南昌大学2010级高数(下)试题及答案

PAGEPAGE7南昌大学2010～2011学年第二学期期末考试试卷一、填空题(每空3分，共15分)1.设，则_____.2.设，则_________________.3.曲线绕轴旋转一周得到的旋转曲面方程为_______.4.交换积分次序为________. 5.将函数展开成的幂级数为__________.二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.下列论述正确的是（）函数的极值点必是的驻点；函数的驻点必是的极值点；可微函数的极值点必是的驻点；可微函数的驻点必是的极值点2．设，其中具有二阶连续导数，则等于（）；；；3．设非齐次线性方程有两个不同的解，，为任意常数，则该方程的通解是；；；4．设有级数，则以下命题成立的是若收敛，则收敛；若收敛，则收敛；若发散，则发散；以上三个命题均是错误的5．设：，；：，，，，则有；；；三、计算题（一）(共24分，每小题6分)1、设，求，2、判断级数的敛散性3、求与两条直线及都平行且过点（3，-2，1）的平面方程4、设函数是由方程所确定的隐函数，求，四、计算题（二）(共21分，每小题7分)1、计算，其中为摆线的一拱，2、计算，其中：是以点，，为顶点的三角形正向边界3、利用高斯公式计算曲面积分，其中为的上侧五、解答题(共14分，每小题7分)1、求幂级数的收敛域及和函数2、设函数具有连续的二阶导数，，且曲线积分与路径无关，求函数六、应用题(本题满分6分)求椭球面上点处的切平面与三个坐标面所围成的立体的体积七、证明题(本题满分5分)设级数和都收敛，且存在正整数，当时有，证明级数收敛南昌大学2010～2011学年第二学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空3分，共15分)1.设，则.2.设，则.3.曲线绕轴旋转一周得到的旋转曲面方程为.4.交换积分次序为. 5.将函数展开成的幂级数为.二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.下列论述正确的是（）函数的极值点必是的驻点；函数的驻点必是的极值点；可微函数的极值点必是的驻点；可微函数的驻点必是的极值点2．设，其中具有二阶连续导数，则等于（）；；；3．设非齐次线性方程有两个不同的解，，为任意常数，则该方程的通解是；；；4．设有级数，则以下命题成立的是若收敛，则收敛；若收敛，则收敛；若发散，则发散；以上三个命题均是错误的5．设：，；：，，，，则有；；；三、计算题（一）(共24分，每小题6分)1、设，求，解:2、判断级数的敛散性解:所以该级数收敛。3、求与两条直线及都平行且过点（3，-2，1）的平面方程解:设所求平面法向量为，又已知直线的方向向量分别为：，.取，所以所求平面方程为：即.4、设函数是由方程所确定的隐函数，求，解:设，则 ：所以，四、计算题（二）(共21分，每小题7分)1、计算，其中为摆线的一拱，解:2、计算，其中：是以点，，为顶点的三角形正向边界解:直线段方程：，直线段方程：记折线段，，所围成区域为，由格林公式得：3、利用高斯公式计算曲面积分，其中为的上侧解:记平面为，取下侧，由和所围成闭区域为，，，，，，由高斯公式可得在平面：上，所以五、解答题(共14分，每小题7分)1、求幂级数的收敛域及和函数解:所以收敛半径当时，原级数化为，收敛当时，原级数化为，发散所以收敛域为设的和函数为，即，于是，逐项求导得上式从到积分，得：于是，当时，有：而，故：2、设函数具有连续的二阶导数，，且曲线积分与路径无关，求函数解:，由于曲线积分与路径无关，所以，又，，故，即：特征方程为，，的通解为：，又，所以：，从而，，因此.六、应用题(本题满分6分)求椭球面上点处的切平面与三个坐标面所围成的立体的体积解:设，则，，，则法向量，所以椭球面上点处的切平面方程为：即：则平面与三个坐标面所围成的立体：，记其体积为.所以：七、证明题(本