.算法

2.1凸包算法

*Graham扫描算法：按极角排序点，然后依次将它们入栈，弹出与栈顶形成凹包的点。

*Jarvis算法：从一个点出发，沿凸包边界逆时针移动，不断添加新的点，直到回到起始点。

2.2Delaunay三角剖分算法

*增量式算法：逐个插入点，并重新三角剖分受影响区域，以满足Delaunay条件。

*Bowyer-Watson算法：从一个初始三角剖分开始，依次处理每个点，如果点不在其三角形的圆内，则重新三角剖分。

2.3最近邻搜索算法

*k-d树：一个二叉树，每个节点将空间沿一个轴划分为两个子区域。

*Octree：一个八叉树，每个节点将空间沿三个轴划分为八个子区域。

2.4表面重建算法

*MarchingCubes算法：将体素网格中的等值面提取成三角网格。

*Poisson表面重建：使用泊松方程从点云中重建表面。

2.5计算几何应用

*计算机图形学：三维建模、渲染、碰撞检测。

*计算机辅助设计（CAD）：几何设计、实体建模。

*机器人学：运动规划、路径生成。

*科学计算：有限元分析、流体力学模拟。

*地理信息系统（GIS）：地形建模、空间分析。第六部分隐藏曲面算法与光线追踪关键词关键要点隐藏曲面算法

1.旨在确定场景中可见的表面，忽略被其他表面遮挡的表面，提高渲染效率。

2.常用算法包括Z-缓冲、画家和深度排序算法，各有优缺点。

3.近年来，研究重点转向基于光栅化和光线追踪的混合算法，以实现更高质量和效率。

光线追踪

1.通过模拟光线在场景中的路径来计算真实感的图像，精确模拟光照和阴影。

2.递归光线追踪算法可处理反射、折射和全局照明，提供极其逼真的效果。

3.光线追踪计算量大，但近年来随着并行计算和加速算法的进步而变得更加可行。隐藏曲面算法与光线追踪

#隐藏曲面算法

隐藏曲面算法用于确定三维场景中可见的表面，并隐藏被其他表面遮挡的表面。

射线投射法：

*从观察者位置向场景中的每个像素发射一条射线。

*射线与场景中所有表面求交。

*选择与观察者最近的交点处的表面作为该像素的可见表面。

深度缓存法：

*将场景划分为一组并行平面。

*对于每个平面，从观察者位置向平面内的每个像素发射一条射线。

*在每个平面内维护一个深度缓存，存储遇到的最近交点深度。

*对于每个像素，选择具有最小深度的表面作为可见表面。

空间分割法：

*将场景分割成一系列空间子区域（例如八叉树）。

*对于每个子区域，确定所有包含在其中的表面。

*从观察者位置向每个子区域发射射线，仅检查该子区域中的表面。

#光线追踪

光线追踪是一种更逼真的渲染技术，它模拟光线在场景中的路径。

路径追踪：

*从观察者位置发射一条光线。

*光线与场景中第一个交点处的表面发生交互。

*根据表面的材料属性，光线被反射、折射或吸收。

*重复此过程，模拟光线在场景中反弹和传输。

*对于每个像素，将所有光线贡献累加起来，得到最终颜色。

全局光照：

*光线追踪可以模拟全局光照，考虑漫反射和间接照明。

*通过模拟多次光线反弹，可以计算间接照明对场景中表面的影响。

*这提供了更逼真的渲染，展示了阴影、反射和折射的复杂交互。

优点：

*光线追踪产生逼真的图像，准确模拟光与表面的交互。

*可以处理复杂的场景和材料，包括透明度、折射和阴影。

缺点：

*光线追踪计算量大，渲染单个图像可能需要几个小时或几天。

*需要专门的硬件（例如GPU）来加速计算。

#比较

|特征|隐藏曲面算法|光线追踪|

||||

|速度|更快|更慢|

|精度|较低|较高|

|逼真度|低|高|

|全局光照|不支持|支持|第七部分曲面建模与细分技术关键词关键要点B样条曲面

1.利用伯恩斯坦基函数定义的局部控制。

2.提供高阶光滑度和局部修改能力。

3.在计算机辅助设计(CAD)、动画和游戏行业中广泛应用。

NURB曲面

1.使用非均匀有理B样条表示，提供更多设计灵活性。

2.提供准确性和效率的平衡，适用于复杂形状建模。

3.在汽车设计、飞机设计和医疗成像中得到广泛应用。

细分曲面

1.通过递归细分控制网格来生成光滑曲面。

2.提供交互式建模和高细节控制。

3.在计算机图形学、物理模拟和可视化中广泛使用。

多尺度建模

1.将曲面分解为不同分辨率的层次。

2.允许针对特定区域进行细节建模。

3.在地理信息系统、医学成像和制造中得到应用。

生成模型

1.利用机器学习技术生成复杂且逼真的曲面。

2.减轻艺术家手动创建模型的工作量。

3.在影视特效、游戏和建筑设计等领域具有潜力。

实时渲染

1.通过优化渲染算法和硬件能力实现快速逼真的曲面显示。

2.适用于虚拟现实、增强现实和游戏等交互式应用。

3.随着图形处理单元(GPU)的进步而不断发展。曲面建模与细分技术

曲面建模是计算机图形学中创建和表示复杂曲面的过程，广泛应用于各种领域，如建模、动画、渲染和制造。细分技术则是用于局部细化曲面细节的一种有效方法。

#曲面表示

曲面可以通过多种方式表示，包括：

-隐式表示：定义一个标量函数`f(x,y,z)`，该函数的值为0则在曲面上，否则不在曲面上。

-参数化表示：定义一个向量值函数`r(u,v)`，其中`u`和`v`是参数，`r(u,v)`的值位于曲面上。

-网格：由三角形或其他多边形组成的离散集合，近似表示曲面。

#细分技术

细分技术用于通过细化粗糙网格来生成更精细的曲面。常见技术包括：

-Loop细分：将网格的边和面切成两半，然后调整新的顶点的位置以平滑曲面。

-Catmull-Clark细分：类似于Loop细分，但对顶点位置进行了额外的平滑。

-Chaikin细分：将每条边切成四份，并使用插值函数计算新的顶点位置。

#细分技术优势

细分技术具有以下优势：

-局部控制：细分技术可以在需要更多细节的区域进行局部细化，而不会影响其他区域。

-平滑表面：细分技术产生的曲面通常非常平滑，因为它依赖于插值和加权平均。

-多级细分：细分技术可以重复应用，生成越来越精细的曲面。

#曲面建模中的细分技术

细分技术在曲面建模中广泛应用，用于多种目的：

-曲面光滑：平滑粗糙网格，消除不必要的细节并创建更光滑的曲面。

-细节增强：在需要更高细节的区域添加细节，例如面部特征或布料纹理。

-曲面编辑：通过细化和调整特定区域来编辑曲面形状，而无需完全重新建模。

-动态细分：根据观察者距离或其他因素动态调整曲面细分级别，优化渲染性能。

#应用

细分技术在计算机图形学的各个领域都有应用，包括：

-建模：创建和编辑复杂曲面，如角色、环境和产品。

-动画：使用变形细分技术，创建平滑自然的动画。

-渲染：使用细分曲面，生成具有逼真细节和阴影的高质量渲染。

-制造：使用细分技术，创建用于3D打印和CNC加工的准确和详细的表面。第八部分基于几何计算的计算机动画关键词关键要点基于几何计算的计算机动画

主题名称：运动学建模

1.使用物理定律和几何约束来模拟对象和角色的运动。

2.创建关节、骨骼和肌肉系统，以实现逼真的运动。

3.解决逆运动学和正向运动学问题，在给定运动目标的情况下计算关节角度和肌肉力。

主题名称：碰撞检测

基于几何计算的计算机动画

计算机动画依靠几何计算来生成逼真的动画效果。以下是基于几何计算的计算机动画中的几个关键技术：

碰撞检测与处理

碰撞检测是确定两个或多个对象是否相交的计算过程。在动画中，碰撞检测用于防止对象穿透彼此。碰撞处理算法则用于计算碰撞发生后对象的运动。

变形

变形是指改变对象形状的过程。在动画中，变形用于创建逼真的运动，例如扭曲布料或拉伸肌肉。几何计算可用于表示和操纵变形对象的形状。

刚体动画

刚体动画涉及模拟真实世界中刚体对象的运动。几何计算用于表示对象形状、质量和惯性。刚体动力学方程可用于计算对象受力时的运动。

流体模拟

流体模拟用于创建逼真的液体和气体运动。几何计算用于表示流体的形状和体积。流体动力学方程可用于计算流体的速度、压力和密度。

蒙皮

蒙皮是将骨架与皮肤几何联系起来的过程。在动画中，蒙皮用于将骨骼的运动映射到皮肤，从而创建逼真的角色动画。

高级几何数据结构

为了高效处理几何数据，计算机动画中使用了一些高级数据结构。例如：

*边界表示（B-reps）：使用边界（如顶点、边和面）来表示对象的形状。

*实体建模