河北省保定市定兴县第一中学高三数学理期末试题含解析

河北省保定市定兴县第一中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A． B． C． D．参考答案：C考点：向量的线性运算性质及几何意义；几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．解答：解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则∵，∴，得=﹣2由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==故选C点评：本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．2.已知实数x，y满足，则z=x－2y的最大值为（

）A．-4

B．

C.-1

D．-2参考答案：D3.函数的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(

)A．8

B．6

C．4

D．2参考答案：A略4.已知共有项的数列，，定义向量、，若，则满足条件的数列的个数为

（

）

A.2

B.

C.

D.

参考答案：C5.y=f(x)是定义在R上的函数，若a∈R，则“x≠a”是“f(x)≠f(a)”成立的 A．充分不必要条件

B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B6.化简（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：C【知识点】二倍角公式；诱导公式；辅助角公式.C2C6原式=，故选C.【思路点拨】利用二倍角公式、诱导公式、辅助角公式化简即可。7.已知，则的值为

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D8.已知集合,,则集合A.

B.

C.

D.参考答案：D略9.已知二面角的大小为，异面直线m，n分别与垂直，则m，n所成的角为（

）参考答案：C略10.在数列中，已知等于的个位数，则等于（

）A．8

B．6

C．4

D．2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列中,,,,则…=

.参考答案：略12.若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为

．参考答案：13.过抛物线的焦点，且垂直于对称轴的直线交抛物线于两点，若线段的长为8，则的值为

参考答案：4略14.若复数z=（为虚数单位），则|z|=

．参考答案：15.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为

．参考答案：考点：任意角的三角函数的定义．专题：计算题．分析：利用正切函数的定义求得三角函数的值，再求角α的最小正值．解答： 解：由题意，点在第四象限∵==∴角α的最小正值为故答案为：点评：本题重点考查三角函数的定义，考查诱导公式的运用，属于基础题．16.设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，则f′（1）=

．参考答案：2【考点】导数的运算；函数的值．【专题】计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．【分析】由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．【解答】解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（ex）=x+ex，令ex=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．【点评】本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型．17.已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为

．参考答案：2【考点】基本不等式；对数的运算性质．【分析】由log2x+log2y=1，得出xy=2，且x＞0，y＞0；由基本不等式求出x+y的最小值．【解答】解：∵log2x+log2y=1，∴log2（xy）=1，∴xy=2，其中x＞0，y＞0；∴x+y≥2=2，当且仅当x=y=时，“=”成立；∴x+y的最小值为．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，焦点F的坐标为（1，0）。（1）求抛物线C的标准方程；（2）设M、N是抛物线C的准线上的两个动点，且它们的纵坐标之积为，直线MO、NO与抛物线的交点分别为点A、B，求证：动直线AB恒过一个定点。参考答案：(1)设抛物线的标准方程为，则，所以抛物线方程为（2）抛物线C的准线方程为，设，其中，直线MO的方程：，将与联立解得A点坐标。同理可得B点坐标，则直线AB的方程为：整理得，故直线AB恒过定点（1,0）。略19.已知数列的前项和为，且。（1）求数列的通项公式；（2）若数列的通项公式为，求数列的前项和。参考答案：（1）；（2）20.在数列中，，.（Ⅰ）设，求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.参考答案：解：（I）由已知有，又，利用累差迭加即可求出数列的通项公式:()……………………6分（II）由（I）知,而,令①①×2得②①-②得=…………………12分

21.如图，E是圆O中直径CF延长线上一点，弦ABCF,AE交圆O于P,PB交CF于D，连接AO、AD.求证：（Ⅰ）E=OAD；（Ⅱ）.参考答案：证明：（Ⅰ）（Ⅱ）,,即,又;∴

略22.如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．参考答案：考点：圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．专题：计算题；证明题．分析：（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB?PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA?PC=BP?PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB?DE=DB?（PB+PE），代入求出即可．解答：解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的